關(guān)于凸函數(shù)在不等式中應(yīng)用的探討

彭磊 孟虹宇

函數(shù)的凸性把握函數(shù)在區(qū)間上的整體性態(tài)，不僅可以更加科學(xué)地、準(zhǔn)確地描述函數(shù)的圖像，而且有助于對(duì)函數(shù)的分析。凸函數(shù)是一種重要的幾何性質(zhì)，在泛函分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃及數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有很多的應(yīng)用。通過對(duì)凸函數(shù)的定義、性質(zhì)的描述，主要研究其在不等式證明中的應(yīng)用，討論幾個(gè)重要的不等式。

1 凸函數(shù)的定義

定義：設(shè) 在區(qū)間I上有定義，若 ，有

， ，稱 為區(qū)間I上的凸函數(shù)。

若（B）式“ ”改為“<”時(shí)，則稱 為I上的嚴(yán)格凸函數(shù)。

2 凸函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1：若 在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對(duì) 則： 時(shí)， ； 時(shí)， 。

性質(zhì)2：若 ， 在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對(duì) 則： 為區(qū)間I上的凸函數(shù)； 為區(qū)間I上的凹函數(shù)。

3 應(yīng)用凸函數(shù)的定義證明不等式

例如：

證： 設(shè) 則 為凸函數(shù)。

取

由定義有

即得：

4 Jensen不等式的應(yīng)用

（Jensen不等式）若 為[ ]上的凸函數(shù)，則對(duì)任意的 有

例如：證明不等式 其中 均為正數(shù)。

證： 設(shè) 則有

可見， 為嚴(yán)格凸函數(shù)。

根據(jù)Jensen不等式有 ，

則

又因 ，所以

5 Young不等式的應(yīng)用

（Young不等式）設(shè) ， 則有：

例如：求證：

證明： 令

所以有

當(dāng)

從而有

6 H?lder不等式的應(yīng)用 （H?lder不等式）

（積分形式）： ， ， 在 上可積，有

例如： 設(shè) 和 為 上的正值連續(xù)函數(shù)，則

證：令

由Schwartz不等式，得

則 為凹函數(shù)，所以 以 的定義帶入此式，即得證。

7 凸函數(shù)的總結(jié)

通過對(duì)凸函數(shù)的定義和性質(zhì)理解，來利用函數(shù)的凸性來證明不等式，是一種常用和非常有效的方法。通過對(duì)凸函數(shù)對(duì)應(yīng)不等式的證明，我們認(rèn)識(shí)到，利用凸性來證明凸函數(shù)，關(guān)鍵是找到合適的凸函數(shù)，而且同一不等式，可通過不同的凸函數(shù)來可以使難度較大且證明過程復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成證明比較容易，在豐富證明不等式方法，簡(jiǎn)化不等式證明過程中發(fā)揮了一定的作用。

（作者單位：內(nèi)江職業(yè)技術(shù)學(xué)院）