同信道干擾下相關(guān)多輸入多輸出信道容量分析

閆秋娜 岳殿武，2 王 謙

（1.大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連116026；2.東南大學(xué)移動(dòng)通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210096）

引 言

近年來，在發(fā)送端和接收端使用多個(gè)天線的多輸入多輸出（MIMO）無線通信系統(tǒng)由于極大地增加了信道容量，引起了廣泛的關(guān)注。關(guān)于無線MIMO系統(tǒng)，人們已在多個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行了深入的研究，尤其是在信道容量方面。然而，迄今為止對(duì)信道容量的分析還主要集中在沒有同信道干擾情況下的MIMO 系統(tǒng)［1］。

在蜂窩移動(dòng)通信系統(tǒng)中，多個(gè)用戶由于共享同一個(gè)射頻頻譜因此不可避免的引入了同信道干擾，從而嚴(yán)重地影響了系統(tǒng)提供給用戶的服務(wù)質(zhì)量。為此，不少學(xué)者開始對(duì)衰落環(huán)境下帶有同信道干擾的MIMO信道容量進(jìn)行研究［2－5］。特別是，Kang等人推出了MIMO信道容量矩生成函數(shù)（MGF）、均值和方差的精確閉式表達(dá)式［3］。然而，他們所考慮的僅是在Rayleigh衰落環(huán)境下通信用戶的發(fā)送和接收天線陣都不相關(guān)的情況。在許多實(shí)際無線環(huán)境中，由于缺少散射條件，天線之間容易存在信號(hào)相關(guān)；此外，由于物理尺寸的限制，在移動(dòng)終端使天線之間間隔較遠(yuǎn)是非常困難的，因此，也會(huì)使天線之間存在著空間相關(guān)性。最近，Wang等人研究了通信用戶接收天線陣帶有空間相關(guān)性的情景，并在存在同信道干擾情況下獲得了MIMO Rayleigh衰落信道容量的分析結(jié)果［5］。

鑒于上述因素，本文側(cè)重研究帶有同信道干擾和發(fā)送相關(guān)的MIMO信道容量問題。主要針對(duì)通信用戶和同信道干擾用戶都處于Rayleigh衰落環(huán)境的情況。

復(fù)矩陣變量分布理論是本文所采用的主要分析工具。這個(gè)理論已經(jīng)成功的用于不帶有干擾的MIMO信道容量分析中［1］。

1.矩陣變量的超幾何函數(shù)

1.1 矩陣變量超幾何函數(shù)的定義

許多矩陣變量分布，特別是中心二次型分布，都能表示成矩陣變量的超幾何函數(shù)形式［7－8］。矩陣變量的超幾何函數(shù)是單變量超幾何函數(shù)的一般化，而單變量的超幾何函數(shù)已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用在科學(xué)與工程領(lǐng)域。下面給出復(fù)數(shù)域上矩陣變量超幾何函數(shù)的定義，并討論復(fù)矩陣變量超級(jí)幾何函數(shù)與單變量超級(jí)幾何函數(shù)之間的關(guān)系。

對(duì)于一個(gè)預(yù)先給定的正整數(shù)k，可用一個(gè)正整數(shù)向量k＝（k1，k2，…，kp）表示k的一個(gè)劃分。對(duì)于一個(gè)劃分就意味著這些正整數(shù)分量之和為k.復(fù)多元的超幾何系數(shù)可表示為

式中：（x）n＝x（x＋1）…（x＋n－1）是Pochhammer符號(hào)［7］。

定義1［7］令X是一個(gè)p×p的Hermitian矩陣。則復(fù)矩陣變量超幾何函數(shù)定義為

式中：a1，…，am；b1，…，bn是任意復(fù)數(shù)；表示對(duì)所有劃分k的求和；Ck（F）是關(guān)于k的F的帶狀（Zonal）多項(xiàng)式。

為了證明第3部分中提出的定理1，需要給出兩個(gè)矩陣變量的超幾何函數(shù)的定義，下述定義雖然和James在文獻(xiàn)［7］中所給出的定義在形式有些不同，但在本質(zhì)上是一樣的，就像在文獻(xiàn)［1，8］中所使用的那樣。

定義2［7－8］令p≤q，涉及兩個(gè) Hermitian矩陣X（p×p）和Y（q×q）的超幾何函數(shù)定義為

式中各種符號(hào)所表示的含義同定義1，其詳細(xì)討論可參考文獻(xiàn)［1，9］。

1.2 基于單變量超幾何函數(shù)的表達(dá)式

矩陣變量的超級(jí)幾何函數(shù)雖然便于理論上的分析，但不方便進(jìn)行實(shí)際的數(shù)值計(jì)算。為此，討論其與便于數(shù)值計(jì)算的單變量超級(jí)幾何函數(shù)之間的關(guān)系。

一般Hermitian矩陣變量超幾何函數(shù)可以由單變量超幾何函數(shù)來表示。

一個(gè)p×p的對(duì)角矩陣Λ ＝diag（λ1，λ2，…，λp），（λ1＞λ2＞…＞λp）的Vandermonde矩陣可表示為

引理1［1］令B是一個(gè)p×p的Hermitian矩陣。定義 Θ＝eig（B）＝diag（ω1，…，ωp），ω1＞ …＞ωp，則關(guān)于矩陣B的超幾何函數(shù)可表示為

式中：F＝［fij］，i，j＝1，2，…，p，且該矩陣中元素可表示為單變量超幾何函數(shù)：

如下面的引理2所述，兩個(gè)Hermitian矩陣變量的超幾何函數(shù)也能夠由單變量超幾何函數(shù)來表示。

引理2［1］令

再定義

則

式中：L＝［lij］，i，j＝1，2，…，p，且該矩陣中元素可表示為單變量超幾何函數(shù)：

引理1和引理2將會(huì)為矩陣變量超幾何函數(shù)的數(shù)值計(jì)算提供方便。

2.MIMO系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)帶有t個(gè)發(fā)射天線和r個(gè)接收天線的無線通信系統(tǒng)。假定該系統(tǒng)是一個(gè)僅限干擾的系統(tǒng)，其加性噪聲因影響比較微弱，可以在分析中忽略。設(shè)有l(wèi)個(gè)干擾用戶，每個(gè)干擾用戶具有ti（i＝1，…，l）根干擾天線。接收端接收的r×1階向量可表示為

式中：H是服從高斯分布的r×t階歸一化信道復(fù)矩陣，H ～（0，Σ ?Ψ），Σ ?Ψ 是隨機(jī)矩陣H 的協(xié)方差矩陣（參見文獻(xiàn)［9］的第7章）；s是一個(gè)t×1階的歸一化發(fā)射信號(hào)向量，且相關(guān)性為E（ss?）＝Rs；Es是系統(tǒng)的總發(fā)射功率。同樣，對(duì)于第i個(gè)同信道干擾，Hi是r×ti階歸一化干擾信道矩陣，si是ti×1階干擾用戶發(fā)射信號(hào)向量，其平均功率為Ei，且可假定 Hi～CNr，t（0，Σi? Ψi），si～（0，Ri）.

對(duì)于式（13）中的隨機(jī)矩陣H和Hi，現(xiàn)給出進(jìn)一步說明。矩陣H和Hi的相關(guān)性分別由Σ?Ψ和Σi?Ψi表示。Σ和Σi分別表示在接收端輸入信號(hào)和干擾信號(hào)的r×r階相關(guān)矩陣。Ψ表示發(fā)射天線陣列的t×t階相關(guān)矩陣，而Ψi是第i個(gè)干擾的ti×ti階相關(guān)矩陣。這些矩陣與天線陣列的結(jié)構(gòu)、信道的特性等因素密切相關(guān)。

為了簡明起見，和文獻(xiàn)［2－5］類似，對(duì)接收機(jī)，其上所有的干擾信號(hào)si（i＝1，…，l）都假定是不可知的，且都為復(fù)高斯向量。因此，在Hi（i＝1，…，l）為已知的條件下，干擾為復(fù)高斯的，其協(xié)方差矩陣為

式中：

為了便于分析處理，首先假定Σ1＝Σ2＝…＝Σl＝Σ.注意 .這個(gè)假定的約束條件比起文獻(xiàn)［2－4］更為寬松些。因?yàn)樵谶@些文獻(xiàn)中除了約束所有干擾的相關(guān)接收矩陣都是相同的之外，還要滿足Σ1＝Σ2＝…＝Σl＝I.為了得到簡化的閉式表達(dá)式，現(xiàn)進(jìn)一步假設(shè)［5－6］

此外，還要假設(shè)接收端完美地知道信道狀態(tài)信息，而發(fā)送端不知道。那么當(dāng)發(fā)射信號(hào)不相關(guān)，即Rs＝It時(shí)，系統(tǒng)能夠獲得最大瞬時(shí)容量，這時(shí)Rs是最優(yōu)的。為此，可假定Rs＝It，同時(shí)也假定

在上述所有的假設(shè)下，下面推導(dǎo)隨機(jī)矩陣ρH?（Hi）－1H的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式。其中

3.帶有干擾的MIMO信道容量

3.1 矩生成函數(shù)和遍歷容量

對(duì)于MIMO信道的輸入向量s和式（11）給出的輸出向量y，其瞬時(shí)互信息I（s，y）的表達(dá)式為［2－5］

式中

令

CNr，tI（0，Ir?ItI）。則根據(jù)文獻(xiàn)［9］中的定理7.4.1的證明，Q又可以表示為

于是MIMO信道的遍歷容量可表示為

進(jìn)一步互信息I（s，y）的矩生成函數(shù)可表示為

那么通過式（26）就可求得遍歷容量［5］。

3.2 矩生成函數(shù)表達(dá)式

定理1 假設(shè)通信用戶接收端天線數(shù)小于或等于所有干擾用戶發(fā)射端天線數(shù)之和，即r≤tI，則互信息I（s，y）的矩生成函數(shù)可表示為

定理1之證明見附錄A。

為了便于數(shù)學(xué)處理，在MIMO系統(tǒng)的性能分析中通常要采用r≤tI的假設(shè)［3，5－6］。這個(gè)假設(shè)特別符合移動(dòng)通信下行傳輸情況，因?yàn)轶w積小、重量輕的手提或便攜式發(fā)送終端實(shí)際上只能安裝一兩個(gè)天線。

3.3 MIMO信道的遍歷容量

現(xiàn)給出基于單變量超幾何函數(shù)的MIMO系統(tǒng)遍歷容量表達(dá)式。

定理2 假設(shè)r≤t1，并令Λ ＝eig（It－）＝diag（λ1，λ2，…，λt），λ1＜λ2＜ … ＜λt。則 MIMO遍歷容量可表示為

式中

定理2之證明見附錄B.

4.數(shù)值結(jié)果

下面要用數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證分析結(jié)論的正確性，討論各種系統(tǒng)參數(shù)對(duì)MIMO系統(tǒng)遍歷容量的影響，并與已有的文獻(xiàn)結(jié)果［4－5］進(jìn)行比較。

為了簡明起見，只利用文獻(xiàn)［12］中的指數(shù)模型來描述發(fā)送端和接收端天線之間的相關(guān)性：

式中g(shù)r和gt分別表示接收端和發(fā)送端天線陣的相關(guān)系數(shù)，范圍從0到1，增加表示天線之間的相關(guān)性增強(qiáng)。

將發(fā)送端天線之間和接收端天線之間的相關(guān)系數(shù)分別設(shè)置為0.1和0.5，然后固定發(fā)送端天線數(shù)目為2.在圖1中，對(duì)不同的接收端天線數(shù)目和總干擾發(fā)送天線數(shù)目下的信道容量理論分析結(jié)果進(jìn)行蒙特卡羅仿真驗(yàn)證。為了使統(tǒng)計(jì)結(jié)果可靠，蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)取定為106，以下同。從圖1可以看出，理論數(shù)值結(jié)果和蒙特卡羅仿真結(jié)果非常匹配，從而驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。

在圖2中，對(duì)不同的發(fā)送端天線陣相關(guān)系數(shù)下的信道容量進(jìn)行數(shù)值比較。為了公正的比較，其他參數(shù)的設(shè)置相同，即t＝2，r＝3，tI＝4，gr＝0.5.從圖2可以發(fā)現(xiàn)，理論結(jié)果和仿真結(jié)果非常符合，且相關(guān)性越高，容量越小，這符合MIMO空間相關(guān)性對(duì)性能負(fù)面影響的特征。并且還可以看出，強(qiáng)的空間相關(guān)性對(duì)遍歷容量的影響是非常大的，尤其是在高信干比的區(qū)域。

圖2 不同發(fā)送端天線陣相關(guān)系數(shù)信道容量與ρ的關(guān)系曲線

在圖3中，對(duì)不同的總干擾發(fā)射天線數(shù)目下的信道容量進(jìn)行了比較。圖中信干比（SIR）是接收信號(hào)和干擾信號(hào)功率之比，可表示為

圖3 不同總干擾發(fā)射天線數(shù)目下信干比的信道容量

從圖3可以看出，當(dāng)干擾天線的數(shù)量增加時(shí)，容量會(huì)降低，但降低的幅度逐漸變小。這是因?yàn)樵谕瑯訔l件下干擾天線的數(shù)量多比數(shù)量少所形成的干擾統(tǒng)計(jì)方差會(huì)更高些，但隨著數(shù)量增多，該方差也逐漸收斂到一個(gè)固定值。

在干擾天線數(shù)tI＝4、發(fā)送天線數(shù)t＝4和接收天線數(shù)r＝4情況下，圖4比較了發(fā)送空間相關(guān)性和接收空間相關(guān)性對(duì)遍歷信道容量的影響。圖4共畫了四條曲線，其中兩條曲線對(duì)應(yīng)發(fā)送相關(guān)參數(shù)取gt＝0.2，0.6兩種情況，而其他兩條對(duì)應(yīng)接收相關(guān)參數(shù)取gr＝0.2，0.6兩種情況。從圖4可見，盡管空間相關(guān)性參數(shù)選取一樣，發(fā)送相關(guān)性和接收相關(guān)性都對(duì)遍歷信道容量產(chǎn)生影響，但發(fā)送空間相關(guān)性隨著相關(guān)參數(shù)增加對(duì)遍歷信道容量影響越來越嚴(yán)重，且明顯超過接收空間相關(guān)性的影響。

圖4 發(fā)送相關(guān)性和接收相關(guān)性對(duì)遍歷信道容量的影響比較

在干擾天線數(shù)tI＝6和接收天線數(shù)r＝3情況下，對(duì)于不同發(fā)送天線數(shù)目，圖5側(cè)重比較了有和沒有發(fā)送空間相關(guān)性對(duì)遍歷信道容量的影響。圖5對(duì)比了t＝2，4，6三種情況。從圖5可見，隨著發(fā)送天線數(shù)增加，不論有沒有空間相關(guān)性，遍歷容量均越來越大。空間相關(guān)性雖然會(huì)使遍歷容量有所影響，但這影響并不隨發(fā)送天線數(shù)變化而明顯發(fā)生變化。

圖5 不同發(fā)送天線數(shù)目下發(fā)送空間相關(guān)性對(duì)遍歷信道容量的影響

在發(fā)送天線數(shù)t＝3和接收天線數(shù)r＝3情況下，圖6比較了同信道干擾和發(fā)送空間相關(guān)性對(duì)遍歷信道容量的影響。圖6中虛線表示沒有干擾也沒有空間相關(guān)性情況，其他四條曲線中臨近虛線的兩條曲線對(duì)應(yīng)相關(guān)參數(shù)取gt＝0.6，0.9兩種情況，另外兩條對(duì)應(yīng)干擾天線數(shù)取tI＝6，9兩種情況。從圖6可見，盡管同信道干擾和發(fā)送空間相關(guān)性都對(duì)遍歷信道容量產(chǎn)生影響，但空間相關(guān)性影響是有限的，而同信道干擾隨著干擾天線數(shù)目增加越來越嚴(yán)重，明顯超過空間相關(guān)性的影響。

圖6 同信道干擾與發(fā)送空間相關(guān)性對(duì)遍歷信道容量的影響比較

5.結(jié) 論

在Rayleigh衰落環(huán)境下，深入地研究了具有同信道干擾和發(fā)射空間相關(guān)性的MIMO信道容量問題。在假定當(dāng)接收端完美地知道信道狀態(tài)信息而發(fā)射方不知道情況下，利用矩陣變量分布理論，首先推導(dǎo)出MIMO信道互信息的矩生成函數(shù)的精確閉式表達(dá)式，然后通過該表達(dá)式可進(jìn)一步得到MIMO遍歷容量的精確表達(dá)式。可見，對(duì)MIMO衰落信道容量的分析在很大程度上要依賴于矩陣變量分布理論。

由于數(shù)學(xué)處理的難度，在系統(tǒng)模型中還不得不加入了一些限制和約束。因此，就一般模型而言，帶有同信道干擾和空間相關(guān)性的MIMO信道容量問題依然是一個(gè)沒有徹底解決的困難問題。這將需要更復(fù)雜、更有力的數(shù)學(xué)工具來幫助解決。

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