基于特征參數(shù)的隨機(jī)噪聲雷達(dá)相關(guān)輸出研究

武 昕 李 澍 劉 暢 王巖飛

（1.中國科學(xué)院電子學(xué)研究所，北京100190；2.中國科學(xué)院研究生院，北京100039）

引 言

隨著電磁環(huán)境的日益復(fù)雜，提高雷達(dá)的抗干擾性能成為了必要。隨機(jī)噪聲雷達(dá)［1］是一種具有強(qiáng)抗干擾性的雷達(dá)體制，它以微波噪聲或噪聲調(diào)制信號(hào)為發(fā)射信號(hào)。由于發(fā)射信號(hào)的隨機(jī)性，它具有優(yōu)良的低截獲概率（LPI）、電磁兼容性（EMC）和電子反對抗性（ECCM）［2－4］。隨機(jī)噪聲雷達(dá)已經(jīng)形成了較完整的理論體系，南京理工大學(xué)電子工程技術(shù)研究中心取得了大量研究成果，先后成功研制了隨機(jī)調(diào)頻連續(xù)波雷達(dá)系統(tǒng)、正弦加隨機(jī)調(diào)頻連續(xù)波雷達(dá)系統(tǒng)、隨機(jī)二相碼連續(xù)波雷達(dá)系統(tǒng)等［1－2］。文獻(xiàn)［1］對隨機(jī)噪聲雷達(dá)的基本原理、典型的隨機(jī)噪聲雷達(dá)系統(tǒng)作了深入分析。采用隨機(jī)噪聲信號(hào)體制可有效提高雷達(dá)在戰(zhàn)爭環(huán)境下的生存能力，其很強(qiáng)的抗干擾能力可以在多種復(fù)雜的干擾環(huán)境中體現(xiàn)［3－5］。美國內(nèi)布拉斯加大學(xué)環(huán)境遙感實(shí)驗(yàn)室對噪聲雷達(dá)的極化和干涉特性進(jìn)行了研究，并推出了探測掩體目標(biāo)的新穎超寬帶隨機(jī)噪聲連續(xù)波雷達(dá)系統(tǒng)［6］。噪聲雷達(dá)的理論和數(shù)學(xué)模型在不斷地更新和完善，近期文獻(xiàn)［7－8］提出了信號(hào)形式和數(shù)字特征會(huì)對相關(guān)輸出造成影響。針對噪聲雷達(dá)時(shí)域相關(guān)的特點(diǎn)，文獻(xiàn)［9－10］提出了適用于噪聲雷達(dá)系統(tǒng)的旁瓣抑制方法。隨機(jī)噪聲雷達(dá)在成像領(lǐng)域的應(yīng)用是研究的熱點(diǎn)［11］，將其用于合成孔徑雷達(dá)（SAR）和逆合成孔徑雷達(dá)（ISAR）成像是重要趨勢。同時(shí)，與超寬帶技術(shù)的結(jié)合使得噪聲雷達(dá)具有很強(qiáng)的探測力和穿透力，對障礙物、圍墻之后的目標(biāo)進(jìn)行檢測和成像取得了最新研究成果［12］。

隨機(jī)噪聲雷達(dá)通過時(shí)域相關(guān)完成距離向脈沖壓縮，相關(guān)輸出是脈沖壓縮結(jié)果。因此，需要建立發(fā)射信號(hào)的數(shù)字特征參數(shù)與相關(guān)輸出之間的聯(lián)系。隨機(jī)噪聲雷達(dá)中同樣存在脈沖體制雷達(dá)的問題，強(qiáng)目標(biāo)的旁瓣容易使附近弱目標(biāo)的主瓣發(fā)生畸變，因此降低旁瓣對提高距離向分辨率有重要意義。通過分析隨機(jī)噪聲信號(hào)源的相關(guān)系數(shù)和方差建立了發(fā)射信號(hào)特征參數(shù)與相關(guān)輸出之間的聯(lián)系。在相關(guān)輸出的一般性數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，得到了以相關(guān)系數(shù)和方差為參數(shù)的相關(guān)輸出數(shù)學(xué)模型，并通過分析和推導(dǎo)得到了重要結(jié)論。該結(jié)論為隨機(jī)波形的設(shè)計(jì)提供了依據(jù)，同時(shí)為解決旁瓣抑制問題提供了新思路，驗(yàn)證了特征參數(shù)的改變能夠很好地抑制旁瓣，使分辨率得到很大程度的提高。

1.隨機(jī)噪聲雷達(dá)系統(tǒng)與信號(hào)處理模型

隨機(jī)噪聲雷達(dá)系統(tǒng)通過時(shí)域相關(guān)來完成脈沖壓縮，圖1為系統(tǒng)的基本框圖。發(fā)射信號(hào)X（t）經(jīng)目標(biāo)反射后產(chǎn)生時(shí)延T0（反射系數(shù)設(shè)為1），由接收天線接收反射信號(hào)X（t－T0）；同時(shí)，發(fā)射信號(hào)的另一路分支通過信號(hào)延遲線提供變化的時(shí)延Tr來產(chǎn)生變化的參考信號(hào)X（t－Tr）.將X（t－T0）和X（t－Tr）兩路信號(hào)進(jìn)行相關(guān)積分，可測得目標(biāo)的距離和速度信息［7］。

圖1 隨機(jī)信號(hào)雷達(dá)系統(tǒng)框圖

隨機(jī)噪聲信號(hào)的復(fù)數(shù)形式可表示為

式中：ω0為傳輸信號(hào)的中心角頻率；XI（t）與XQ（t）是均值為零，帶寬為B的高斯過程。目標(biāo)帶有速度信息時(shí)，反射信號(hào)延時(shí)為t的函數(shù)，記作T，如式（2）所示。

R0是目標(biāo)與雷達(dá)的最初距離，c為電磁波傳播速度。將式（2）代入式（1），則反射信號(hào)可表示為

式中α＝1－2ν/c帶有目標(biāo)的速度信息，稱作速度因子。參考信號(hào)通過延遲線提供變化的時(shí)延Tr和變化的速度因子αr與反射信號(hào)X（t－T）作相關(guān)積分，積分輸出的峰值處滿足T＝Tr且α＝αr，從而根據(jù)R0＝cTr/2和ν＝c（1－αr）/2得到目標(biāo)的位置和速度。相關(guān)積分的數(shù)學(xué)表達(dá)如式（4）所示。

式中TN為相關(guān)積分時(shí)間。由于XI（·）和XQ（·）服從同一分布，它們的方差和均值相等，從而其自相關(guān)函數(shù)RI（·）和RQ（·）相等，記作RI（·）＝RQ（·）＝R（·）.相關(guān)輸出可近似為相關(guān)積分的均值，表示為

式中：Δα＝α－αr；ΔT＝T0－Tr；RIQ（·）是XI（·）和XQ（·）的互相關(guān)函數(shù)，且RIQ（·）＝（·）.由于互相關(guān)函數(shù)值很小可以忽略，因此，相關(guān)輸出可簡化為

2.基于相關(guān)系數(shù)和方差的相關(guān)輸出數(shù)學(xué)模型

實(shí)際中以噪聲調(diào)制信號(hào)作為發(fā)射信號(hào)的情況更為廣泛，并且其相關(guān)輸出特征更為復(fù)雜。以噪聲相位調(diào)制和頻率調(diào)制信號(hào)為對象進(jìn)行分析，在式（6）基礎(chǔ)上建立依賴于噪聲源信號(hào)相關(guān)系數(shù)和方差的相關(guān)輸出數(shù)學(xué)模型。

2.1 相位調(diào)制信號(hào)的相關(guān)輸出數(shù)學(xué)模型

經(jīng)過隨機(jī)噪聲相位調(diào)制后的信號(hào)復(fù)數(shù)表達(dá)式［7］為

式中，θ（t）是均值為零，方差為的高斯分布隨機(jī)噪聲信號(hào)。不失一般性A＝1，其相關(guān)輸出可表示為

對比式（8）和式（6），R（Δαt－ΔT）即為噪聲相位調(diào)制信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，其表達(dá)式為

依據(jù)隨機(jī)過程理論，均值為零時(shí)二維高斯分布的特征函數(shù)［13］為

將式（11）代入式（8）即可得到以噪聲源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)和方差為參數(shù)的相關(guān)輸出表達(dá)式，如式（12）所示。

2.2 頻率調(diào)制信號(hào)的相關(guān)輸出數(shù)學(xué)模型經(jīng)過隨機(jī)噪聲頻率調(diào)制后的信號(hào)可表達(dá)為［7］

式中，f（x）是均值為零，方差為的高斯分布隨機(jī)噪聲信號(hào)。設(shè)則式（8）和（9）同樣適用于頻率調(diào)制信號(hào)。令Δαt－ΔT＝τ，重寫式（9）為

式（14）即為噪聲頻率調(diào)制信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，式中Δθ為 （t′＝αrt－Tr）

由隨機(jī)過程理論可知，均值為零、方差為σ2的一維高斯分布ξ的特征函數(shù)［13］為

對比式（14）與式（16），R（τ）可看作t＝1時(shí)一維高斯隨機(jī)變量Δθ的特征函數(shù)，則R（τ）可表示為

式中ρf（τ）是f（x）和f（x－τ）的相關(guān)系數(shù)。根據(jù)方差的定義，并將式（18）代入后用可表示為

將式（19）代入式（17）可得

將式（20）代入式（8），可得到以噪聲源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)和方差所表達(dá)的相關(guān)輸出表達(dá)式，如式（21）所示。

3.相關(guān)系數(shù)和方差對相關(guān)輸出和帶寬的影響

自相關(guān)函數(shù)R（τ）決定了相關(guān)輸出，噪聲源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)和方差是R（τ）的決定性參數(shù)。依據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型分析噪聲源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)和方差對相關(guān)輸出及帶寬的影響。

3.1 相關(guān)系數(shù)和方差對相關(guān)輸出的影響

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，ρp（τ）和ρf（τ）可記作

式中Rθ（τ）和Rf（τ）分別為噪聲源信號(hào)θ（t）和f（x）的自相關(guān)函數(shù)。

根據(jù)式（22）和（23）可知，ρp（τ）和ρf（τ）實(shí)質(zhì)上取決于θ（t）和f（x）的自相關(guān)函數(shù)。由于信號(hào)的方差為常數(shù)，相關(guān)系數(shù)與噪聲源信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)具有相同的形式。由維納—辛欽定理［13］可知自相關(guān)函數(shù)和功率譜函數(shù)是傅里葉變換對，隨機(jī)噪聲信號(hào)的功率譜函數(shù)直接影響相關(guān)系數(shù)，通過功率譜來分析相關(guān)系數(shù)對輸出的影響。從實(shí)用性和普遍性考慮，選擇矩形、高斯形和類鐘形三種形式的功率譜函數(shù)，對應(yīng)的Rθ（τ）和Rf（τ）分別為sinc函數(shù)、高斯函數(shù)和雙邊指數(shù)函數(shù)。相關(guān)系數(shù)也具有這三種函數(shù)形式。將具體的相關(guān)系數(shù)代入式（11）和（20），可得到自相關(guān)函數(shù)R（τ）的表達(dá)式，如表1所示。

表1 取三種相關(guān)系數(shù)時(shí)調(diào)制信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)R（τ）

相關(guān)系數(shù)決定了R（τ）的函數(shù)形式，從而決定了相關(guān)輸出的主瓣能量分布和旁瓣水平。當(dāng)噪聲源信號(hào)為矩形功率譜時(shí)，相關(guān)系數(shù)為sinc函數(shù)，輸出有明顯的旁瓣，并且具有一定周期性。當(dāng)相關(guān)系數(shù)為高斯函數(shù)時(shí)，沒有明顯的旁瓣，但主峰不尖銳，主瓣較寬。當(dāng)相關(guān)系數(shù)為雙邊指數(shù)時(shí)，沒有明顯的旁瓣，且主峰尖銳，能量集中。仿真實(shí)驗(yàn)可以對該結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

分析方差對相關(guān)輸出的影響。衡量脈沖壓縮性能的兩個(gè)重要指標(biāo)是峰值旁瓣比 （PSLR）和積分旁瓣比 （ISLR），它們的定義為

式中：Rside和Rmain分別為旁瓣高度和主瓣高度；Ptotal為總功率；Pmain為主瓣功率。

以ρp（τ）取sinc（πBτ）的相位調(diào)制信號(hào)為例進(jìn)行分析，B為噪聲信號(hào)θ（t）的帶寬。式（11）決定了相位調(diào)制信號(hào)的相關(guān)輸出，對式（11）求一階導(dǎo)數(shù)可得

B為帶寬是定值，根據(jù)式（26）可知式（11）的極值點(diǎn)是固定點(diǎn)，不隨方差而變化。旁瓣高度為R（τ）某一極值點(diǎn)的函數(shù)值，它只隨方差的變化而變化。根據(jù)式（11），R（τ）是關(guān)于方差的減函數(shù)，因此隨著方差的增大旁瓣高度會(huì)減小。在不同的方差下式（11）具有相同的極限最大值，如式（27）所示。

max｛R（τ）｝可看作主瓣高度，因此，PSLR是方差的減函數(shù)，隨著方差的增大PSLR減小，指標(biāo)性能得到提高。方差的增大同樣使ISLR減小，在仿真結(jié)果中可得到驗(yàn)證，在此不作出數(shù)學(xué)分析。

表2為不同方差下，ρp（τ）為sinc（πBτ）時(shí)R（τ）的PSLR和ISLR，反映出隨著方差的增大，兩項(xiàng)指標(biāo)值大幅減小，指標(biāo)性能得到提高。同樣，該結(jié)論適用于相關(guān)系數(shù)為其它形式的情況及頻率調(diào)制信號(hào)。

表2 不同方差下R（τ）的兩項(xiàng)指標(biāo)/dB

圖2所示為不同方差下R（τ）的輸出。圖2（a）和圖2（b）分別為ρp（τ）＝sinc（πBτ）和ρp（τ）＝exp（－｜τ｜/τ0）時(shí)相位調(diào)制信號(hào)的R（τ）輸出。圖2（c）為ρf（τ）＝exp（－｜τ｜/τ0）時(shí)頻率調(diào)制信號(hào)的R（τ）輸出。圖2（c）中取方差與時(shí)間常數(shù)τ0乘積的變化。因?yàn)闀r(shí)間常數(shù)為定值，方差與時(shí)間常數(shù)乘積的變化等價(jià)于方差的變化。從圖2（a）和（b）可以看出，隨著方差的增大，旁瓣水平明顯降低，主瓣變窄變尖銳。圖2（c）同樣可反映出方差的增大使主瓣變尖銳，分辨率得到很大程度的提高。主峰和旁瓣的形式取決于相關(guān)系數(shù)的形式，同時(shí)與調(diào)制方式有關(guān)。方差對相關(guān)輸出的影響主要表現(xiàn)在對R（τ）的影響上。

噪聲源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)決定了相關(guān)輸出的形式和旁瓣水平，方差對分辨率的提高和旁瓣的抑制起到重要作用。

3.2 相關(guān)系數(shù)和方差對帶寬的影響

隨機(jī)信號(hào)的方差反映了信號(hào)偏離總體均值的程度，方差越大說明信號(hào)的波動(dòng)和起伏越大，因此所需的帶寬越大。下面利用數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明該觀點(diǎn)。

發(fā)射信號(hào)的帶寬定義為［7］

式中S（f）為發(fā)射信號(hào)的功率譜。自相關(guān)函數(shù)R（τ）為S（f）的傅里葉逆變換，如式（29）所示。

對式（29）求二階導(dǎo)數(shù)為

綜合式（28）～（30）可得

分別對式（11）和（20）求二階導(dǎo)數(shù)，可得到相位調(diào)制信號(hào)和頻率調(diào)制信號(hào)自相關(guān)函數(shù)R（τ）的二階導(dǎo)數(shù)，如式（32）和（33）所示。

當(dāng)賦予相關(guān)系數(shù)ρp（τ）和ρf（τ）具體的函數(shù)形式時(shí)，可以建立調(diào)制信號(hào)帶寬BX與噪聲信號(hào)方差的關(guān)系。

對于相位調(diào)制信號(hào)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρp（τ）分別為sinc函數(shù)、高斯函數(shù)和雙邊指數(shù)函數(shù)時(shí)：

對于頻率調(diào)制信號(hào)，由式（33）得到R″（0）/R（0），因此，對于不同形式的相關(guān)系數(shù)，來決定。

4.實(shí)驗(yàn)仿真

為了驗(yàn)證結(jié)論的有效性，針對相關(guān)系數(shù)和方差對相關(guān)輸出的影響進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。仿真的基本參數(shù)如表3所示，其中ΔR為目標(biāo)距離與延遲線時(shí)延對應(yīng)的距離之差，與ΔT的對應(yīng)關(guān)系為ΔT＝2ΔR/c；ΔV為目標(biāo)速度與延遲線提供的速度之差。在仿真結(jié)果圖示中，橫坐標(biāo)軸的距離均對應(yīng)于ΔR，縱坐標(biāo)軸的速度均對應(yīng)于ΔV.

表3 仿真參數(shù)

圖3為直接發(fā)射隨機(jī)噪聲信號(hào)時(shí)噪聲雷達(dá)系統(tǒng)的相關(guān)輸出。圖3（a）與圖3（b）分別顯示了發(fā)射信號(hào)的功率譜函數(shù)為矩形和高斯形時(shí)的相關(guān)輸出。當(dāng)噪聲信號(hào)為矩形功率譜時(shí)，相關(guān)輸出有明顯的旁瓣產(chǎn)生，這是由sinc函數(shù)造成的，并使旁瓣具有一定的周期性。當(dāng)功率譜函數(shù)為高斯形時(shí)，相關(guān)輸出的主瓣相比矩形功率譜時(shí)較寬。對于能量一定的兩種函數(shù)，高斯函數(shù)的能量主要集中在主瓣，而sinc函數(shù)的旁瓣分散了部分能量，從而造成了高斯形功率譜所輸出的主瓣相對較寬。

圖4所示為發(fā)射噪聲相位調(diào)制信號(hào)，且相關(guān)系數(shù)ρp（τ）＝sinc（πBτ）時(shí)雷達(dá)系統(tǒng)的相關(guān)輸出。圖4（a）和圖4（b）分別為σθ＝1和σθ＝1.5時(shí)的相關(guān)輸出。對比圖4（a）與圖4（b），在大方差情況下，相關(guān)輸出的旁瓣得到了有效抑制，主瓣變窄變尖銳，分辨率顯著提高。

綜合以上的推導(dǎo)，相位調(diào)制信號(hào)不適合采用類鐘形功率譜函數(shù)，即相關(guān)系數(shù)為雙邊指數(shù)函數(shù)的情況。對于其他情況，結(jié)果可統(tǒng)一表示為＝，其中σ2為噪聲源信號(hào)的方差，相位調(diào)制信號(hào)為，頻率調(diào)制信號(hào)為；C為大于零的常數(shù)，不同情況下的取值不同。調(diào)制信號(hào)的帶寬BX是方差σ2的單調(diào)增函數(shù)，因此BX隨著方差σ2的增大而增大。

圖5所示為發(fā)射噪聲頻率調(diào)制信號(hào)，且相關(guān)系數(shù)ρf（τ）＝exp（－｜τ｜/τ0）時(shí)相應(yīng)的相關(guān)輸出。圖5（a）和圖5（b）為σfτ0＝0.1和σfτ0＝0.15時(shí)對應(yīng)的相關(guān)輸出。雙邊指數(shù)形式的相關(guān)系數(shù)決定了其相關(guān)輸出沒有明顯的旁瓣。因此，在方差較小時(shí)也沒有旁瓣產(chǎn)生，但方差的增大使相關(guān)輸出的主瓣能量更集中，使主峰變尖銳，分辨率得到提高。為了對仿真結(jié)果作定量分析，表4列出了不同方差下相關(guān)輸出的主瓣寬度，同樣反映出方差的增大能夠使主瓣寬度變窄。

表4 不同方差下輸出的主瓣寬度

實(shí)際中方差的選擇要以主瓣寬度的要求為依據(jù)。以圖4和圖5的仿真為例，如果要保證相關(guān)輸出的主瓣寬度小于1.5m，對于ρp（τ）＝sinc（πBτ）的相位調(diào)制信號(hào)，噪聲源信號(hào)的方差應(yīng)大于1；對于ρf（τ）＝exp（－｜τ｜/τ0）的頻率調(diào)制信號(hào)，相應(yīng)的方差選擇應(yīng)大于（0.2/τ0）2.

5.結(jié) 論

立足于分析隨機(jī)噪聲信號(hào)的數(shù)學(xué)特性，以相關(guān)系數(shù)和方差兩項(xiàng)特征參數(shù)為基礎(chǔ)深入分析了隨機(jī)噪聲雷達(dá)的相關(guān)輸出特性。依據(jù)隨機(jī)噪聲雷達(dá)的基本工作原理得到了一般性的相關(guān)輸出數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步建立了調(diào)制信號(hào)的相關(guān)輸出數(shù)學(xué)模型，該模型依賴于噪聲源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)和方差。依據(jù)該模型分析了噪聲源信號(hào)的相關(guān)系數(shù)和方差對相關(guān)輸出和帶寬的影響。

相關(guān)系數(shù)決定了相關(guān)輸出的整體形式，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為sinc函數(shù)時(shí)，相關(guān)輸出有明顯的旁瓣；相關(guān)系數(shù)為高斯函數(shù)和雙邊指數(shù)函數(shù)時(shí)，均沒有旁瓣產(chǎn)生，但相關(guān)系數(shù)為高斯函數(shù)時(shí)輸出的主瓣較寬。方差直接影響相關(guān)輸出的主瓣和旁瓣水平，方差的增大能夠有效地抑制旁瓣，并使主瓣能量更集中，主峰變尖銳，分辨率得到顯著提高。仿真結(jié)果有效地驗(yàn)證了結(jié)論，為波形的選擇提供了依據(jù)。此外，通過取不同形式的相關(guān)系數(shù)得到了噪聲源信號(hào)方差與調(diào)制信號(hào)帶寬的關(guān)系，帶寬可以表示為方差的單調(diào)增函數(shù)，因此方差的增大會(huì)導(dǎo)致帶寬增大。

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