不帶利率Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)時(shí)刻罰金折現(xiàn)期望值的拉氏變換

余國(guó)勝

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

不帶利率Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)時(shí)刻罰金折現(xiàn)期望值的拉氏變換

余國(guó)勝

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

研究了不帶利率Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了破產(chǎn)時(shí)刻罰金折現(xiàn)期望值的拉氏變換，給出了拉氏變換的顯示表達(dá)式。

不帶利率；Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型；破產(chǎn)時(shí)刻罰金折現(xiàn)期望值；拉氏變換

0 引言

經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)理論中索賠次數(shù)過(guò)程是泊松過(guò)程，并且經(jīng)常不帶利率。文獻(xiàn)［1］討論了常利率Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)時(shí)刻罰金折現(xiàn)期望值。Dickson和Hipp［2］研究了不帶利率Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了其破產(chǎn)時(shí)刻折現(xiàn)期望值滿足一個(gè)二階微分方程，給出了關(guān)于不帶利率Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型在破產(chǎn)發(fā)生情形下，破產(chǎn)時(shí)刻矩的表達(dá)式。而不帶利率Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)時(shí)刻罰金折現(xiàn)期望值［3］的拉氏變換的討論，有著一定的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。本文對(duì)該問題予以討論。

1 模型

假定保險(xiǎn)公司初始盈余為u，以每單位時(shí)間c元的速率收取保費(fèi)。表示第n次索賠的時(shí)刻，Xn表示第 n次的索賠額。假定{Xn;n≥1}以及{Wn;n≥1}是獨(dú)立同分布取正值的隨機(jī)變量，{Xn;n≥1}的共同分布為F(x)= P(X1≤x)，{Wn;n≥1}的共同密度函數(shù)為 K(t)=β2te-βt，時(shí)刻t索賠次數(shù)過(guò)程為N(t)=sup{n:Tn≤t}，時(shí)刻t總索賠為了使保險(xiǎn)公司安全運(yùn)作，假設(shè)cE(Wi)＞E(Xi)(i=1，2，…)，則盈余過(guò)程U(t)滿足

若定義破產(chǎn)時(shí)刻為

則盈余過(guò)程Uδ(t)的破產(chǎn)概率為

考慮在不帶利率、破產(chǎn)發(fā)生的條件下，以破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余和破產(chǎn)時(shí)的赤字為自變量的罰金折現(xiàn)期望值

這里I(A)是集A的示性函數(shù)，ω是一個(gè)非負(fù)有界函數(shù)，α是一個(gè)非負(fù)參數(shù)，e-αT為折現(xiàn)因子。

為了方便起見，引入下面的記號(hào)：

2 ?α(u)的拉氏變換

本節(jié)約定個(gè)體索賠額服從的分布是連續(xù)型的，且有密度函數(shù) f(x)，同時(shí)記函數(shù)ξ的拉氏變換為

令文獻(xiàn)［1］中（7）式δ=0，則有

引理1［2］當(dāng)α＞0時(shí)，定義

注由文獻(xiàn)［2］可得，當(dāng)α→0+時(shí)，r1→0+，r2將趨于Dickson和Hipp參數(shù)，記為s0；在特定的情況下，若Lundberg基本方程除此之外還有實(shí)根，則實(shí)根取負(fù)值。

為書寫方便起見，引入可積函數(shù) f和實(shí)數(shù)r的算子Trf，定義

當(dāng)r1=r2=r時(shí)，則有

將（10）式代入（7）式即知定理得證。

注①由算子Trf的性質(zhì)，易見在定理1中交換r1和r2的位置后定理也成立。

②由（6）式，能將?α(0)用q*的形式表示。

③定理1提供了一種間接求解?α(u)的行之有效的方法。

［1］余國(guó)勝.常利率Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)時(shí)刻罰金折現(xiàn)期望值［J］.江漢大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，40（1）：17-19.

［2］Dickson D C M，Hipp C.On the time to ruin for Erlang（2）risk processes［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2001，29：333-344.

［3］程宗毛.破產(chǎn)時(shí)刻罰金折現(xiàn)期望值［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，1999，15（3）：225-233.

Laplace Transform of Expected Value of Discounted Penalty at Ruin in Case of Erlang（2）Risk Model Under No Interest Rate

YU Guo-sheng
（School of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

Considers the Erlang（2）risk model under no interest rate，in which the Laplace transform of the expected value of discounted penalty at ruin is obtained，the expression of the La?place transform is given.

no interest rate；Erlang（2）risk model；expected value of discounted penalty at ruin；Laplace transform

O211.6

A

1673-0143（2012）06-0008-02

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

2012－09－07

余國(guó)勝（1980—），男，講師，博士，研究方向：隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)、金融數(shù)學(xué)。