基于聲輻射控制的板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

左曙光，魏 歡，嚴(yán)新富，李徐剛

（同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海201804）

汽車乘坐室內(nèi)的噪聲除了小部分通過縫隙、孔洞等傳入外，其余大部分都是由乘坐室周圍的板件振動引起的輻射噪聲[1].也就是說，車身板件的振動輻射噪聲是車內(nèi)最直接、最主要的噪聲源.因此，對板件的輻射噪聲進(jìn)行控制是降低乘坐室噪聲最直接有效的方法.

對薄板結(jié)構(gòu)來說，一般情況下，由彎曲波所引起的橫向振幅比橫波和縱波大得多，因此彎曲波產(chǎn)生的聲輻射是結(jié)構(gòu)輻射噪聲的主要來源[2].另外，關(guān)于聲輻射模態(tài)理論的研究表明，結(jié)構(gòu)聲輻射效率的高低與其表面振速分布有較大的關(guān)系.在一定頻率范圍內(nèi)，某些振速分布可以實(shí)現(xiàn)較小的聲輻射效率，因此，優(yōu)化控制結(jié)構(gòu)的表面振速分布對于降低結(jié)構(gòu)的輻射噪聲非常有效[3].目前很多學(xué)者對結(jié)構(gòu)振動的主動控制進(jìn)行了大量的研究，并已取得一定的成果[4－5]，怎樣合理地運(yùn)用聲輻射模態(tài)理論來設(shè)計(jì)低輻射效率板件目前尚無成熟的理論方法.本文以工程中典型的矩形板結(jié)構(gòu)為研究對象，從聲輻射模態(tài)理論出發(fā)，分析討論了影響板結(jié)構(gòu)聲輻射的主要因素，由此提出了優(yōu)化板結(jié)構(gòu)聲輻射的2種方案，并對這2種方案進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，對結(jié)果進(jìn)行了簡單分析.

1 板結(jié)構(gòu)聲輻射特性分析

根據(jù)文獻(xiàn)[6]的研究內(nèi)容可以知道，對于離散成N個微小單元的板結(jié)構(gòu)來說，其在振動頻率ω下的聲輻射功率W（ω）可以由下式計(jì)算得到：

式中：ρ為介質(zhì)密度，c為該處介質(zhì)振動速度，ρc為聲場介質(zhì)的特性阻抗率；s為每個單元的面積；σi（ω）為頻率ω下板結(jié)構(gòu)的第i聲輻射模態(tài)對應(yīng)的輻射效率；N為所關(guān)心的聲輻射模態(tài)總數(shù)；u（ω）指頻率ω下板結(jié)構(gòu)的表面振速向量；qi（ω）為頻率ω下板結(jié)構(gòu)的第i階聲輻射模態(tài).若令

圖1所示為前9階聲輻射模態(tài)對應(yīng)的輻射效率特性，采用雙對數(shù)坐標(biāo)軸.根據(jù)參考文獻(xiàn)[3]，取量綱一化頻率kl作為橫坐標(biāo)，其中k為波數(shù)，l為板件的長度.

圖1 聲輻射效率特性Fig.1 The character of radiation efficiency

聲輻射效率大致具有如下特性[6]：在中低頻時，各階輻射效率差別較大，隨著聲輻射模態(tài)階數(shù)的增加，輻射效率迅速減小，說明聲輻射主要集中在前幾階輻射模態(tài)上.而到了高頻，各階聲輻射模態(tài)的輻射效率趨于相同，聲輻射由所有的模態(tài)共同貢獻(xiàn).

從式（3）可以看出，對于一確定的板結(jié)構(gòu)，影響其聲輻射功率的主要因素為表面振速振型v（ω）和振幅U（ω）.其中振幅U（ω）以2次方的倍數(shù)關(guān)系影響聲輻射功率，而振型v（ω）的變化則主要改變各輻射效率值的權(quán)值.

在中低頻情況下，由于各階輻射效率值差別甚大，低階輻射效率值比高階輻射效率值高出幾個數(shù)量級.因此，可以認(rèn)為振型v（ω）對聲輻射的影響大于振幅U（ω）對聲輻射的影響，也就是說，中低頻時，板結(jié)構(gòu)的振型對聲輻射功率起主導(dǎo)作用.

而到了高頻段時，所有聲輻射模態(tài)的輻射效率均趨于一致.各階聲輻射模態(tài)對應(yīng)的輻射效率σi（ω）隨模態(tài)階數(shù)i變化甚微，因此可以用一個固定值σ0（ω）來近似代替，式（3）變成

式中，σ0為各階聲輻射模態(tài)下輻射效率的平均值.又因?yàn)?/p>

由聲輻射模態(tài)的性質(zhì)知qi（ω）是空間的一組單位正交基，所以有

式中，I表示單位矩陣，將式（6）代入式（5）得

將上式代入式（4）得

從式（8）可以知道，高頻振動時，板結(jié)構(gòu)輻射聲功率僅與振速振幅U（ω）有關(guān)，而振型v（ω）的變化對輻射聲功率基本不產(chǎn)生影響.

上述簡單分析表明，對于板結(jié)構(gòu)聲輻射的優(yōu)化控制需要分中低頻和高頻2種情況分別考慮.中低頻時，總的聲輻射功率不僅與振速幅值U（ω）相關(guān)，同時也和振型v（ω）相關(guān)，而振型v（ω）是主要因素，因此對結(jié)構(gòu)的優(yōu)化可以從控制v（ω）的角度出發(fā)；高頻段時，由于總輻射效率基本保持不變，總聲功率僅與振速振幅U（ω）相關(guān)，此時能有效控制聲輻射的優(yōu)化方法就是控制振幅U（ω）值.

2 聲輻射優(yōu)化方案

對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化，其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型一般為

式中：f（x）為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；gj（x）為不等式約束條件；hk（x）為等式約束條件.

如何選擇優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f（x）是其中的關(guān)鍵步驟，優(yōu)化函數(shù)的合理與否直接關(guān)系到優(yōu)化結(jié)果的理想與否.前面分析表明，影響板結(jié)構(gòu)的主要因素在不同頻段下是不同的，因此對板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，其目標(biāo)函數(shù)也要分別考慮.

在高頻段時，由式（8）知道，振幅U（ω）是影響聲輻射功率的唯一因素，因此優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以取如下形式：

而在中低頻時，雖然振型v（ω）是影響聲功率的主導(dǎo)因素.然而，由于振型v（ω）是一個向量，并非標(biāo)量，將振型v（ω）作為目標(biāo)函數(shù)是不現(xiàn)實(shí)的.而如果以式（1）作為目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算量又太大，因此，對于中低頻情況，需要作進(jìn)一步分析討論.

一些研究表明[7]，中低頻段時，采用形如式（1）的求和式計(jì)算板結(jié)構(gòu)聲功率時只需取其前6項(xiàng)的和便可達(dá)到較好的精度，那么此時聲輻射功率計(jì)算公式可簡化為

另外，中低頻時各階聲輻射模態(tài)基本不隨頻率變化[8]，因此，可以用一確定頻率ω0下的聲輻射模態(tài)向量qi（ω0）來代替該頻段內(nèi)任意頻率下的聲輻射模態(tài)向量qi（ω），式（11）進(jìn)一步簡化為

而輻射效率由于在雙對數(shù)坐標(biāo)中呈線性，因此可以用下式擬合：

式中，ai為第i階聲輻射模態(tài)的擬合系數(shù).

將式（13）代入式（12）中得到

式（14）相比于式（1）來說計(jì)算量大大減少，而其計(jì)算精度仍可達(dá)到工程計(jì)算的要求.因此，可以用式（14）作為中低頻段優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，即取

這里，由于式（15）是通過控制前6階聲輻射模態(tài)的成分來控制總聲輻射功率的，即優(yōu)化主要起到了改變結(jié)構(gòu)振型的作用，因此稱這種優(yōu)化方案為“振型優(yōu)化”.對應(yīng)地，中高頻優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)就是通過控制結(jié)構(gòu)的振幅平方來減小聲輻射，因此稱該優(yōu)化方案為“振幅優(yōu)化”.

3 優(yōu)化數(shù)值計(jì)算

為了驗(yàn)證2種優(yōu)化方案的效果，采用一典型矩形板結(jié)構(gòu)作為研究對象進(jìn)行優(yōu)化數(shù)值計(jì)算.

本計(jì)算實(shí)例采用四邊固定0.6 m×0.4 m的金屬板件為研究對象，在其表面施加大小為10 N·m－2的均布簡諧壓力.板件初始厚度為1 mm，彈性模量為E＝2.1×1011Pa，密度ρ＝7.9×103kg·m－3，泊松比ν＝0.3.結(jié)構(gòu)分成18×12個大小相等的矩形單元.聲場介質(zhì)為空氣，密度ρA＝1.21 kg·m－3，聲速c＝340 m·s－1.以單元厚度為變量對其進(jìn)行聲輻射的優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)分別取式（15）和式（10）的形式，從振型和振幅兩方面進(jìn)行優(yōu)化.單元厚度值限制為0.5～2.0 mm，結(jié)構(gòu)總的質(zhì)量限制為不大于初始質(zhì)量值.優(yōu)化的頻率分別取400，800，2 500，10 000及25 000 rad·s－1.優(yōu)化模型采用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行求解.

圖2列出了各個頻率下2種優(yōu)化方案的優(yōu)化結(jié)果.圖中顏色的深淺代表了板件的厚薄，顏色越深說明優(yōu)化后該處越厚，反之亦然.

對于所有的優(yōu)化結(jié)果，厚度分布都呈現(xiàn)對稱的形式，這應(yīng)該主要是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)本身是對稱的，而且邊界條件和外加載荷也是對稱的，所以導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果是對稱的.比較同一頻率下2種優(yōu)化方法的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，兩者之間差別較大，不同的目標(biāo)函數(shù)帶來了不同的優(yōu)化結(jié)果.另外，同一種優(yōu)化方法在不同頻率下的優(yōu)化結(jié)果也不相同，說明優(yōu)化的結(jié)果對頻率比較敏感.另外，隨著振動頻率的升高，優(yōu)化后的厚度分布也變得越來越復(fù)雜.

圖3所示為優(yōu)化前后板結(jié)構(gòu)聲輻射功率的對比柱狀圖.比較2種優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在中低頻段（ω≤2 500 rad·s－1），振型優(yōu)化方法取得了較好的優(yōu)化結(jié)果.在該頻段內(nèi)，振型優(yōu)化前后聲功率都獲得了較大幅度的下降，下降量達(dá)到了30～40d B，優(yōu)化效果相當(dāng)明顯.而在高頻段（ω＞2 500 rad·s－1），振型優(yōu)化后聲輻射功率反而比優(yōu)化前更高，并且隨著頻率的升高，聲功率上升的幅度也增加，也就是說優(yōu)化起到了負(fù)面的作用.造成這種現(xiàn)象的主要原因還在于聲輻射模態(tài)的特性，由于中低頻時前幾階聲輻射模態(tài)貢獻(xiàn)了大部分的聲功率，因此對前6階聲輻射模態(tài)的控制可以有效地控制聲輻射功率；而到了高頻時，各階聲輻射模態(tài)的輻射效率趨于相同，低階輻射模態(tài)不再是主要的聲輻射模態(tài)，而且在減小低階輻射模態(tài)時可能導(dǎo)致了其他高階輻射模態(tài)更多的增加，從而反而增加了總的聲輻射.

再來看振幅優(yōu)化法的結(jié)果，從圖中可以看出，基本上在計(jì)算的整個頻段內(nèi)振幅優(yōu)化法都能取得一定程度的效果，然而優(yōu)化幅度并沒有振型優(yōu)化法那么明顯，大多數(shù)情況下，優(yōu)化使得聲功率得到了約3～5 d B的下降量.

圖4是優(yōu)化前后振速均方值及輻射效率的比較柱方圖.比較優(yōu)化前后的輻射效率值可以發(fā)現(xiàn)，振型優(yōu)化法使得各個頻段下的輻射效率都獲得了不同程度的降低.特別是在中低頻段，由于低階輻射模態(tài)輻射效率遠(yuǎn)大于高階輻射模態(tài)，因此對低階輻射模態(tài)的消除同時也大幅降低了結(jié)構(gòu)的總輻射效率.這時，雖然結(jié)構(gòu)的振速均方值沒有降低，但是仍能較大幅度地降低聲輻射功率.而到了高頻段，振型優(yōu)化前后的輻射效率變化不大，而此時由于結(jié)構(gòu)改變反而造成了振速均方值較大幅度地增加，所以聲輻射功率亦隨之增加.

圖4 振幅均方值及輻射效率對比Fig.4 Comparison of U 2 andσ

由于振幅優(yōu)化法的目標(biāo)函數(shù)就是振速均方值，因此振幅優(yōu)化后各個頻率的振速均方值都獲得了不同程度的下降.振幅優(yōu)化法對輻射效率的影響不大.

上述分析可以大致得出這樣一個結(jié)論：振型優(yōu)化法主要改變的是結(jié)構(gòu)的聲輻射效率，中低頻對振速均方值的影響不大，適用于中低頻段的優(yōu)化；而振幅優(yōu)化法主要改變的是結(jié)構(gòu)的振速均方值，在整個頻段均能獲得一定程度的優(yōu)化效果，在高頻段優(yōu)化比較有優(yōu)勢.

4 結(jié)論

主要以聲輻射模態(tài)理論為基礎(chǔ)，對板結(jié)構(gòu)的聲輻射特性進(jìn)行了分析研究，由此提出了振型優(yōu)化和振幅優(yōu)化這2種優(yōu)化方案，并使用這2種方案對一典型矩形板進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算.結(jié)論主要是基于聲輻射模態(tài)理論得出的，而結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)只與其形狀和大小有關(guān)，與其他特性（如材料等）并無直接關(guān)系，因此平板的初始振動模態(tài)對本文結(jié)果沒有直接影響，仿真所用的平板固有振動頻率不影響結(jié)論的普適性.研究主要結(jié)論如下：

（1）板結(jié)構(gòu)的振型對中低頻聲輻射起主導(dǎo)作用，振動幅值的大小亦在一定程度上對聲輻射產(chǎn)生影響.

（2）高頻振動時，板結(jié)構(gòu)的振型分布基本不影響聲輻射，振動幅值大小決定了聲輻射功率的大小.

（3）振型優(yōu)化在中低頻段效果明顯，高頻段可能適得其反，因此僅適用于中低頻段.

（4）振幅優(yōu)化可在整個頻段取得一定的優(yōu)化效果，在中低頻段的作用不如振型優(yōu)化法，可適用于高頻段的聲輻射優(yōu)化.

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