復Finsler 流形間的調和映射

肖金秀，賀 群，陳志華，邱春暉

（1.上海工程技術大學 高職學院，上海200437；2.同濟大學 數(shù)學系，上海200092；3.廈門大學 數(shù)學科學學院，福建 廈門361005）

文獻[1－5]給出了實Finsler流形間的調和映射的一些開創(chuàng)性成果.而對于復Finsler流形的情形，基于比實Finsler流形更復雜，更不同于Hermite度量的實部即為Riemann度量，復Finsler度量的實部不再是實Finsler度量，導致復Finsler流形間的調和映射 的研究更復雜.文獻[6]通過考慮?－－能量變分研究了緊Riemann曲面到復Finsler流形上的調和映射.最近，文獻[7]則通過計算能量變分和應用文獻[8]中的非線性橢圓系統(tǒng)研究了復Finsler流形到Hermite流形上的調和映射，并且得到有關K?hler Finsler流形到復流形間調和映射的存在性定理.

本文，通過定義其上的整體內積得到相應 的伴隨算子和Laplace算子，并且巧妙地給出了復Finsler度量和實Finsler度量之間的關系，得到了復Finsler流形間調和 映射的能量泛函與?－能量泛函和?－－能量泛函之間的關系式，并且通過技巧性的計算分別得到了他們的變分公式，從而給出了調和映射的定義；由于復Finsler流形中有關復Finsler度量的聯(lián)絡系數(shù)不僅和底流形上的點有關而且和纖維也有關，進而導致?－能量與?－－能量之差不是同倫不變的.

1 預備知識

設M為復n維的復流形，（zk）為其局部坐標，T1，0M為其全純切叢.設u＝（zk，ηk）∈T1，0M，F(xiàn)（u）為強擬凸復Finsler度量，由zk＝xk＋ixn＋k和ηk＝y(tǒng)k＋iyn＋k知，實函數(shù)F（u）＝（xa，yb）不再是TRM＼｛0｝上實Finsler度量.若（gjk－）確定的矩陣是正定的，則稱gjk－是強凸的[9].因此，Munteanu引進不同于Abate和Patrizio的方法，實的度量結構不是由決定，而是由矩陣gjk－的實部確定.

命題1[9]設（z，η）由強擬凸復Finsler度量F誘導T1，0M上的 Hermite度量 ，則L2（x，y）：＝gab（x，y）yayb為一實Finsler度量，其中g

式中：Re表示實部；Im表示虛部.

稱L為強擬凸復Finsler度量F誘導的實Finsler度量.設的逆矩陣，即為），由可得：

設C＊＝C＼｛0｝，射影切叢PTM定義為PTM＝／C＊且∶PTM→M，則PTM上的Finsler幾何量關于切向量（即纖維坐標）是零齊次的.令∧δηn，PTM 體積形式為dV＝dτ∧d∧ dσ ∧d（參見[10－11]）.

引理1 設（M，F(xiàn)）為緊強擬凸復Finsler流形.則對于所有射影切叢PTM上的函數(shù)f，

因此，

在PTM上積分得

由式（3）得

引理2 設（M，F(xiàn)）為緊強擬凸復Finsler流形.若T1，0M上的光滑函數(shù)f滿足f（z，λη）＝λ－f（z，η），則

而有

因此

2 調和映射

設（M，F(xiàn)）為n維緊強擬凸復Finsler流形，（N，L）為m維強擬凸復Finsler流形.設f：M→N為非退化光滑映射.記M的局部坐標為｛zi｝以及｛ωμ｝為N的局部坐標，f局部可表示為

設有關度量F的Chern－Finsler聯(lián)絡的聯(lián)絡系數(shù)為有關度

量L的聯(lián)絡的聯(lián)絡系數(shù)為

其中f既非全純也非反全純.否則，若f全純則e″（f）＝0；若f反全純則e′（f）＝0.f的?－能量泛函和?－－的能量泛函可定義為

由引理2，公式（6）可重寫為

從而式（7）也可重寫為

記TRM的實局部坐標為（x1，…，x2n，y1，…，y2n）及TRN的實局部坐標為（x～1，…，x～2m，y～1，…，y～2m），其中zi＝xi＋ixn＋i，ωμ＝x～μ＋ix～m＋μ，則

其中1≤a，…≤2m，1≤b，…≤2n且

1≤a，c…≤2m，1≤b，d…≤2n.根據(jù)式（1）—（2），得

從而，f的能量密度可定義為.由式（6），（11），有

且

則，

現(xiàn)考慮f＝f0的光滑變分，即一族光滑映射ft∶M→N，t∈D＝ ｛z∈C｜｜z｜＜ε｝.

則f的?－能量泛函和?－－能量泛函變分為

由變分｛ft｝誘導上的向量為

且

則

由引理2得

且

類似地，

以及

因此，有

定理1 設（M，）為緊強擬凸復Finsler流形，（N，L）為強擬凸復Finsler流形.若f：（M，F(xiàn)）→（N，L）為非退化且非反全純映射，?－能量泛函的第一變分為

其中

以及

和

類似地，

定理2 設（M）為緊強擬凸復Finsler流形，（N，L）為強擬凸復Finsler流形.若f：（M，F(xiàn)）→（N，L）為非退化且非全純映射.則－能量泛函的第一變分為

其中：

以及

和

注意1 若（N，L）為Hermite流形同樣可以得到文獻 [7]中的定理3.1.

注意2 若（M，F(xiàn)）為緊Riemann曲面，可以得到文獻[6]中的結果.

令

則，

定理2 在復Finsler流形上，K（f）不是同倫不變的.

由式（17）和（18）知，對于 K?ahler流形間的光滑映射f，K（f）是同倫不變的.

[1] He Q，Shen Y B.Some results on harmonic maps for Finsler manifolds[J].International Journal of Mathematics，2005（16）：1017.

[2] He Q，Shen Y B.Some properties of harmonic maps for Finsler manifolds[J].Houston Journal of Mathematics，2007（33）：683.

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