基于正則化方法的Hull－White 短期利率模型參數(shù)估計(jì)

江 良，忻丁耀

（1.同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海200092；2.莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 莆田351100；3.同濟(jì)大學(xué) 教育技術(shù)與計(jì)算中心，上海200092）

眾所周知，Vasicek[1]首先提出均值回歸短期利率模型.為了更好地?cái)M合市場(chǎng)數(shù)據(jù)，Hull等[2]延拓了Vasicek模型，考慮所有的參數(shù)都是時(shí)間變量的函數(shù).但是Brigo等[3]注意到該模型中波動(dòng)率函數(shù)很難通過市場(chǎng)上債券數(shù)據(jù)擬合.因此，本文將考慮長(zhǎng)期回歸均值是時(shí)間變量的Hull－White模型[2]，該模型擬合的效果將會(huì)得到很大的改善.Brigo等[3]已給出關(guān)于長(zhǎng)期回歸均值函數(shù)顯示表達(dá)式，但其表達(dá)式依賴于遠(yuǎn)期瞬時(shí)利率及其導(dǎo)數(shù).根據(jù)Hanke等[4]論述，數(shù)值方法求解導(dǎo)數(shù)是一個(gè)不穩(wěn)定性問題，因此不能直接通過導(dǎo)數(shù)估計(jì)長(zhǎng)期回歸均值.正則化方法應(yīng)運(yùn)而生.

假設(shè)市場(chǎng)報(bào)價(jià)完全匹配理論價(jià)格.通過數(shù)學(xué)技巧，原問題可轉(zhuǎn)化為求解第一類Volterra積分方程[5].這類積分方程數(shù)值解一般是不穩(wěn)定的.本文將使用正則化方法來求解這類問題，歸咎于正則化方法是穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算過程.該方法通過引入罰函數(shù)來控制數(shù)值結(jié)果的穩(wěn)定性[6].因此，通過債券價(jià)格估計(jì)Hull－White模型中參數(shù)問題有必要使用正則化方法.在本文中，將使用微分算子作為罰函數(shù)，相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的Tikhonov正則化[6]，這類罰函數(shù)允許被估計(jì)函數(shù)具有一定光滑性.

1 利率與債券定價(jià)模型

首先，假設(shè)短期利率r在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下滿足如下的隨機(jī)微分方程[3]：

其中a，σ為常數(shù)，θ（t）是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，W（t）為標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動(dòng).基于式（1），在時(shí)間t時(shí)刻，到期日T支付為1單位的債券價(jià)格有如下表達(dá)式：P（t，T）＝P（t，T；a，σ，θ，r）＝A（t，T）e－B（t，T）r，其中A＝A（t，T）和B＝B（t，T）表達(dá)式如下[3]：

設(shè)當(dāng)前時(shí)刻（t＝0）到期日為T的市場(chǎng)債券價(jià)格的收益率R（0，T）滿足等式PM（0，T）＝e－R（0，T）T，0≤T≤T＊，其中PM（0，T）為市場(chǎng)價(jià)格，T＊是債券價(jià)格最大的到期日.兩邊取對(duì)數(shù)，可獲得fM（0，T）·＝lnPM（0，T）＝－R（0，T）T.定義范數(shù)和內(nèi)積：

2 參數(shù)估計(jì)計(jì)算方法

設(shè)lnP（0，T）＝fM（0，T）.根據(jù)式（2）和（3），得到：

其中

注意式（4）是第一類Volterra積分方程，其中F（T）和K（t，T）（數(shù)學(xué)上K（t，T）稱為核）是已知的函數(shù)，θ（t）是待求解的函數(shù).

為了簡(jiǎn)化問題，設(shè)Κ為積分算子，即Κθ·＝相應(yīng)函數(shù)θ（t）的解能通過下面的優(yōu)化問題獲得（T∈[0，T＊]）：

其中初始條件θ0＝θ（0），λ是正則化參數(shù).設(shè)Fδ（T）為擾動(dòng)的數(shù)據(jù)且

式中，δ是數(shù)據(jù)的測(cè)度誤差.

定理1 設(shè)θλ，δ和θλ分別是式（6）的極小值對(duì)應(yīng)于Fδ（T）和F（T），從而有

其中eδ（t）＝θλ，δ（t）－θλ（t）.

證明 設(shè)0≤α≤1，那么θλ＋αeδ∈C1[0，T].由于θλ是問題（6）的極小值，即

類似地，能夠得到

把式（9），（10）相減可以獲得

定理2 設(shè)θ＊是式（4）的精確解且是有界函數(shù).設(shè)正則化參數(shù)λ滿足

假設(shè)序列 ｛θλk，δk｝中的每一元素是式（4）的解，其中δk及λk·＝λ（δk）滿足假設(shè)式（12）.那么每一收斂子列極限值是式（4）的解而且如果式（4）的解是唯一的其極限為θ＊.

證明 由于θλk，δk是優(yōu)化問題（6）的解，因此可以得到

由不等式（13）及在定理2中的假設(shè)，有

應(yīng)用Poincare不等式，式（14）表明了θλk，δk是一致有界且等度連續(xù)函數(shù).由于算子K是一致有界線性算子，根據(jù)Arzela－Ascoli定理[8]，存在收斂子列其極限滿足式式（4）.若式（4）的解是唯一，由于收斂子列極限是等同的，因此其極限值為θ＊.定理證畢.

設(shè)ΔT＝Ti－Ti－1，i＝1，…，N，其中T0＝0和TN＝T＊.N表示總的觀察數(shù)據(jù)數(shù).假設(shè)θ（t）·＝θi－1，Ti－1≤t≤Ti，其中θ0定義在T0＝0時(shí)刻.使用中心差分離散格式近似積分方程，

基于數(shù)學(xué)歸納方法，設(shè)Θi－1＝ ｛θ0，θ1，…θi－1｝是已知的，i＝1，…，N，式（6）的離散格式為

通過對(duì)（15）關(guān)于θi求導(dǎo)數(shù)，可得

其中λ·＝λ／ΔT.在給定Θi－1條件下，式（15）是關(guān)于θi的一元二次方程.因此，由（16）所求的解一定是極小值.

3 數(shù)值算例

3.1 模擬結(jié)果

設(shè)a＝0.01，r＝0.03，σ＝0.1假設(shè)θ（t）＝（0.001＋0.1t）exp（－0.9t）＋0.009.其初始條件θ0＝0.01.定義根均值誤差（root mean square error，RMSE）為其中θi是數(shù)值解，θ（ti）是精確解.為了簡(jiǎn)化問題，本文將考慮ΔT＝0.5年.

圖1顯示不同正則化參數(shù)所對(duì)應(yīng)lnRM的值.從圖1可知正則化參數(shù)應(yīng)取機(jī)器精度.圖2顯示了數(shù)值結(jié)果和精確解.顯然，當(dāng)正則化參數(shù)很小時(shí)和直接數(shù)值求解幾乎沒有任何的區(qū)別.當(dāng)λ＝0時(shí)，RM＝1.875 7×10－14；當(dāng)λ＝1×10－9時(shí)，RM＝2.324 2×10－7.雖然從圖形中無法明顯地看出正則化方法和直接求解方法（λ＝0）的區(qū)別，但是下面數(shù)值結(jié)果將呈現(xiàn)正則化方法的優(yōu)勢(shì).

圖1 不同正則化參數(shù)選取所對(duì)應(yīng)的ln RM的值Fig.1 The values of ln RM for different regularization parameters

圖2 比較精確解及數(shù)值解（λ＝0及λ＝10－9）Fig.2 Comparision of the exact solutions and numerical solutions（λ＝0 andλ＝10－9）

設(shè)噪聲的數(shù)據(jù)通過表達(dá)式fδ，M（0，T）＝fM（0，T）（1＋δz）產(chǎn)生，其中δ是常數(shù)，z服從均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù).

圖3描述對(duì)于不同δ取值分別使用正則化方法和直接求解方法所對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)RMSE估計(jì).顯然，通過觀察圖形，直接求解方法和正則方法都是穩(wěn)定的.然而當(dāng)數(shù)據(jù)帶有較大的噪聲時(shí)，正則化方法具有更好的數(shù)值結(jié)果.

圖3 對(duì)于不同δ取值所對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)根均值誤差估計(jì)Fig.3 The values of ln RM are plotted for differentδ

3.2 實(shí)證結(jié)果

考慮美國國債每天交易2011年6月1號(hào)收益率數(shù)據(jù)（來源于http：／／www.ustreas.gov）.最大的到期日為10年.設(shè)ΔT＝0.5年，r＝0.03%.由于實(shí)際的報(bào)價(jià)僅只在一些節(jié)點(diǎn)上.因此通過三次樣條差值方法補(bǔ)上一些缺失的數(shù)據(jù).其數(shù)據(jù)結(jié)果呈現(xiàn)在圖4中.參數(shù)a和σ取值將基于標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘法來估計(jì).θ0將基于0≤T＜T1的數(shù)據(jù)通過最小二乘法的方法來估計(jì).為了刻畫擬合的結(jié)果引入RMSE為

基于Vasicek模型，參數(shù)估計(jì)值分別為θ＝0.009 218，a＝0.113 4，σ＝0.020 39及相應(yīng)的RMSE值為0.004 031.其長(zhǎng)期均值年收益率為θ／a＝8.13%.圖5給出相應(yīng)的數(shù)值解和市場(chǎng)數(shù)據(jù)的比較.從圖5可知，對(duì)于長(zhǎng)期的數(shù)據(jù)，Vasicek模型擬合比較好，但是短期的數(shù)據(jù)其誤差相當(dāng)大.這就說明了常數(shù)θ值可能導(dǎo)致模型誤判.因此考慮時(shí)間變量長(zhǎng)期回歸均值是有必要的.

圖4 比較市場(chǎng)收益率數(shù)據(jù)和插值數(shù)據(jù)Fig.4 Comparision of the mar ket yield curve and the cubic interpolation results

圖5 基于Vasicek模型，數(shù)值結(jié)果和市場(chǎng)數(shù)據(jù)的的比較Fig.5 Comparision of the exact solutions and the mar ket qutoes

類似上一節(jié)的模擬結(jié)果，通過最小RMSE值選取其參數(shù).圖6顯示不同λ值所對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)RMSE值.從圖形可知，λ沒有最小值，極端的情況λ＝0.若基于擬合考慮，正則化方法和直接求解方法沒有區(qū)別.但正則化方法能夠通過調(diào)整正則化參數(shù)控制誤差精度和數(shù)值結(jié)果穩(wěn)定性.如通過數(shù)值測(cè)試，當(dāng)λ＝10－4時(shí)，RM＝1.993 2×10－5.其保留4個(gè)有效數(shù)字，在實(shí)際應(yīng)用中是可接受的.若λ更大，擬合效果較差；若λ更小，后面的有效數(shù)字估計(jì)是沒有用的.相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果被呈現(xiàn)在圖7中.而當(dāng)λ＝0時(shí)，RM＝4.670 9×10－18，因?yàn)閷?duì)于收益率不需要估計(jì)到這多的有效數(shù)字.

圖6 對(duì)于不同的λ的值所對(duì)應(yīng)ln RM誤差估計(jì)Fig.6 Esimates of ln RM for differentλ

圖8顯示市場(chǎng)收益率數(shù)據(jù)和數(shù)值解及θ的數(shù)值結(jié)果.當(dāng)λ＝10－4時(shí)，其數(shù)值結(jié)果相對(duì)比較穩(wěn)定.同時(shí)當(dāng)λ＝0，θ有一部分是取負(fù)數(shù)并呈現(xiàn)激烈的震蕩，而λ＝10－4幾乎都是正的數(shù).從實(shí)際應(yīng)用價(jià)值考慮，其數(shù)值結(jié)果表明基于Hull－White模型有必要使用正則化方法.另一方面，比較Hull－White模型和Vasicek模型，顯然考慮Hull－White模型改善擬合的結(jié)果.

圖7 比較收益率市場(chǎng)數(shù)據(jù)和數(shù)值解（λ＝0和λ＝5×10－4）Fig.7 Comparision of the mar ket yield curve and the numerical solutions（λ＝0 andλ＝5×10－4）

圖8 比較不同的正則化參數(shù)θ（t）的數(shù)值結(jié)果Fig.8 Comparision ofθ（t）with the cor responding regularization parameters

4 結(jié)論

本文提出一種有效的正則化方法估計(jì)Hull－White模型中的參數(shù).證明了該計(jì)算方法穩(wěn)定性和收斂性.通過數(shù)值模擬結(jié)果確認(rèn)了基于Hull－White模型正則化方法計(jì)算的有效性.最后實(shí)際應(yīng)用表明了正則化方法更加有效并更符合實(shí)際意義.

致謝

感謝同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系姜禮尚教授對(duì)本文提出建設(shè)性的意見.

[1] Vasicek O.An equilibrium characterization of the term structure[J].Journal of Financial Economics，1977，5（2），177.

[2] Hull J，White A.Pricing interest－rate－derivative securitites[J].The Review of Financial Studies，1990，3（4），573.

[3] Brigo D，Mercurio F.Interest－rate models：theory and practice[M].Berlin：Springer－Verlag，2006.

[4] Hanke M，Scherzer O.Inverse problems light：numerical differentiation [J].The American Mathematical Monthly，2001，108（6）512.

[5] Linz P.Analytical and numerical methods for Volterra equations[M].Phiadelphi：SIAM，1985.

[6] Engl H W，Hanke M，Neubauer A，et al.Regularization of inverse problems [M ]. Dordrecht： Kluwer Academic Publishers，1996.

[7] Adams A R，F(xiàn)ournier J J F.Sobolev spaces [M].Beijing：Beijing World Publishing House，2009.

[8] Nair M L.Linear operator equations[M].Singapore：World Scientific，2009.