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    圓柱孔收縮的彈塑性解及其在隧道工程中的應(yīng)用

    2012-07-31 07:55:28曾英俊楊敏
    關(guān)鍵詞:剪應(yīng)變彈塑性離心機(jī)

    曾英俊,楊敏,孫 慶

    (1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系,上海200092;2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海200092;3.中國建筑第三工程局有限公司技術(shù)中心,湖北 武漢430064)

    圓孔擴(kuò)張理論經(jīng)過多年的發(fā)展已經(jīng)成為解決巖土工程領(lǐng)域問題的一種有效方法,并且已經(jīng)成功應(yīng)用到土體原位測試和打樁工程中.另一方面孔卸載方法已經(jīng)被用來預(yù)測隧道周圍土體和巖體的性質(zhì),圓柱孔卸載方法已經(jīng)用于隧道支護(hù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中[1].

    粘土中的隧道施工速度較快,周圍土體性質(zhì)可認(rèn)為是不排水的.過去不排水條件下的隧道開挖是基于線彈性-完全塑性的Tresca模型的總應(yīng)力分析方法[2],但是該方法不能考慮土體的應(yīng)力歷史、土體的剛度變化以及應(yīng)變軟化和硬化的影響.對于不排水問題可以基于臨界狀態(tài)土力學(xué)模型利用有效應(yīng)力分析方法進(jìn)行更加準(zhǔn)確的計(jì)算,Randolph等[3]利用這種方法預(yù)測了打入樁周圍土體的性質(zhì),但是研究中必須要利用有限元方法.Collins等[4]利用臨界狀態(tài)土力學(xué)理論發(fā)展了孔擴(kuò)張的解析解法,并已成功應(yīng)用于正常固結(jié)土和超固結(jié)土中擠土樁周圍土體性質(zhì)的分析中.Yu等[5]基于臨界狀態(tài)土力學(xué)模型給出了柱孔收縮的彈塑性解,并進(jìn)行了參數(shù)分析,但是所得結(jié)果不是解析解,需要借助于數(shù)值計(jì)算,不便于工程應(yīng)用.

    綜上所述,用柱孔收縮理論分析隧道開挖的研究相對較少,即便得到的一些有益結(jié)論也需要借助有限元或者數(shù)值計(jì)算,不便于工程應(yīng)用.本文的主要目的是基于Yu[5]的柱孔收縮的推導(dǎo)方法,引入“破壞區(qū)”的概念,用大應(yīng)變理論得到土體柱孔卸載的彈塑性解析解,并結(jié)合土體瞬時(shí)沉降的理論得到隧道支護(hù)壓力和地表最大沉降量之間的關(guān)系.

    1 問題的定義

    根據(jù) Mair和Taylor的建議[6],隧道開挖問題的分析可簡化成如圖1所示,圖中D為隧道直徑.假設(shè)隧道的推進(jìn)如圖1a所示,隧道開挖面之后可以有襯砌;隧道開挖施工可以由球孔卸載(圖1b)或者柱孔卸載(圖1c)模擬.本文采用圓柱孔卸載模擬隧道開挖過程.

    圖1 隧道推進(jìn)簡化圖Fig.1 Idealization of a tunnel heading

    初始狀態(tài)時(shí)將原位應(yīng)力施加于孔壁,隧道開挖的模擬通過逐漸減小孔壓來實(shí)現(xiàn),孔壓從原位應(yīng)力逐漸減小到作用于襯砌上的壓力(有襯砌隧道)或減小到0(無襯砌隧道).

    為了分析問題方便,假設(shè)土體初始應(yīng)力狀態(tài)是各向同性的,并且將圓孔周圍土體分為三個(gè)區(qū)域:彈性區(qū)、塑性區(qū)及破壞區(qū)(圖2).圖2中,a0為圓孔的初始半徑;rp為塑性區(qū)的半徑,rl為破壞區(qū)半徑,在rl<r<rp范圍內(nèi)為塑性區(qū),rl以內(nèi)的范圍為破壞區(qū),rp以外的土體仍處于彈性狀態(tài);p0為作用在無限遠(yuǎn)處的靜止土壓力,p為孔內(nèi)壓力;σr、σθ分別軸向和徑向應(yīng)力.

    圖2 縮孔問題分析示意圖Fig.2 Contraction of cylinder cavity

    2 Yu彈塑性解的推導(dǎo)過程簡介

    首先,簡要介紹一下Yu彈塑性解的推導(dǎo)過程,并基于此對其中部分參數(shù)重新定義,對其結(jié)果進(jìn)行簡化,進(jìn)而得到柱孔收縮的彈塑性解析解.限于篇幅,僅對其中主要的步驟進(jìn)行介紹,詳細(xì)推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[5].

    2.1 孔卸載的運(yùn)動(dòng)方程

    由Yu的孔卸載運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)可知:

    對于初始半徑為r0的土體單元,剪應(yīng)變?yōu)?/p>

    式中:r、r0分別為土體單元的當(dāng)前半徑和初始半徑,a、a0分別為圓孔的當(dāng)前半徑和初始半徑.

    當(dāng)孔徑為a時(shí)剪應(yīng)變的分布與半徑r的關(guān)系為

    由方程(1)—(2)可知,半徑和剪應(yīng)變增量之間的關(guān)系為

    2.2 彈性卸載階段

    Yu將p’,p,q分別定義為,,本文根據(jù)臨界狀態(tài)土力學(xué)的傳統(tǒng)定義,將p’,p,q分別定義為平均有效應(yīng)力、平均總應(yīng)力和偏應(yīng)力,具體定義如下:

    為了簡化數(shù)學(xué)推導(dǎo),以下推導(dǎo)過程中的應(yīng)力都除以等效固結(jié)壓力e進(jìn)行歸一化.對于任一比容ve定義如下:

    式中:λ為正常固結(jié)線的斜率;N為在lnp’—v空間正常固結(jié)線上當(dāng)p’=1.0時(shí)的比容.

    歸一化之后的有效徑向、環(huán)向應(yīng)力分別為

    當(dāng)孔徑為a時(shí),由式(2)可得塑性區(qū)半徑rp為

    式中,γ0為初始剪應(yīng)變.或表示為與剪應(yīng)變和半徑的關(guān)系:

    2.3 彈塑性卸載階段

    (1)有效應(yīng)力分布

    屈服條件和塑性流動(dòng)準(zhǔn)則可表示如下:

    式中:γe為彈性剪應(yīng)變.

    由彈塑性邊界開始到塑性區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)對式(11)進(jìn)行積分,可得剪應(yīng)變?chǔ)门c歸一化的平均有效應(yīng)力p-′之間的關(guān)系為

    其中:

    ①對于正常固結(jié)土

    屈服準(zhǔn)則和流動(dòng)法則分別為

    式(15)—(16)中:Λ=1-κ/λ,κ為回彈曲線的斜率;M是p’—q平面上臨界狀態(tài)線的斜率.模型中的彈性模量為其中:和分別為歸一化的體積彈性模量和剪切模量;μ為泊松比;χ為代換系數(shù).

    式中,A1=Mκ/(2Λχv);A2=2Λκ/(Mv).

    ②對于超固結(jié)土屈服準(zhǔn)則

    式中:h為 Hvorslev屈服面在p-′-q-空間投影直線的斜率.仍取式(16)作為流動(dòng)準(zhǔn)則.彈性模量取值如下:

    (2)總應(yīng)力的準(zhǔn)靜態(tài)徑向平衡方程:

    2.4 塑性區(qū)總應(yīng)力

    總應(yīng)力可通過對式(22)積分得到:

    對于正常固結(jié)土,由式(3),(12),(13),(15),(16),得到總應(yīng)力為

    可以看出,式(24)得不到解析解,需要借助于數(shù)值計(jì)算.對于超固結(jié)土,結(jié)果更為復(fù)雜,也得不到解析解,在此不詳細(xì)列出.

    3 公式改進(jìn)及彈塑性解析解的推導(dǎo)

    為了能夠得到近似的解析解,這里假設(shè)對于大應(yīng)變情況,孔壁周圍的部分土體已經(jīng)達(dá)到破壞,這個(gè)區(qū)域定義為破壞區(qū),并令rl為破壞區(qū)與屈服區(qū)交界面的半徑,qu為極限偏應(yīng)力,對于破壞區(qū)內(nèi)的土體有q=qu,rl可由式(1)和(13)確定:

    當(dāng)r=a時(shí),可得孔壁處的徑向應(yīng)力為

    因此,由式(7),(27)和(28)可得孔壓為

    則孔壓和隧道內(nèi)徑之間的關(guān)系可表示為式(29),或者表示為

    其中,對于隧道開挖工程,a為支護(hù)結(jié)構(gòu)的外徑,即土體收縮之后的最終半徑;a0為土體初始半徑.

    參照Mair等[7]等提出的地表及地表以下不同深度處最大瞬時(shí)沉降值Smax統(tǒng)一的計(jì)算表達(dá)式:

    式中:D為隧道直徑;Z為計(jì)算土層深度;Z0為隧道軸線埋深;VL為地層損失率,定義為

    將式(30),(32)代入式(31)并取Z=0,可得孔壁支護(hù)壓力與地表最大沉降Smax和地層損失率VL的關(guān)系式分別為

    對于正常固結(jié)土,對式(18)進(jìn)行積分可得:

    對于超固結(jié)土,對式(21)積分可得:

    以下算例未做特殊說明時(shí)按式(35)正常固結(jié)土情況進(jìn)行取值計(jì)算.

    4 算例分析

    4.1 Grant和Taylor的離心機(jī)試驗(yàn)[8]

    Grant和Taylor曾利用離心機(jī)試驗(yàn)對隧道開挖過程中孔壁支護(hù)壓力和土體變形之間的關(guān)系進(jìn)行了研究.試驗(yàn)選擇高嶺土進(jìn)行模型試驗(yàn),用逐漸減小孔內(nèi)氣壓的方式模擬隧道的開挖過程.試驗(yàn)?zāi)P统叽缭斠妶D3(圖中尺寸為原型尺寸),主要土體參數(shù)詳見表1,表中,Γ為lnp′—v平面臨界狀態(tài)線上當(dāng)p′=1.0時(shí)的比容;Su為不排水抗剪強(qiáng)度;G0為初始剪切模量.

    圖3 離心機(jī)模型試驗(yàn)示意圖(單位:m)Fig.3 configuration of centrifuge model test(unit:m)

    表1 高嶺土主要物理參數(shù)Tab.1 Parameters of kaolinite clay

    選用表1中的參數(shù),用彈塑性解析解對Grant的離心機(jī)試驗(yàn)的地表沉降值進(jìn)行計(jì)算.將地表沉降計(jì)算值與試驗(yàn)實(shí)測值均繪成曲線,如圖4所示.

    由圖4可以看出,本文方法與試驗(yàn)結(jié)果所表現(xiàn)的變形規(guī)律相一致,即:隨著孔壓的減小地表最大沉降值Smax逐漸增大,且增大的速率越來越快.當(dāng)支護(hù)壓力大于100kPa時(shí),計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合得較好,相對差值均小于15 mm;當(dāng)支護(hù)壓力小于100 k Pa時(shí)計(jì)算值與實(shí)測值的差值相差相對較大,且差值隨壓力的減小逐漸增大,但是相對誤差幾乎不變(|S計(jì)算值-S試驗(yàn)值|/S計(jì)算值約為22%).

    總體來說,計(jì)算結(jié)果與離心機(jī)試驗(yàn)結(jié)果在數(shù)值上相吻合,所表現(xiàn)的規(guī)律相一致,證明用本文方法計(jì)算隧道開挖引起的土體變形是合理的.

    圖4 計(jì)算結(jié)果與離心機(jī)試驗(yàn)值對比Fig.4 Comparison of centrifuge tests and thecomputation results

    4.2 實(shí)際工程實(shí)例驗(yàn)證

    (1)上海隧道工程實(shí)例

    上海1964年對直徑4.2 m的隧道進(jìn)行了深層試驗(yàn)[8],地質(zhì)條件為飽和含水淤泥質(zhì)粘土,氣壓法施工(氣壓值90 k Pa),隧道軸線埋深15 m.土體參數(shù)見表2.

    表2 粘土主要物理參數(shù)Tab.2 Parameters of clay

    該隧道地表最大沉降Smax完工后2年的觀測為30 mm(觀測2年的土層損失率為3.2%).已知孔壓為90 k Pa,用本文方法計(jì)算的地表最大沉降Smax為25 mm土層損失率為3%,和實(shí)測結(jié)果有一定的誤差(|S計(jì)算值-S試驗(yàn)值|/S計(jì)算值約為20%).因?yàn)槭剑?1)為土體變形的短期值,而上述實(shí)例中為工后2年的觀測結(jié)果,且本文方法并未考慮土體工后的固結(jié)以及次固結(jié)問題,因此計(jì)算結(jié)果比實(shí)測結(jié)果偏小是合理的.

    上海地鐵試驗(yàn)隧道曹溪公園北部段[9],地層參數(shù)與上述工程實(shí)例相同,隧道直徑為6.41 m,軸線埋深11 m.施工觀測時(shí)長較短,約為半年,觀測地表最大沉降量為75 mm,(土層損失率為2.2%),而Smax計(jì)算值為73 mm,Smax計(jì)算值略小于實(shí)測值(誤差約3%).

    (2)英國地鐵實(shí)例

    英國O’Reilly等對Grimsby地區(qū)某下水道隧道開挖引起的地表沉降進(jìn)行了短期沉降和長期沉降的觀測[10].隧道直徑3 m,共在三個(gè)地方進(jìn)行了沉降監(jiān)測(包括短期沉降和為期11年的長期沉降),分別標(biāo)記為A、B、C,埋深分別為8,5.3和6.5 m.本文取氣壓法施工的B處作為對比實(shí)例(氣壓值41 k Pa).隧道所處的土層為非常軟的海底淤泥,計(jì)算參數(shù)見表3.

    表3 淤泥土主要物理參數(shù)Tab.3 Parameters of muddy soil

    由于該隧道的沉降觀測時(shí)間較長,隨時(shí)間的增長地表最大沉降在不斷增大,B監(jiān)測點(diǎn)地表最大沉降隨時(shí)間的變化(Smax—t)如圖5所示.

    圖5 B監(jiān)測點(diǎn)Smax—t圖Fig.5 Smax—t of site B

    取“氣壓關(guān)閉”(即隧道完工時(shí)t=100 d)的沉降值為短期沉降值,則由圖5可以看出實(shí)測短期最大沉降為50 mm.而計(jì)算結(jié)果為51 mm,二者相差很?。ㄕ`差為2%).因此,用本文的圓柱孔收縮彈塑性解計(jì)算隧道開挖引起的變形問題是合理的.但是隨時(shí)間的增長土體固結(jié)逐漸完成,橫斷面的最大沉降值不斷增大.本文方法不適于計(jì)算隧道開挖引起土體變形的長期影響.

    5 結(jié)論

    本文基于傳統(tǒng)的臨界狀態(tài)土力學(xué)理論,借鑒Yu圓柱孔收縮彈塑性解的推導(dǎo)過程,給出了圓柱孔收縮問題孔壓與孔徑變化之間的關(guān)系.并把隧道開挖問題簡化為圓柱孔收縮問題,得到了隧道支護(hù)壓力和隧道開挖引起的土體變形之間的關(guān)系.

    將本文方法的計(jì)算結(jié)果與Grant的離心機(jī)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比,結(jié)果吻合得很好.但是由上海的兩個(gè)工程實(shí)例以及英國的地鐵實(shí)例可以看出,由于本方法并未考慮軟土的固結(jié)以及次固結(jié)問題,因此計(jì)算長期的土體變形存在較大誤差.通過與國內(nèi)外工程實(shí)例的對比分析可知,本文的計(jì)算方法準(zhǔn)確合理,可為隧道開挖引起的短期土體變形分析提供借鑒.

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    [2] Lo K Y,Ng R M C,Rowe R K.Predicting settlement due to tunneling in clays [C]//Tunneling in Soil and Rock,Proceedings of Two Sessions at GEOTECH'84.Ailanta:American Society of Civil Engineers,1984,48-76.

    [3] Randolph M F,Carter J P,Worth C P.Driven piles in clay—the effects of installation and subsequent consolidation[J].Geotechnique,1979,29(4):361.

    [4] Collins I F,Yu H S.Undrained cavity expansions in critical state soils[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,1996,20(7):485.

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    [8] Grant R J,Taylor R N.Tunneling-induced ground movements in clay[J].Geotechnical Engineering,2000,143(1):43.

    [9] 劉建航,侯學(xué)淵.盾構(gòu)法隧道[M].北京:中國鐵道出版社,1991.354-355.LIU Jianhang,HOU Xueyuan.Shield tunneling method[M].Beijing:Railway Publishing House of China,1991.354-355.

    [10] O’Reilly M P,Mair R J,Alderman G H.Long-term settlements over tunnels:an eleven-year study at Grimsby [C]//Proceedings of Conference Tunnelling.London:Institution of Mining and Metallurgy,1991:55-64.

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