基于響應面和重要抽樣法的隧道襯砌結構時變可靠度

姚貝貝，孫 鈞，2

（1.同濟大學 地下建筑與工程系，上海200092；2.杭州豐強土建工程研究院，浙江 杭州310006）

地下結構的安全可靠與否，不僅影響其正常運營使用，而且直接關系到人民的生命財產安全.而盾構隧道建造費用高，服役期長（一般為100年），破壞危險性大，因此，要絕對保證盾構隧道的安全可靠.在目前的研究中，抗力不隨時間變化的可靠度研究多，抗力隨時間變化的可靠度研究少.結構的耐久性不足時會造成結構抗力的降低，從而使結構的安全性下降[1].顯然，在結構耐久性成為國際土木界所關注問題的今天，研究結構時變可靠度是有現(xiàn)實意義的.

結構時變可靠度是指將結構在設計使用期限內的抗力和作用效應看成是隨機變量，結構抗力隨時間不斷降低的可靠度分析方法，它是一個相當復雜的問題.隧道襯砌結構受力大部分處于偏心狀態(tài)下，極限狀態(tài)函數(shù)的非線性程度較高，特別是在考慮抗力隨時間變化的情況下.目前，國內外對結構可靠度的常用分析方法主要有一次二階距法、Monte Carlo方法、隨機有限元法、響應面法[2－3].一次二階距方法運算簡單，但主要是針對功能函數(shù)能夠明確表達的結構，對于復雜結構而言常難以寫出功能函數(shù)的顯式形式；Monte Carlo方法其模擬的收斂速度與基本隨機變量的維數(shù)無關，極限狀態(tài)函數(shù)的復雜程度與模擬的過程無關，具有直接解決問題的能力.近幾年，還發(fā)展了各種效率更高的抽樣方法如對偶抽樣，重要性抽樣[4]、分層抽樣、控制變數(shù)法等，但對于實際工程的結構破壞概率通常小于10－3以下量級的范疇時，該方法的模擬數(shù)目就會相當大，占據(jù)大量的計算時間，效率較低；隨機有限元方法是另一種手段，但是需要對確定性結構分析程序加以改造，要形成一個通用的隨機有限元程序來描述工程實際中各種隨機性，目前尚有一定困難[5]；響應面法具有思路清晰，方法簡便，計算量小的特點，是目前最有發(fā)展前景的結構可靠度分析方法之一，但該方法計算的是可靠度指標是幾何可靠度而不能完全代表結構的真實可靠度[6].

由于本文研究的是結構時變可靠度，極限狀態(tài)方程較為復雜，故將結合響應面法和重要抽樣兩種方法進行時變可靠度計算.即利用響應面法計算出設計驗算點和響應面方程，再引入重要抽樣法以得到的設計驗算點作為抽樣中心，以響應面方程作為近似功能函數(shù)進行抽樣，并考慮結構抗力隨時間衰減，從而求解隧道襯砌結構服務壽命期內的時變可靠度.

1 響應面法

響應面法起源于實驗設計，而后用于結構可靠度的數(shù)值模擬.其基本思想就是對于隱含的或需花費大量時間確定的真實的功能函數(shù)或極限狀態(tài)面，用一個容易處理的函數(shù)（稱為響應面函數(shù)）或曲面（稱為響應面）代替.一般為先設計一系列變量值X，每組變量值構成一個試驗點即樣本點xi，并逐步計算結構相應的一系列功能函數(shù)值Zi（i＝1，2，…，n），構造變量組和功能函數(shù)值之間的明確函數(shù)關系，利用其近似代替真實功能函數(shù)，再利用常用的方法計算結構可靠度.響應面法的關鍵是響應面函數(shù)對取樣點的很好擬合，響應面函數(shù)通常選取二次多項式，本文選取的近似響應面函數(shù)為不含交叉項的非完全二次多項式：

式中：a0，bi，ci（i＝1，2，…，n）為待定系數(shù).

確定響應面函數(shù)的關鍵是確定待定系數(shù)，先根據(jù)室內試驗得到的各試樣得到的變量均值作為初始迭代點，利用Matlab編程進行循環(huán)確定最接近均值點的一系列變量點，從而求出待定系數(shù)，得到一個時間變量對應一個響應面函數(shù)，以此反復進行迭代，直至兩次迭代結果在誤差范圍之內.通常在設計試驗點時采用二水平因子設計或中心復合設計，二水平因子設計是取因子的上水平和下水平，當有n個因子時，需要2n次試驗.中心復合設計是在二水平設計的基礎上，在增加原點和2n個坐標軸上的點.式（1）沿坐標軸代表真實功能函數(shù)，試驗點可沿坐標軸在均值點μX附近選擇，其中沿坐標軸Xi軸的試驗點具有的坐標為xi＝μXi±fσXi，其中f＞0，是一任意因子.這是一種只有在坐標軸上的點的中心復合設計.在這2n＋1個點處計算原真實功能函數(shù)的值，并由此得到線性方程組，解之可得到2n＋1個未知系數(shù)a0，bi，ci.具體的求解步驟如下：

（1）假定初始迭代點x＝（x1，x2，…，xn）T，一般取平均值μX.

（2）選取f值，一般取1，2，3，本文程序中選取f＝2.

（3）通過結構數(shù)值分析或試驗在各個展開點處計算功能函數(shù)的估計值（i＝1，2，…，2n＋1），并形成相應的系數(shù)矩陣，利用結構數(shù)值試驗方法，通過Matlab編制專用程序進行計算.

（4）利用式（1）求解待定系數(shù)a0，bi，ci（i＝1，2，…，n）.

（5）計算時變可靠度指標β及驗算點x＊.

（6）計算在驗算點處的功能函數(shù)的估計值.

（7）通過線性插值公式可得到新的x，即利用公式

（8）返回步驟（3）進行迭代，直至前后兩次β值相差＜ε，‖x＊‖＜ε.

2 重要抽樣法

設結構的功能函數(shù)為Z＝gX（X），基本隨機變量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)為fX（x），則結構的失效概率表示為

可靠度指標與失效概率的對應關系

式（2）—（3）中：I（x）為x的指示函數(shù)（或稱特征函數(shù)、示性函數(shù)），規(guī)定當x＜0時I（x）＝1，反之，I（x）＝0；Df是與gX（X）相對應的失效區(qū)域；Φ（·）為標

準正態(tài)分布的累積概率函數(shù).

利用Monte Carlo方法表示式（2）可寫為

式中，N為抽樣模擬總數(shù).

抽樣模擬總數(shù)N可近似的表示為

式（5）意味著抽樣數(shù)目N和成反比，而工程結構中的失效概率通常是較小的，這說明N必須要有足夠大的數(shù)目才能給出正確的估計，很明顯，只有利用方差縮減技術，降低抽樣模擬數(shù)目N，才能使Monte Carlo法在實際工程可靠性分析中得以應用.因此趙國藩等學者提出了效率更高的重要抽樣方法.

直接的Monte Carlo抽樣法得到的隨機變量X的樣本點xi（i＝1，2，…，N）多集中在聯(lián)合概率密度函數(shù)fX（x）的最大值附近，該點一般比較接近X的均值點μX.實際的結構失效應為小概率事件，從而μX處于可靠域而不在極限狀態(tài)面上，在失效域內的樣本點很少，實現(xiàn)一次Z＜0的機會很小.因此，重要抽樣方法的基本思想是通過改變隨機抽樣中心，使樣本點有較多機會落入失效域，增加使功能函數(shù)Z＜0的機會.

假定存在一個重要抽樣概率密度函數(shù)pV（v），滿足下列關系

則式（2）可變?yōu)?/p>

重要抽樣法就是選用pV（v）進行抽樣，可能改變原抽樣的重要區(qū)域，增加樣本點落入失效域的機會，但若絕大部分落入失效域內也對求解不利.因此，可以將抽樣中心取在失效域內對結構失效概率貢獻最大的點v＊，即最可能失效點.v＊可通過以下最優(yōu)化問題求解：

若用pV（v）對V抽樣，得到樣本vi＝（vi1，vi2，…，vin）T，i＝1，2，…，N，則pf的無偏估計值為

pV（v）的基本變量V的各量為正態(tài)隨機變量，V的方差可取對應的原隨機變量X的方差的1～2倍，V的均值可取最大可能點v＊或驗算點x＊.

綜上所述，重要抽樣法就是先以 Monte Carlo直接抽樣得到的樣本點為初始抽樣中心，利用式（8）進行最優(yōu)化設計，得到最可能失效點v＊，將v＊重新作為抽樣中心，進行迭代計算，利用式（7）可進行失效概率的計算.該過程均只是Matlab程序中實現(xiàn).

根據(jù)可靠度指標與失效概率一一對應的關系，可有式（9）求出失效概率，從而求出可靠度指標.

3 基于響應面法與重要抽樣法結合的可靠度計算方法

對于實際工程中，一般極限狀態(tài)方程為隱式，直接利用重要抽樣法，其抽樣中心和抽樣區(qū)域很難確定，并且直接采用重要抽樣法，抽樣次數(shù)仍然比較高，效率較低；而響應面法對于隱式方程能較精確地確定其驗算點和驗算點附近擬合精度較高的響應面.因此，將兩者結合可提高效率和計算精度，以響應面法得到驗算點作為重要抽樣法的抽樣中心，從而構造抽樣函數(shù)進行重要抽樣，計算結構失效概率和可靠度指標.具體步驟如下：

（1）假定初始迭代點x＝（x1，x2，…，xn）T，一般取平均值μX.

（2）選取f值，一般取1，2，3，本文程序中選取f＝2.

（3）通過結構數(shù)值分析或試驗在各個展開點處計算功能函數(shù)的估計值i（i＝1，2，…，2n＋1），并形成相應的系數(shù)矩陣.

（4）利用式（1）求解待定系數(shù)a0，bi，ci（i＝1，2，…，n）.

（5）計算可靠度指標β及驗算點x＊.

（6）若滿足收斂條件｜β（k）－β（k－1）｜＜ε，則輸出β，否則以為樣本中心，返回步驟（3）進行迭代，直至滿足收斂條件.

（7）輸出驗算點x＊，以x＊作為重要抽樣中心和抽樣函數(shù)pV（v）的均值，以原隨機變量方差的1～2倍作為抽樣函數(shù)的均值；

（8）對nV個隨機變量選取nS個正態(tài)分布的隨機抽樣點Vi；

（9）計算隨機抽樣點對應的功能函gX（vi）；

（10）以原隨機變量的均值和方差構造隨機抽樣點對應的聯(lián)合概率密度函數(shù)fX（vi）；

（11）以驗算點為均值，以原隨機變量方差的一倍為重要抽樣函數(shù)的方差構造重要抽樣概率密度函數(shù)pV（vi），并計算fX（vi）／pV（vi）的數(shù)值；

（12）計算功能函數(shù)值gX（vi）＜0出現(xiàn)的總次數(shù)；

（13）計算失效概率pf.

通過以上原理和步驟，本文利用Matlab軟件，結合隧道的工程實際概況，編制了服務壽命期限內，結構時效可靠度和可靠度指標的計算程序，并通過實例分析驗證了其正確性.

4 實 例

某越江公路隧道全長8 955.26 m，隧道內設計車速80 km·h－1，結構設計使用年限為100年.其中江中段東線長7 471.65 m，西線長7 469.363 m，為雙管盾構隧道.江中圓隧道的襯砌外徑為15.0 m，內徑13.7 m，環(huán)寬2.0 m，環(huán)厚0.65 m.工程區(qū)年平均溫度15.7℃，年平均相對濕度0.8.

本文研究時效可靠度，因此要考慮抗力和作用響應隨時間變化的統(tǒng)計特征，計算時取單位寬度進行計算，通過有限元計算，本文以襯砌結構偏心受壓狀態(tài)為例，利用近似概率法建立襯砌結構的極限狀態(tài)方程.在結構服務壽命期限內荷載作用效應S（t）不能超該期限內結構的抗力R（t），即：

當不滿足式（10）時結構將失效，因此結構的極限狀態(tài)方程為

當Z（t）＞0時，結構安全；當Z（t）＜0時，結構失效.

4.1 抗力隨時間衰減的隨機計算模型

對隧道襯砌結構，其受力狀態(tài)一般為偏心受力.根據(jù)文獻[7]規(guī)定，公路隧道襯砌結構矩形截面的強度計算公式，并結合文獻[8]推導的構鋼筋混凝土矩形截面小偏心受壓構件，部分截面受壓時的抗力表達式，以期使計算結果更為準確.當構件小偏心受壓時，文獻[9]的推導的抗力表達式變?yōu)椋?/p>

式中：Ra為混凝土的極限強度；h0為有效高度；Ag，Ag1分別為受拉區(qū)、受壓區(qū)鋼筋截面面積；e，e1分別為軸向力作用點到受拉鋼筋、受壓鋼筋合力點的距離；Rg1為鋼筋的抗壓計算強度；這些參數(shù)假定為正態(tài)分布，統(tǒng)計特征按照文獻[10]取值.另外三個參數(shù)為定值，取值分別為b＝1 000 mm，B＝－1 309 MPa，C＝1 047 MPa.

本文在計算鋼筋銹蝕后襯砌結構強度時，考慮環(huán)境因素和構件老化導致的抗力隨時間衰減，并引入損傷系數(shù).分別反映鋼筋銹蝕引起的鋼筋截面損失及強度降低、混凝土截面損傷、鋼筋和混凝土間粘結力下降三方面的損傷效應.鋼筋銹蝕后截面強度計算則需考慮損傷系數(shù)as和ac的影響，受拉和受壓區(qū)分別變?yōu)閍sRaAg和asacRaAg1.

在公式（11）的基礎上，引入表1中的損傷系數(shù)，并考慮時間效應，得到隧道襯砌結構在服務壽命期限內，結構抗力隨時間衰減的計算公式為：

式中：Ra（t）為混凝土的極限強度；as（t）為鋼筋銹蝕后鋼筋強度和截面面積降低系數(shù)隨機過程；ac（t）為鋼筋銹蝕后鋼筋與混凝土的協(xié)同工作系數(shù)；這3個參數(shù)均與時間有關，通過室內氯離子滲透和擴散試驗利用Fick第二定律得到的氯離子擴散系數(shù)，和室內鋼筋電化學快速銹蝕試驗得到的鋼筋銹蝕量來確定，其相關參數(shù)參考文獻[11]中的數(shù)值，均假定為正態(tài)分布，由于數(shù)值較多，所以在文中不在列出.h0c含義見表1.

表1 隨機參數(shù)統(tǒng)計特征Tab.1 Statistical characteristics of random parameters

4.2 作用效應S統(tǒng)計特征

本文在進行荷載效應求解過程中將圍巖的力學性能、襯砌材料的力學性能、襯砌結構的幾何尺寸、計算模式等看作隨機變量，其統(tǒng)計特征見表1.利用“荷載－結構”法，采用Ansys軟件中的可靠度計算專用模塊對襯砌結構進行內力分析，則可得到截面彎矩M0和軸力N0的均值和方差.

4.3 考慮抗力隨時間衰減的極限狀態(tài)方程

考慮抗力隨時間衰減的極限狀態(tài)方程如下：

通過以上極限狀態(tài)方程，利用本文編制的程序，求解出該越江隧道襯砌結構從建成開始使用到服務壽命100年內的時效可靠度指標和對應的失效概率，運算結果見表2.

表2 服務壽命期內可靠度指標與失效概率Tab.2 Time－dependent reliability indexes and failure probability in the service lifetime

整理出襯砌結構服務壽命期內時變可靠度指標與服務時間的關系圖（圖1）.

圖1 襯砌結構時效可靠度指標與時間關系圖Fig.1 Time－dependent reliability indexes and time diagram of tunnel lining

從圖1可以看出，在結構100年服務壽命內，結構時效可靠度隨時間是不斷衰減的，且與時間成指數(shù)關系，通過回歸分析，表示如下：

在工程結構中，對于缺少實測資料的工程，在基于近似概率法進行耐久性設計時，求解耐久性設計系數(shù)η則是關鍵，而耐久性系數(shù)則是時效可靠度指標的函數(shù)；兩者一一對應的關系如下：

式中：β0為結構初始可靠度指標，一般按文獻 [12]取值，本文取3.7；βt結構達到服務壽命時的可靠度指標，一般取βt＝β0.

從式（15）可以看出，耐久性系數(shù)與時效可靠度指標是相互對應的關系，通過本文的方法程序，可計算出結構時效可靠度指標，進而求得耐久性系數(shù)，才可對擬建結構在缺少實測數(shù)據(jù)的情況下進行耐久性設計.本文通過式（16）計算出該隧道在達到服務壽命100年時，結構的耐久性系數(shù)為η＝0.733 9，結合近似概率法，可驗證該隧道能夠滿足100年的服務壽命.可見，本文的方法程序，在結構進行耐久性設計時是有現(xiàn)實意義的.

5 結論

本文通過考慮隧道環(huán)境因素影響及時間效應，基于隧道襯砌結構抗力隨時間的衰減，結合近似概率法得到的極限狀態(tài)方程，利用響應面法和重要抽樣法計算襯砌結構的時效可靠度，主要有以下結論：

（1）介紹在高度非線性極限狀態(tài)方程情況下，將響應面和重要抽樣法結合的理論計算方法，該方法為隱式非線性功能函數(shù)的越江隧道工程可靠度分析提供了一種有效的方法；

（2）在隧道服務壽命期內，考慮抗力隨時間衰減，利用襯砌結構極限狀態(tài)方程，通過室內快速試驗得到隨機參數(shù)，以近似概率法得到的極限狀態(tài)方程為基礎，通過響應面法得到的驗算點和精度較高的響應面函數(shù)，以該結果作為重要抽樣的抽樣中心，利用Matlab軟件編制了隧道在服務壽命期內時效可靠度求解的專用軟件；并回歸分析了隧道襯砌結構時效可靠度與時間呈指數(shù)衰減規(guī)律；

（3）通過時效可靠度指標與耐久性系數(shù)的一一對應關系，利用可靠度指標求解耐久性系數(shù)，為越江隧道襯砌結構的耐久性設計提供了基礎.

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