活載下懸索橋主纜變形特性

柴生波，肖汝誠(chéng)，孫 斌

（同濟(jì)大學(xué) 橋梁工程系，上海200092）

雖然當(dāng)今主要依賴于建立有限元模型通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)懸索橋的精確計(jì)算，但在初步設(shè)計(jì)階段，掌握懸索橋的力學(xué)特性并進(jìn)行初步的估算仍是十分必要的.國(guó)內(nèi)外學(xué)者大都從撓度理論入手進(jìn)行分析[1－3]，研究懸索橋的各種力學(xué)特性.Wollmann以撓度理論為基礎(chǔ)，給出了一套用于計(jì)算撓度理論的實(shí)用解法，計(jì)算仍主要依賴計(jì)算機(jī)進(jìn)行[1].Clemente等以撓度理論為基礎(chǔ)，研究了大跨度懸索橋主要設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)于橋梁力學(xué)性能的影響，認(rèn)為隨著橋梁跨徑的增大，懸索橋的力學(xué)特性越來(lái)越接近單根主纜的力學(xué)特性[2].Jennings以線形撓度理論為基礎(chǔ)，忽略活載對(duì)于主纜內(nèi)力的影響，研究了集中荷載及均布荷載下主纜的變形[3].Gimsing對(duì)均布荷載及集中荷載下主纜撓度進(jìn)行過(guò)研究[4]，也有學(xué)者對(duì)懸索橋的重力剛度進(jìn)行了研究，得到了集中荷載下主纜豎向變形的計(jì)算公式[5－6].但使主纜產(chǎn)生最大撓度的具體的均布荷載加載位置尚不清楚，也缺乏理論依據(jù).

對(duì)于大跨度懸索橋而言，橋梁的重力剛度遠(yuǎn)大于其加勁梁的抗彎剛度，主纜的力學(xué)特性決定著整個(gè)橋梁的結(jié)構(gòu)行為，因此研究主纜的特性即可獲知懸索橋的某些重要力學(xué)特性.

同其他橋型相比，懸索橋整體剛度較小，因此，活載下懸索橋結(jié)構(gòu)的撓度是懸索橋設(shè)計(jì)中較為關(guān)心的問(wèn)題.本文擬通過(guò)主纜變形的幾何關(guān)系及能量原理分別研究塔頂位移、主纜的彈性伸長(zhǎng)及不平衡活載引起的主纜變形，并根據(jù)實(shí)際橋梁建立有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證.活載下懸索橋主纜變形（圖1）可以分解為以下3個(gè)部分：①塔頂位移引起的主纜變形；②纜的彈性伸長(zhǎng)引起的主纜變形；③纜的縱向位移引起的主纜變形.圖中，L為跨長(zhǎng)，f為主纜垂度.

圖1 活載下的主纜變形Fig.1 Deformation of main cable caused by live load

1 塔頂位移引起的主纜變形

活載作用下由于主纜索力增大可引起塔頂?shù)奈灰疲纱艘鹬骼|垂度的改變（圖2），圖中，δL為對(duì)跨長(zhǎng)取變分；δf為對(duì)垂度取變分.由于塔軸向剛度較大，因此僅考慮塔頂?shù)乃较蛭灰?

圖2 塔頂位移引起的主纜變形Fig.2 Deformation of main cable caused by displacement of tower top

基本假定：橋面系重量基本沿跨長(zhǎng)均勻分布，主纜總體線形為拋物線，塔頂發(fā)生一微小位移后，主纜線形仍為拋物線.

主纜長(zhǎng)度可表示如下：

式中：S為纜長(zhǎng)；n為垂跨比.

對(duì)纜長(zhǎng)取變分

纜長(zhǎng)不變，有

由式（2）—（3）得：

由式（4），（6）可得；

考慮到懸索橋中n較小，略去高階項(xiàng)并化簡(jiǎn)得：

估算時(shí)式（8）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

式（8），（9）反映了塔頂位移與主纜垂度改變的關(guān)系.懸索橋中L／f一般為10左右，垂度改變一般是塔頂位移的兩倍，垂跨比越小，塔頂位移引起的垂度改變量越大.通過(guò)虛功原理也能得到此結(jié)論[7].

2 纜的彈性伸長(zhǎng)引起的主纜變形

主纜彈性伸長(zhǎng)引起的主纜變形如圖3所示.

圖3 彈性伸長(zhǎng)引起的主纜變形Fig.3 Deformation of main cable caused by elastic elongation

纜長(zhǎng)可表示為

僅考慮纜索彈性伸長(zhǎng)時(shí)，L為常量，有

略去高階量，得：

式（13）反映了主纜彈性伸長(zhǎng)與主纜垂度改變的關(guān)系.比較式（8）和式（13）發(fā)現(xiàn)，塔頂位移若與主纜伸長(zhǎng)量相等，二者引起的垂度改變也是基本相等.對(duì)此可以做如下解釋，由于懸索橋垂跨比較小，因此其纜長(zhǎng)與跨長(zhǎng)相差不大（由式（1）可以看出），因此跨長(zhǎng)改變與纜長(zhǎng)改變引起的垂度改變量基本相等.

3 縱向偏移引起的主纜變形

當(dāng)活載并非沿跨長(zhǎng)均勻分布時(shí)，主纜將產(chǎn)生如圖4所示變形，既有豎向的撓度，又有縱向的偏移.不同于主纜彈性伸長(zhǎng)和塔頂位移引起的變形，主纜縱向偏移后，其總體線形不再為拋物線，且不再沿縱向?qū)ΨQ.

圖4 不平衡活載引起的主纜變形Fig.4 Deformation of main cable under unbalanced live load

對(duì)于設(shè)計(jì)者而言，關(guān)心的是橋梁的最大撓度，因此有必要研究能使懸索橋產(chǎn)生最大位移的加載模式.不同于簡(jiǎn)支梁，使主纜產(chǎn)生最大撓度的加載并非滿跨施加均布荷載，實(shí)際上，若假定主纜不可伸長(zhǎng)，則滿跨施加均布荷載并不能使主纜產(chǎn)生豎向變形.一般認(rèn)為半跨加載時(shí)主纜豎向撓度最大，最大撓度在靠近1／4跨處.

下面研究使得主纜產(chǎn)生最大豎向撓度的均布荷載加載位置.

重力剛度是懸索橋中一個(gè)重要概念，即恒載重量越大，對(duì)于抵抗活載引起的變形越有利，從能量角度理解則是外力做功儲(chǔ)存為結(jié)構(gòu)的重力勢(shì)能.懸索橋中活載與恒載相比較小，因此可假定活載引起的位移與活載呈線性關(guān)系.

將主纜分成加載段與非加載段進(jìn)行研究，加載段長(zhǎng)度為αL，非加載段為（1－α）L，兩端主纜分別承受均布荷載的作用，因此各自線形仍為拋物線，主纜變形如圖5所示.圖中，α為加載長(zhǎng)度與跨長(zhǎng)之比，p為活載集度，q為恒載集度，v為主纜的豎向撓度，f1、f2分別為加載段與非加載段主纜垂度，h1為加載部分下?lián)献畲笾?；h2為非加載部分上撓最大值.

整個(gè)外力做功之和可以表示為

若不考慮主纜的彈性伸長(zhǎng)，則均布荷載做功全部轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)的重力勢(shì)能.

未施加均布活載前，根據(jù)主纜水平力相等有如下關(guān)系：

圖5 主纜變形計(jì)算圖示Fig.5 Deformation of main cable under uniform load

可得：

同理：

加載部分下?lián)献畲鬄閔1，非加載部分最大向上撓度為h2，因?yàn)閮啥沃骼|變形前后都為拋物線，簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知：

加載段與非加載段主纜水平力相等，有如下關(guān)系：

將式（17）—（18）代入式（21）得

將式（19）—（20）代入式（14）并與式（22）聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得：

令恒載與活載之比q／p＝β，式（23）可化簡(jiǎn)為

加載長(zhǎng)度與豎向位移關(guān)系如圖6所示，由圖6可以看出，使主纜發(fā)生最大豎向撓度的加載方式并非半跨加載，而是從塔頂至約0.44跨處，根據(jù)β的不同而略有不同.若不考慮塔頂位移（適應(yīng)于剛性橋塔或單跨懸索橋）及主纜伸長(zhǎng)，由式（24）或圖6可以估算均布荷載下懸索橋的最大豎向撓度.最大豎向撓度僅與f及β有關(guān).

圖6 加載長(zhǎng)度與豎向位移關(guān)系Fig.6 The relationship between vertical displacement and loading length

懸索橋的最大撓跨比可由式（24）得到：

將α＝0.44代入式（25），考慮到恒活載比例較大，化簡(jiǎn)后得：最大撓跨比僅取決于垂跨比及恒活載比.

4 實(shí)例驗(yàn)證

4.1 模型計(jì)算

長(zhǎng)江上某單跨懸索橋，跨徑布置如圖7所示，主跨739 m，垂跨比為1／9，單位橋長(zhǎng)重量約233 k N·m－1，主要構(gòu)件截面參數(shù)及材料特性見(jiàn)表1.表中，E為材料彈性模量，γ為材料重度，A為截面面積，Iyy為y軸慣性矩.

圖7 橋跨布置立面圖（單位：m）Fig.7 Side view of bridge alignment（unit：m）

表1 橋梁主要構(gòu)件特性Tab.1 Main parameters and material properties of the bridge

建立全橋有限元模型，約束塔頂順橋向位移，從橋塔至跨中施加均布活載，均布荷載取值為40 k N·m－1，此時(shí)β為5.825，獲得均布活載不同的加載長(zhǎng)度引起的主纜豎向位移，驗(yàn)證式（24）的準(zhǔn)確性.式（24）的推導(dǎo)過(guò)程中并未考慮主纜的伸長(zhǎng)，為此在有限元模型中將主纜彈性模量增大10倍以消除主纜的彈性伸長(zhǎng)的影響.計(jì)算結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表2，最大值用下劃線標(biāo)出.

由圖8可知，加勁梁最大撓度數(shù)值解略大于式（24）的理論值，此時(shí)加勁梁撓度中包含了主纜的彈性伸長(zhǎng)部分；若將主纜彈性模量增大10倍后，則模型求解的最大撓度小于理論值，二者相差約0.1 m.

下面采用主跨滿布均布荷載的加載方式驗(yàn)證式（9）的準(zhǔn)確性，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3.

為扣除主纜伸長(zhǎng)引起的垂度改變，分別在約束塔頂位移與釋放塔頂位移兩種情況下，對(duì)模型加載分別求得兩種情況下主纜垂度的改變量δf2和δf1，兩者想減所得即為單純由塔頂位移引起的垂度改變，（δf1－δf2）／（δL1－δL2）即為垂度改變量與塔頂位移改變量之間的關(guān)系，并與式（9）所推導(dǎo)的解析解做對(duì)比，由表3可看出，二者非常接近.

表2 不同加載長(zhǎng)度下主纜豎向位移Tab.2 Vertical displacement of main cable under different loading lengths

圖8 均布荷載加載長(zhǎng)度與最大撓度關(guān)系Fig.8 Relationship between loading length and maximum deflection

4.2 計(jì)算結(jié)果分析

對(duì)于兩端固定且不可伸長(zhǎng)的單跨主纜而言，最不利加載為從橋塔至0.44跨處，但實(shí)際上主纜變形同時(shí)受到塔頂位移及主纜彈性伸長(zhǎng)的影響，并且塔頂位移量及主纜的伸長(zhǎng)量都隨著加載長(zhǎng)度的增大而變大，因此產(chǎn)生最大撓度的最不利加載形式會(huì)略大于0.44跨，具體要視邊跨的約束情況及主纜的彈性剛度而定.單跨懸索橋因?yàn)楸乘鲗?duì)于橋塔的約束較強(qiáng)，塔頂位移的影響較小，其最不利加載長(zhǎng)度相對(duì)較短.三跨懸索橋塔頂縱向約束弱于單跨懸索橋且受邊中跨比的影響，最不利加載長(zhǎng)度隨著邊中跨比的增大而增大，這一點(diǎn)也被相關(guān)研究所證實(shí)[8].

表3 塔頂位移引起的主纜垂度改變Tab.3 Sag change of the main cable caused by displacement of tower top

實(shí)際工程中，由塔頂位移、彈性伸長(zhǎng)及不平衡活載引起的懸索橋主纜變形是同時(shí)存在的，塔頂位移及彈性伸長(zhǎng)均引起主纜垂度的改變，可先估算由不平衡活載引起的主纜水平力的改變，估算主纜的彈性伸長(zhǎng)，由式（13）求出引起主纜垂度改變.塔頂位移量取決于主纜水平力的變化及邊跨對(duì)于塔頂?shù)募s束.文獻(xiàn)[7，9]研究了多跨懸索橋縱向約束剛度，若已知邊跨對(duì)于橋塔的約束則可由式（9）計(jì)算塔頂位移引起的主纜垂度改變.然后用改變后的垂度來(lái)求解不平衡活載引起的主纜變形.

在推導(dǎo)由塔頂位移及主纜彈性伸長(zhǎng)引起的主纜變形時(shí)均略去了垂跨比的高階微量，因懸索橋主纜垂跨比大多在1／10左右，因此略去后對(duì)結(jié)果影響不大.推導(dǎo)過(guò)程中均假定主纜線形為拋物線，在垂跨比較小的情況下，懸鏈線與拋物線相差較小，若荷載沿跨長(zhǎng)均勻分布，則主纜線形為拋物線，若荷載沿纜長(zhǎng)均勻分布則為懸鏈線，懸索橋荷載大部分集中于加勁梁，可看作沿跨長(zhǎng)均勻分布，因此采用拋物線假定是合理的.

推導(dǎo)主纜縱向偏移引起的變形時(shí)，采用圖5所示計(jì)算圖示，均布荷載恰好對(duì)應(yīng)于主纜的下?lián)喜糠?這種情況只會(huì)發(fā)生于主纜發(fā)生最大下?lián)系臅r(shí)候，因此式（24）—（26）僅適用于求解最大的撓度，并非適用于所有的α值.推導(dǎo)過(guò)程中未考慮加勁梁的影響，對(duì)大跨度懸索橋而言，雖然其重力剛度遠(yuǎn)大于加勁梁剛度，但略去加勁梁的影響，必然會(huì)帶來(lái)一定誤差.實(shí)際橋梁中，加勁梁縱橋向的移動(dòng)受到約束，因而實(shí)際的位移應(yīng)小于本文公式的估算值.對(duì)于帶有中央索夾的懸索橋，主纜在縱橋向不能自由移動(dòng)，也不適用于本文公式.

5 結(jié)論

將活載下懸索橋主纜變形分為以下3部分：塔頂位移引起的垂度改變；主纜彈性伸長(zhǎng)引起的垂度改變；不平衡活載下主纜的縱向位移引起的垂度改變.對(duì)此3個(gè)方面分別進(jìn)行了研究，主要結(jié)論如下：

（1）塔頂位移引起的主纜垂度改變與主纜垂跨比有關(guān)，垂跨比越小，由塔頂位移引起的垂度改變量越大.二者存在固定的比例關(guān)系.

（2）主纜的彈性伸長(zhǎng)引起的垂度改變量同樣與垂跨比有關(guān)，并且其數(shù)量關(guān)系近似等于塔頂位移引起的垂度改變量.

（3）由不平衡均布活載下主纜縱向偏移引起的最大撓度與恒活載之比及主纜垂度有關(guān)，對(duì)于塔頂無(wú)縱向位移、主纜不可伸長(zhǎng)的理想情況，最不利加載區(qū)域?yàn)閺臉蛩?.44跨處.

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