隨機場的隨機諧和函數(shù)表達

梁詩雪，孫偉玲，李 杰，2

（1.同濟大學 土木工程學院，上海200092；2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海200092）

實際的工程結(jié)構(gòu)，由于材料特性、邊界條件和系統(tǒng)輸入均不同程度存在隨機性，因而在許多場合將工程結(jié)構(gòu)視為隨機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)［1］是較確定性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)較為合理的一種反映方式.舉例言之，對于混凝土材料，由于初始隨機元（微裂縫、微孔洞等）和隨機組分（骨料分布等）的存在，導致工程結(jié)構(gòu)中混凝土強度、彈性模量等是三維隨機場.采用概率論的觀點才能更科學、細致地反映隨機結(jié)構(gòu)的受力力學行為［2］.

在隨機場直接模擬方法中，最為典型的即為譜表現(xiàn)［3］方 法、Karhunen－Loeve分 解 方 法［4］、雙 重 正交分解方法［5］等.文獻［6］對有代表性的方法進行了比較研究.然而，由于上述方法采用無窮級數(shù)，為了保證足夠的精度，須引入足夠多的隨機變量對隨機場進行模擬，增加了計算難度、降低了計算效率.

1969年，Goto和Toki率先提出了一類頻率和相位同時具有隨機性的譜表現(xiàn)方法［7］.Shinozuka等對譜表現(xiàn)方法進行了系統(tǒng)深入的研究［8］，并在1996年將這一工作擴展至多維隨機場模擬［9］.在上述背景下，陳建兵、李杰提出了隨機諧和函數(shù)的概念［10］.在此基礎上，孫偉玲等進一步提出了隨機過程的第二類隨機諧和函數(shù)表達［11］.研究表明：當頻率與相位在經(jīng)過剖分的子空間內(nèi)分別服從獨立均勻分布、幅值由隨機頻率與目標功率譜密度決定時，無論隨機諧和函數(shù)分量的個數(shù)是多少，該隨機過程的功率譜密度函數(shù)均精確地等于目標功率譜密度函數(shù).

本文試圖將上述隨機諧和函數(shù)表達進一步擴展至空間多維隨機場，并證實采用隨機諧和函數(shù)表達二維（多維）隨機場的適用性.

1 二維隨機場的第二類隨機諧和函數(shù)表達

隨機場是隨機過程在空間域（場域）上的自然推廣.對于二維隨機場f（u）其自相關函數(shù)

式中：u為二維空間變量，表示數(shù)學期望.定義自協(xié)方差函數(shù)

則自協(xié)方差函數(shù)與自相關函數(shù)關系為Kff（u，u′）＝Rff（u，u′）－E（f（u））E（f（u′））.對于平穩(wěn)隨機場，其自相關函數(shù)可寫為Rff（u，u′）＝Rff（u－u′）＝Rff（r），r為距離向量.

單個波動組分在時間上的頻度稱為頻率，而在空間上的頻度稱為波數(shù)，其表示2π單位長度內(nèi)波的個數(shù).波數(shù)K＝2π／τ，τ為波長.

平穩(wěn)隨機場f（x1，x2）的自相關函數(shù)與功率譜密度函數(shù)Sff（K1，K2）間存在如下維納－辛欽關系：

式中：K1，K2分別為x1，x2方向的波數(shù)；ξ1，ξ2分別為x1，x2方向的距離.出于實際應用考慮，通常取波數(shù)－K1u≤K1≤K1u，－K2u≤K2≤K2u，其中K1u＜∞，K2u＜∞分別為隨機場在x1，x2方向的上限截止波數(shù)，由此，式（4）可寫為

二維隨機場雙象限單邊功率譜Gff（K1，K2）為

對隨機過程的隨機諧和函數(shù)表達［11］作二維擴展，有二維隨機場的隨機諧和函數(shù)表達

式中：N1，N2為隨機諧和函數(shù)展開項數(shù)；K1n1，K2n2分別為隨機場第n1，n2個諧和分量波數(shù)；An1n2，分別為幅值和相位角。的內(nèi)點，且滿足的內(nèi)點，且滿足并記波數(shù)K1n1，K2n2和相位角為隨機變量.

顯然，式 （7）的自相 關 函 數(shù) 為R~f~f（ξ1，ξ2）＝對于式（7）所示的隨機諧和函數(shù)，存在以下定理：

（2）K1n1，K2n2，n1＝1，2，…，N1，n2＝1，2，…，N2為相互獨立的隨機變量，分別服從區(qū)間內(nèi)均勻分布，概率密度函數(shù)為pKjnj（Kj）.

不妨設f（x1，x2）為零均值的平穩(wěn)隨機場，則應有

證明 由式（7），有

若相位角Φn1n2，1，Φn1n2，2和波數(shù)K1n1，K2n2服從均勻分布，易知

將式（14）進行分解

當m1≠n1或m2≠n2時，式（15）第1項可寫為

同理，當m1≠n1或m2≠n2時，式（15）第4項的值也為零.考察式（15）第2，3項，對于任意m1，m2，n1，n2易知其值恒為零.綜上所述，僅考慮第1項和第4項在m1＝n1且m2＝n2時有

將式（8）～（10）代入（17），有

2 隨機諧和函數(shù)隨機場的性質(zhì)

2.1 平穩(wěn)性

由第1節(jié)的證明同時根據(jù)式（18）可見采用隨機諧和函數(shù)表達的隨機場的相關函數(shù)僅與坐標差有關，且（x1，x2）為零均值平穩(wěn)隨機場.

2.2 漸進正態(tài)性

采用Laning－Batting提出的雙變量中心極限定理［12］并推廣到空間域，則滿足定理（1）的條件且當N1，N2→∞時，隨機場（x1，x2）任意n個坐標點的截口隨機變量組成的隨機向量（（x11，x21），（x12，x22），…，（x1n，x2n））趨向于多維聯(lián)合正態(tài)分布.事實上，對于式（7）定義的二維隨機場，定義

令Z11，Z21，…，ZN1N2是N1×N2個獨立雙變量隨機向量其1階矩存在且已知，則此二維隨機向量的和為由 Laning－Batting 定理知，當N1→∞且N2→∞時，若滿足

考察式（21）括號內(nèi)第1項，根據(jù)孫偉玲等的研究［11］易知：當N1，N2→∞，ΔK1n1→0，ΔK2n2→0時有

類似地，式（21）括號內(nèi)第2～4項分別為零，因此

根據(jù)Laning－Batting定理可知Zn1n2＝（Xn1n2，Yn1n2）具有漸進正態(tài)性.

根據(jù)多維正態(tài)隨機變量的性質(zhì)可將結(jié)論推廣至任意n個坐標值所形成的隨機向量，即（~f（x11，x21），（x12，x22），…，（x1n，x2n））均具有漸進正態(tài)性.

2.3 截口概率密度函數(shù)

通過截口隨機變量的概率密度函數(shù)考察隨機諧和函數(shù)式（7）的性質(zhì).首先，引入隨機諧和函數(shù)的前幾階中心距對生成的隨機場進行描述，α1～α4分別表示隨機場前4階矩.

同理可證

對隨機場4階中心矩進行討論，顯然峰度系數(shù)ce為

將式（6），（9），（10）代入上式，當波數(shù)區(qū)間ΔK1，ΔK2取ΔK11＝ΔK12＝…＝ΔK1N1＝ΔK1＝K1u／N1且ΔK21＝ΔK22＝…＝ΔK2N1＝ΔK2＝K2u／N2時，有

則ce可寫為ce＝－3γ·（2N1N2）－1.

對于隨機場的一維概率密度函數(shù)，當前4階矩均已知時，可以采用Pearson［13］分布函數(shù)族逼近pf（y，（x1，x2））的表達式

前已述及二維隨機諧和函數(shù)形式前4階矩不隨坐標位置的變化而改變，因此p~f（y，（x1，x2））＝由此可以獲得隨機場的一維概率密度函數(shù).

采用相對熵［14］比較2個概率密度函數(shù)的近似程度：若2個函數(shù)完全相同，則相應的相對熵為零.2個函數(shù)相差越大，則相對熵絕對值越大.取標準正態(tài)分布為目標分布，相對熵φ）表示如下：

此時，考察p~f（y）趨向于正態(tài)分布的速率，對σ2＝1的情況進行討論［11］，由Pearson分布形式和歸一化條件，得

將上式代入式（32）可獲得相對熵.圖1給出了當二維隨機場譜密度形狀參數(shù)γ取1.5和1.9時隨機分量不同取值所對應的截口概率密度分布函數(shù)與標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，圖2給出了相對熵的對比.可見，隨著N1，N2的增大，隨機場的一維概率密度函數(shù)pf（y）很快趨向于標準正態(tài)分布，而其相對熵則很快地趨近于零.

3 多維隨機場的隨機諧和函數(shù)表述

式（7）所示的二維隨機諧和函數(shù)形式可以推廣至多維情況.對于m維情況，若目標函數(shù)f（u）服從且為平穩(wěn)隨機場，則有

圖1 一維概率分布與標準正態(tài)分布Fig.1 One－dimensional probability density function and normal distribution

圖2 一維概率分布與標準正態(tài)分布的相對熵Fig.2 Relatively entrophy of one－dimensional probability density function and normal distribution

4 數(shù)值算例

采用式（7）表述的隨機諧和函數(shù)生成二維隨機場.圖3a給出了上述情況下目標功率譜密度函數(shù)；圖3b給出了采用隨機諧和分量N1×N2＝8×8的目標函數(shù)的功率譜密度函數(shù)；圖3c給出了采用經(jīng)典譜表現(xiàn)方法×＝64×64的功率譜密度函數(shù)；圖4，圖5分別給出了在K1，K2方向的3種功率譜的比較.可見，經(jīng)典譜表現(xiàn)方法和隨機協(xié)和函數(shù)表達均能較好地符合目標功率譜，然而，采用隨機諧和函數(shù)生成的隨機場所需隨機變量更少，計算耗時更短.

圖3 功率譜密度函數(shù)Fig.3 Power spectral density function

圖4 K1方向功率譜密度函數(shù)Fig.4 Power spectral density function spectrum of K1

圖5 K2方向功率譜密度函數(shù)Fig.5 Power spectral density function spectrum of K2

5 結(jié)論

將第二類隨機諧和函數(shù)推廣至多維隨機場，可以采用較少的隨機諧和分量表示較為豐富的概率信息.證明了對于二維甚至多維隨機場，當隨機波數(shù)和隨機相位服從獨立均勻分布時，采用有限項隨機協(xié)和函數(shù)表達的隨機場的功率譜密度函數(shù)可精確地等于目標功率譜函數(shù).同時，這類隨機場服從平穩(wěn)性、漸進正態(tài)性.以數(shù)值算例驗證了采用隨機諧和函數(shù)生成的二維隨機場，相比經(jīng)典的譜表現(xiàn)方法，本文建議方法可以反映更多的概率信息，所需展開項數(shù)更少，計算更為快速、有效.

［1］李杰.隨機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)——分析與建模［M］.北京：科學出版社，1996.LI Jie.Stochastic structural systems：analysis and modeling［M］.Beijing：Science Press，1996.

［2］李杰.混凝土隨機損傷力學的初步研究［J］.同濟大學學報：自然科學版，2004，32（10）：1270.LI Jie.Research on the stochastic damage mechanics for concrete material and structures ［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2004，32（10）：1270.

［3］Shinozuka M，Jan C M.Digital simulation of random processes and its applications［J］.Journal of Sound and Vibration，1972，25（1）：111.

［4］Huang S P，Quek S T，Phoon K K.Convergence study of the truncated Karhunen－Loeve expansion for simulation of stochastic processes［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，2001，52（9）：1029.

［5］李杰，劉章軍.基于標準正交基的隨機過程展開法［J］.同濟大學學報：自然科學版，2006，34（10）：1279.LI Jie，LIU Zhangjun.Expansion method of stochastic processes based on normalized orthogonal bases［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2006，34（10）：1279.

［6］Grigoriu M.Evaluation of Karhunen－Loeve，spectral，and sampling representations for stochastic processes［J］.Journal of Engineering Mechanics，2006，132（2）：179.

［7］Goto H，Toki K.Structural response to nonstationary random excitation［C］／／World of Earthquake Conference Engineering，4th.Santiago：［s.n.］，1969：130－144.

［8］Shinozuka M，Deodatis G.Simulation of stochastic processes by spectral representation ［J］.Applied Mechanics Reviews，1991，44（4）：191.

［9］Shinozuka M，Deodatis G.Simulation of multi－dimensional Gaussian stochastic fields by spectral representation［J］.Applied Mechanics Reviews，1996，49（1）：29.

［10］陳建兵，李杰.隨機過程的隨機諧和函數(shù)表達［J］.力學學報，2011，43（3）：503.CHEN Jianbing，LI Jie.Stochastic harmonic function and spectral representations［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2010，43（3）：503.

［11］孫偉玲，陳建兵，李杰.隨機過程的第二類隨機諧和函數(shù)表達［J］.同濟大學學報：自然科學版，2011，39（10）：1413.SUN Weiling，CHEN Jianbing，LI Jie.Stochastic harmonic functions of the second kind for spectral representations［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2011，39（10）：1413.

［12］Laning J H，Battin R H.Random processes in automatic control［M］.New York：McGraw－Hill，1956.

［13］Zhao Y G，Ono T.Moment methods for structural reliability［J］.Structural Safety，2001，23（1）：47.

［14］克萊因 M.古今數(shù)學思想［M］.朱學賢，申又棖，葉其孝，等.上海：上?？萍汲霭嫔?，2002.Kline M.Mathematical thought from ancient to modern times［M］.Translated by ZHU Xuexian，SHEN Youcheng，YE Qixiao，et al.Shanghai：Shanghai Science and Technical Publishers，2002.

［15］Shinozuka M，Deodatis G.Response variability of stochastic finite element systems［J］.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1988，114（3）：499.