衛(wèi)星地面軌跡分段擬合確定交叉點(diǎn)的方法研究

周曉光，苗洪利，王云海，范陳清，崔廷偉，張 杰

1.中國(guó)海洋大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100；2.國(guó)家海洋局 第一海洋研究所，山東 青島 266061

1 引 言

衛(wèi)星繞地球運(yùn)行一周的軌道地面軌跡可分為2個(gè)弧段（pass），分別為上升弧段和下降弧段，在一個(gè)軌道重復(fù)周期內(nèi)，若干上升弧段和下降弧段所形成的交點(diǎn)稱為交叉點(diǎn)。交叉點(diǎn)是由于地球自轉(zhuǎn)所形成［1］。在交叉點(diǎn)處，上升弧段和下降弧段具有相同的經(jīng)緯度（即相同的地理位置）。

文獻(xiàn)［2］提出將衛(wèi)星的長(zhǎng)期攝動(dòng)和地球自轉(zhuǎn)結(jié)合，基于地球自轉(zhuǎn)模型的天文學(xué)計(jì)算得到了理論交叉點(diǎn)。由于重復(fù)周期的實(shí)際軌道并不嚴(yán)格重合，導(dǎo)致了天文學(xué)計(jì)算得到的理論交叉點(diǎn)位置與實(shí)際位置相差過大。為了解決此問題，文獻(xiàn)［3—4］提出了由理論交叉點(diǎn)位置出發(fā)迭代求解交叉點(diǎn)實(shí)際位置的方法。但是在將地球視為形狀規(guī)則、密度均勻的正球體的二體系統(tǒng)中，雖然衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌跡大致可以由軌道傾角、升交點(diǎn)赤徑、軌道長(zhǎng)半軸、軌道偏心率、近地點(diǎn)角距和平近點(diǎn)角6個(gè)參量確定，但由于高度計(jì)采用大地經(jīng)緯度，此時(shí)地球被視為密度不等的旋轉(zhuǎn)橢球體，而且衛(wèi)星的軌道受到地球引力、大氣阻力、太陽(yáng)光壓力以及月球、太陽(yáng)、行星等因素影響而產(chǎn)生攝動(dòng)，所以很難通過數(shù)學(xué)計(jì)算得到交叉點(diǎn)的精確位置。為了適應(yīng)區(qū)域平差的要求，一些學(xué)者將全球劃分為六大區(qū)域，分區(qū)域?qū)ζ渖仙《魏拖陆祷《芜M(jìn)行二次項(xiàng)擬合，聯(lián)立求解交叉點(diǎn)位置［5］，如文獻(xiàn)［6］在研究多星聯(lián)合確定中國(guó)近海重力異常時(shí)，在中國(guó)近海及其鄰海區(qū)域內(nèi)的T／P、ERS2和Geosat 3顆衛(wèi)星地面軌跡進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合計(jì)算交叉點(diǎn)，但這種方法只能用于區(qū)域平差，在全球范圍內(nèi)高度計(jì)的實(shí)際軌道與二次多項(xiàng)式曲線相差較大，如果對(duì)全段直接擬合所得出的二次多項(xiàng)式進(jìn)行聯(lián)立，其得到的交叉點(diǎn)概略位置與精確位置會(huì)相差過大，這將導(dǎo)致從概略位置到精確位置的逼近效率變低；由于高緯度地區(qū)擬合曲線和實(shí)際地面軌跡偏離較大，使二次多項(xiàng)式聯(lián)立無法得到交叉點(diǎn)概略位置，導(dǎo)致高緯度區(qū)域交叉點(diǎn)數(shù)大量缺失。

交叉點(diǎn)精確位置對(duì)應(yīng)的海表面信息是由上升弧段和下降弧段周邊實(shí)測(cè)點(diǎn)線性插值得到，因此交叉點(diǎn)精確位置確定直接影響交叉點(diǎn)測(cè)量不符值的精度。而高度計(jì)時(shí)標(biāo)偏差計(jì)算［7］、衛(wèi)星數(shù)據(jù)定軌［8］、衛(wèi)星軌道誤差修正［9－11］、大地水準(zhǔn)面模型的建立［12］、利用測(cè)高數(shù)據(jù)反演重力場(chǎng)［13］、海況偏差的計(jì)算［14－16］、潮汐的調(diào)和分析［17－18］以及 多星數(shù) 據(jù)聯(lián)合方面的研究［19－20］都是以交叉點(diǎn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的。天文學(xué)計(jì)算方法過于復(fù)雜，計(jì)算效率低。而適用于區(qū)域平差的擬合方法又無法應(yīng)用到全球范圍。因此找到一種準(zhǔn)確高效、適合于全球范圍的交叉點(diǎn)確定方法十分重要。

2 方法與數(shù)據(jù)處理

2.1 最優(yōu)分段

因?yàn)槿蚍秶鷥?nèi)衛(wèi)星地面軌跡與二次多項(xiàng)式曲線差距較大，所以通過對(duì)全段軌跡的二次擬合得到交叉點(diǎn)概略位置的可行性不大。本文根據(jù)衛(wèi)星地面軌跡的特征，對(duì)其進(jìn)行合理的分段，然后對(duì)分段后的軌跡進(jìn)行二次擬合，并對(duì)升、降軌跡擬合二次多項(xiàng)式聯(lián)立得到所需交叉點(diǎn)概略位置。

由于衛(wèi)星的地面軌跡與其軌道傾角關(guān)系密切，因此不同衛(wèi)星地面軌跡特征差距較為明顯，本文以軌道傾角為66°的Jason－1衛(wèi)星高度計(jì)為例進(jìn)行分析，圖1為Jason－1衛(wèi)星地面軌跡的示意圖。如圖可知衛(wèi)星地面軌跡為類正弦曲線，因此本文根據(jù)其曲線的彎曲特性，采用不等間隔的分段方法設(shè)計(jì)了11種分段類型，如表1所示。按照各種類型進(jìn)行分段擬合并進(jìn)行擬合效果分析，最終確定最優(yōu)分段類型。

提取Jason－1衛(wèi)星高度計(jì)第126個(gè)重復(fù)周期的第21弧段（上升）和64弧段（下降）的GDR（geophysical data record）2級(jí)數(shù)據(jù)產(chǎn)品中的經(jīng)緯度信息，按照表1中所列的分段方法進(jìn)行分段，對(duì)每段經(jīng)度λi和緯度φi的實(shí)測(cè)值按照式（1）進(jìn)行擬合，確定系數(shù)A、B、C

圖1 Jason－1衛(wèi)星地面軌跡示意圖Fig.1 The view of ground track of Jason－1altimeter

表1 各類型的分段方式Tab.1 Description of the region of latitude in different types

將GDR中的經(jīng)度值λi代入擬合方程（1）得到緯度的計(jì)算值φi，通過式（2）與實(shí)測(cè)值φi進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)偏差（S）計(jì)算

式中，S為標(biāo)準(zhǔn)偏差；N表示測(cè)量點(diǎn)的數(shù)目。標(biāo)準(zhǔn)偏差表示了擬合值和實(shí)測(cè)值的偏離程度，其值越小則說明擬合值和實(shí)測(cè)值越貼近，擬合效果越好。在實(shí)際應(yīng)用中，表2為各類型分段擬合后整個(gè)上升弧段或下降弧段的標(biāo)準(zhǔn)偏差。經(jīng)統(tǒng)計(jì)Jason－1衛(wèi)星高度計(jì)地面軌跡中兩個(gè)相鄰點(diǎn)緯度的差值均值為0.039 4，因此分段擬合之后整個(gè)弧段緯度的擬合標(biāo)準(zhǔn)偏差在小于0.039 4的前提下，擬合偏差最小的分段類型即認(rèn)為是最優(yōu)分段類型。

分析表2可以發(fā)現(xiàn)，pass 21和pass 64的標(biāo)準(zhǔn)偏差均以Type－12為界，在此之前呈明顯下降趨勢(shì)而在此之后略有上升，值得注意的是Type－4的標(biāo)準(zhǔn)偏差與相鄰的Type－3和Type－5相比明顯要小，這是因?yàn)镴ason－1高度計(jì)的軌道地面軌跡在－45°和45°緯度附近明顯曲折并不適宜進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，Type－4恰好以－45°和45°為分段點(diǎn)，而Type－3和Type－5則包含了這兩個(gè)拐點(diǎn)，導(dǎo)致擬合效果不如 Type－4好。Type－18和 Type－36盡管分段更細(xì)，不但運(yùn)算效率會(huì)下降，而且平均分段忽略了衛(wèi)星地面軌跡的彎曲特征導(dǎo)致擬合效果下降。因此Type－12所述的12分段最優(yōu)。由于不同傾角衛(wèi)星地面軌跡會(huì)發(fā)生變化，分段節(jié)點(diǎn)需要根據(jù)軌跡曲線特征作適當(dāng)調(diào)整。但本文分段設(shè)計(jì)方案及最優(yōu)分段選取方法對(duì)任何傾角的衛(wèi)星依然適用。

表2 各分段類型不同弧段的擬合標(biāo)準(zhǔn)偏差Tab.2 Standard deviation of different pass under different types

2.2 交叉點(diǎn)概略位置確定

按照Type－12的分段類型將升降弧段分別劃分為12個(gè)緯度區(qū)域，從－90°～－65°緯度區(qū)域開始，對(duì)每個(gè)緯度區(qū)域內(nèi)的所有上升弧段分別與所有的下降弧段利用如下條件判斷二者是否存在交叉點(diǎn)：

（1）上升弧段在該緯度區(qū)域內(nèi)第一點(diǎn)的經(jīng)度小于下降弧段在該緯度區(qū)域最后一點(diǎn)的經(jīng)度；

（2）上升弧段在該緯度區(qū)域內(nèi)最后一點(diǎn)的經(jīng)度大于下降弧段在該緯度區(qū)域內(nèi)第一點(diǎn)的經(jīng)度。

如果存在交叉點(diǎn)則在該緯度區(qū)域內(nèi)對(duì)兩弧段利用GDR中逐點(diǎn)的經(jīng)緯度實(shí)測(cè)值分別進(jìn)行擬合，得到二者的擬合二次多項(xiàng)式，聯(lián)立求解確定交叉點(diǎn)概略位置。

2.3 交叉點(diǎn)精確位置確定

確定交叉點(diǎn)的精確位置是為了獲取該位置對(duì)應(yīng)的海況信息（如海表面高度、有效波高、風(fēng)速等）。而恰好在交叉點(diǎn)處有測(cè)量值的概率很小。一般都是找到精確位置升、降弧段兩側(cè)各兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)Qa1、Qa2和Qd1、Qd2（簡(jiǎn)稱插值點(diǎn)），角標(biāo)a表示升弧段，d表示降弧段，利用4個(gè)點(diǎn)的經(jīng)緯度值進(jìn)行插值得到交叉點(diǎn)的精確位置。同時(shí)交叉點(diǎn)升弧段和降弧段的海況信息分別由各自附近兩個(gè)插值點(diǎn)的測(cè)量值線性插值得到。精確位置確定方法如下：

在升、降弧段上分別找到與概略位置相同緯度位置上下相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)位置分別表示為Pa1、Pa2、Pd1、Pd2（簡(jiǎn)稱初始點(diǎn)），如果點(diǎn)Pa1和Pa2組成的線段與Pd1和Pd2組成的線段存在交點(diǎn)，則初始點(diǎn)Pa1、Pa2、Pd1、Pd2就是所求的插值點(diǎn)Qa1、Qa2、Qd1、Qd2，本文中此情況簡(jiǎn)稱case 1，如圖2（a）所示。如果點(diǎn)Pa1和Pa2組成的線段與Pd1和Pd2組成的線段不存在交點(diǎn)，則必須擴(kuò)展線段的長(zhǎng)度，使其產(chǎn)生交點(diǎn)，以該交點(diǎn)為新的概略位置得到新的4個(gè)初始點(diǎn)，再次判斷新的4個(gè)初始點(diǎn)是否就是Qa1、Qa2、Qd1、Qd2，如果不是則重復(fù)上述步驟，直到得到滿足要求的4個(gè)插值點(diǎn)，此情況簡(jiǎn)稱為case2，如果上述步驟重復(fù)n次則簡(jiǎn)稱為case 2－n，如圖2（b）所示。

圖2 pass 21和pass 64以及pass 1和pass12所構(gòu)成交叉點(diǎn)精確位置的確定Fig.2 Find the precise location of crossover formed by pass 21，pass64and pass1，pass12

3 結(jié)果分析

以Jason－1高度計(jì)第126重復(fù)周期的數(shù)據(jù)為例，針對(duì)表1中分段類型 Type－1、Type－9、Type－12和Type－36，找到的交叉點(diǎn)概略點(diǎn)的總數(shù)、符合case1和case2－n概略點(diǎn)的數(shù)量及占概率點(diǎn)總數(shù)的百分比，見表3。

表3 不同分段類型概略點(diǎn)的數(shù)量及占總數(shù)的百分比Tab.3 Number and percent of cursory location of crossover in different condition and different experiments

4個(gè)不同分段類型的結(jié)果表明：隨著分段區(qū)間的增加能夠得到的交叉點(diǎn)概略位置點(diǎn)的數(shù)量在增加，但是分段超過12段之后所增加的概略點(diǎn)數(shù)量已經(jīng)極少，這是由于Type－12的分段擬合效果已經(jīng)很好，基本接近交叉點(diǎn)概略位置數(shù)量極限。隨著分段區(qū)間的增加符合case 1的概略點(diǎn)所占比重逐漸增加，在Type－12和Type－36中大部分的概略點(diǎn)已經(jīng)不需要進(jìn)行case2中的步驟即可找到精確位置周圍4點(diǎn)。由此說明，分段越細(xì)，找到精確位置的效率越高。綜合數(shù)量和效率兩方面考慮，12分段已是最優(yōu)分段。

使用分段類型Type－1、Type－12分別確定Jason－1衛(wèi)星高度計(jì)第126個(gè)重復(fù)周期的第113個(gè)弧段上的交叉點(diǎn)位置，結(jié)果見圖3。由于數(shù)據(jù)點(diǎn)過于密集，將一條上升軌跡分為3個(gè)緯度區(qū)間分別作圖。

分析圖3，可以發(fā)現(xiàn)未分段Type－1確定的交叉點(diǎn)基本都集中在南北緯40°之間的中低緯度地區(qū)，而且與Type－12確定的交叉點(diǎn)完全重合，說明使用Type－12分段類型與Type－1分段類型確定交叉點(diǎn)有著相同的精度，見圖3（b）。但在高緯度Type－1無法找到交叉點(diǎn)，而Type－12則能確定更多的有效交叉點(diǎn)，如圖3（a）、圖3（c）所示。

圖3 使用分段類型Type－1和Type－12確定的交叉點(diǎn)位置Fig.3 Location of crossover calculated using Type－1and Type－12

4 結(jié) 論

為了能夠高效、精確確定交叉點(diǎn)的位置，本文提出了分段擬合衛(wèi)星地面軌跡的方法，設(shè)計(jì)了11種分段類型，并應(yīng)用于Jason－1高度計(jì)交叉點(diǎn)位置確定過程中。以整個(gè)弧段緯度的擬合標(biāo)準(zhǔn)偏差作為確定最優(yōu)分段類型的標(biāo)準(zhǔn)，其中擬合偏差最小的分段類型被認(rèn)為是最優(yōu)分段類型。最終結(jié)果表明：不同的分段方法擬合的效果不同，能找到交叉點(diǎn)概略位置的數(shù)量隨著分段區(qū)間的增加而增加，但是超過12段之后概略位置點(diǎn)數(shù)量趨于穩(wěn)定。隨著分段區(qū)間數(shù)的增加，概略位置與精確位置更加接近，這樣能夠更快地確定交叉點(diǎn)的精確位置。綜合交叉點(diǎn)數(shù)量和效率兩方面考慮，采用12段的分段方法確定交叉點(diǎn)效果最優(yōu)。由于不同傾角衛(wèi)星地面軌跡會(huì)發(fā)生變化，分段節(jié)點(diǎn)需要根據(jù)軌跡曲線特征適當(dāng)調(diào)整。本文分段設(shè)計(jì)方案及最優(yōu)分段選取方法對(duì)任何傾角的衛(wèi)星依然適用。

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