導航衛(wèi)星速度和加速度的計算方法及精度分析

李 顯，吳美平，張開東，曹聚亮，黃楊明

國防科學技術大學 機電工程與自動化學院，湖南 長沙 410073

1 引 言

進入21世紀以來，衛(wèi)星導航定位技術得以迅速發(fā)展。美國的GPS、俄羅斯的GLONASS、歐盟的Galileo和中國的BeiDou等作為GNSS的主要成員，在導航定位領域發(fā)揮著越來越重要的作用，就單獨系統(tǒng)而言，GPS、Galileo、GLONASS屬于全球定位系統(tǒng)，為保證全球對地覆蓋性能，其導航衛(wèi)星被均勻地布設在幾個近圓的中高軌道（medium earth orbit，MEO）面內。而北斗系統(tǒng)二期將在2012年建成區(qū)域衛(wèi)星導航系統(tǒng)，其空間星座包括5顆對地靜止軌道（geostationary earth orbit，GEO）衛(wèi)星、4顆MEO衛(wèi)星和5顆傾斜地球 同 步 軌 道 （inclined geosynchronous orbit，IGSO）衛(wèi)星［1－2］，因此也被稱為混合星座衛(wèi)星導航系統(tǒng)。

除了確定用戶位置以外，利用GNSS確定用戶的速度和加速度也有重要的應用需求。例如在航空重力測量中，為確定航空載體所在空間位置的重力異常信息，需利用GNSS以mGal（1mGal＝1×10－5m／s2）級精度確定載體的運動加 速度［3－5］；在強實時應用領域中，如運動狀態(tài)監(jiān)測［6］、自動剎車系統(tǒng)［7］等，則需要以高采樣率計算載體的運動狀態(tài)信息，因此對計算的實時性有較高的要求。這些應用均需求解導航衛(wèi)星的在軌速度和加速度。作為GNSS的空間基準，導航衛(wèi)星速度和加速度的計算精度直接影響最終解算結果，因此需對其計算方法和誤差特性進行深入地分析。

導航衛(wèi)星的在軌狀態(tài)可由廣播星歷或精密星歷進行描述。廣播星歷事先計算，用戶可實時獲取，實時性強，但目前的精度約為3m左右［8］；精密星歷由IGS（International GNSS Service）等機構滯后發(fā)布，但可達優(yōu)于5cm的精度［9］。目前常見的廣播星歷類型包括Kepler根數(shù)型、GEO型和位置速度型。在衛(wèi)星導航系統(tǒng)的接口控制文件（interface control document，ICD）中，一般僅給出導航衛(wèi)星的位置、速度計算方法。本文詳細推導了基于這3種廣播星歷的衛(wèi)星加速度的計算公式，并對計算精度進行分析。

導航衛(wèi)星精密星歷一般以一定采樣率給出衛(wèi)星在地心地固坐標系（earth－centred－earth－fixed，ECEF）下的位置，其他時刻的位置通過插值得到，并通過對計算的衛(wèi)星位置時間序列進行差分運算以獲得衛(wèi)星的速度和加速度。

文獻［10］對基于高精度定位結果、原始多普勒頻移觀測量、載波相位差分導出的多普勒頻移觀測值等3種速度確定方法進行了對比分析。國內外有較多文獻對航空重力測量中如何利用GPS和數(shù)字濾波技術確定載體垂直加速度的方法進行了詳細的闡述［11－13］。但這些文獻均未對導航衛(wèi)星速度和加速度的計算方法做系統(tǒng)的總結，特別是沒有對各種方法的計算精度特性和算法適用性等問題進行深入探討。

本文首先給出幾種導航衛(wèi)星速度和加速度的計算方法，包括：① 基于廣播星歷參數(shù)的公式法；②基于導航衛(wèi)星位置序列的數(shù)值差分方法；③基于導航衛(wèi)星位置序列的解析差分方法。對算法的計算精度和適用性進行了比較分析，并給出了相應的結論，最后通過在坐標精確已知的CORS站實測數(shù)據(jù)驗證了上述結論的正確性。

2 基于廣播星歷的衛(wèi)星速度和加速度計算

目前廣泛使用的3類廣播星歷的參數(shù)類型及示范系統(tǒng)如表1所示。

表1 3類廣播星歷Tab.1 Three types of broadcast ephemeris

2.1 Kepler根數(shù)型廣播星歷的衛(wèi)星速度加速度

根據(jù)ICD文件描述的廣播星歷參數(shù)及對應的用戶算法［14］，衛(wèi)星在ECEF坐標系統(tǒng)下的位置可計算為

式中，ik、Lk分別為計算時刻tk對應的軌道傾角和升交點大地經度，并有

式中，rk、uk分別為計算時刻衛(wèi)星的矢徑大小和經攝動改正的升交角距，均可由導航電文直接求得。R3、R1為坐標旋轉矩陣，且有

ik、Lk可由下式計算

式中，Φk為升交距角，可由廣播星歷直接計算；ωe為地球自轉角速度；Cic、Cis為導航電文給出的軌道傾角周期項改正系數(shù)為升交點赤經的變率；分別為參考時刻的衛(wèi)星軌道傾角及變率；te、tk分別對應星歷歷元時刻和計算時刻。

對式（1）進行一階微分，可得到導航衛(wèi)星的速度計算公式，即

由式（5）知

聯(lián)合式（6），有

式中，旋轉矩陣的導數(shù)可求為

式中的導數(shù)項按下列公式計算

式中，fk、Ek為導航衛(wèi)星軌道的真近點角和偏近點角；n0、Δn分別為衛(wèi)星的平均角速度及改正；a、e分別為軌道的半長軸和偏心率；Crc、Crs、Cuc、Cus為攝動力的調和改正系數(shù)，這些參數(shù)均由廣播星歷得到。對式（6）再次微分，可得導航衛(wèi)星加速度的計算公式

式中，μ＝3.986 004 418×1014m3／s2為地球引力常數(shù)。

2.2 GEO型廣播星歷的衛(wèi)星速度加速度

正如前文所述，北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)星座中包括GEO、IGSO、MEO等軌道類型的導航衛(wèi)星，其中GEO衛(wèi)星的傾角i接近于0，將導致升交點赤經Ω和近地點角ω具有奇異性。如果直接使用經典的最小二乘法進行廣播星歷參數(shù)擬合［16］，就會出現(xiàn)擬合精度較差或擬合失敗的情況。一般通過旋轉參考坐標系來解決這一問題，即將Kepler星歷擬合中參考的地固坐標系繞X軸旋轉θ得到新的地固坐標系，并在新的坐標系中進行星歷參數(shù)的擬合［17－18］。以旋轉坐標系方法擬合得到的衛(wèi)星廣播星歷稱為GEO型星歷。下面推導基于旋轉方案的GEO星歷衛(wèi)星速度和加速度的計算方法。

對GEO衛(wèi)星，利用式（1）計算的衛(wèi)星位置是GEO衛(wèi)星在旋轉坐標系下的位置，需進一步進行旋轉改正以獲得ECEF坐標系下的位置。改正方法如下

式中，rR為GEO衛(wèi)星在旋轉坐標系下的位置。對式（15）進行微分運算可得GEO衛(wèi)星的速度解算公式為

式中

再次微分可得加速度計算公式為

2.3 位置－速度型廣播星歷的衛(wèi)星速度加速度

GLONASS采用了位置－速度型廣播星歷形式［19］，以每半小時為更新周期給出衛(wèi)星在地固坐標系下的位置矢量、速度矢量和日月引力攝動加速度。用戶采用積分方式獲取即時位置和速度，積分方程可表示為

由此知，位置－速度型廣播星歷直接給出了衛(wèi)星加速度計算的解析公式，而衛(wèi)星的速度計算應根據(jù)式進行數(shù)值積分獲得，常用的積分算法是四階龍格 －庫塔積分［20］。

3 基于數(shù)值差分法計算衛(wèi)星速度和加速度

在利用衛(wèi)星廣播星歷或精密星歷得到了導航衛(wèi)星的位置序列后，可通過數(shù)值差分法得到衛(wèi)星的速度和加速度。理想數(shù)值差分器的頻率響應為［21］

式中，H表示差分器；ω、ωs分別為信號頻率和采樣頻率；T為ωs對應的采樣時間。在對離散信號進行差分處理時，常選用有限沖激響應（finite impulse response，F(xiàn)IR）差分濾波器，即

h為N－1階脈沖響應，其定義為

在數(shù)值差分器的應用時需綜合考慮信號和差分器的頻率特性，實際FIR差分濾波器僅是對理想濾波器的一種近似，因此存在一個帶寬限制，當信號頻率位于濾波器帶寬之外時，差分濾波器對信號將產生抑制作用，應用中可利用此性質抑制信號中的噪聲信號。

由于導航衛(wèi)星的低動態(tài)特性，在計算其速度、加速度時，低階的差分器即可滿足要求。如一階中心差分器，濾波器系數(shù)可取為

由此得到衛(wèi)星速度的計算公式

式中，Δt為衛(wèi)星位置序列的時間間隔；x、為衛(wèi)星t時刻的位置、速度矢量。同理可得加速度的計算公式

當采樣頻率為1Hz時，一階中心差分器的幅頻響應特性如圖1所示，可見頻率為0～0.5Hz的信號能通過一階差分濾波器，但僅有頻率為0.25Hz的信號可完全無衰減通過該差分器，濾波器對其余頻率信號均有抑制作用。同時由圖1所示的濾波器低頻特性可知，一階差分濾波器可完全消除信號中的常值分量和大部分低頻分量，因此對慢變型誤差不敏感。

圖1 一階中心差分器幅頻響應特性Fig.1 Frequency response of the first－order central differentor

4 基于解析差分法計算衛(wèi)星速度和加速度

在基于GNSS的載體速度和加速度確定的相關數(shù)據(jù)處理中，衛(wèi)星的速度、加速度值在每一次迭代運算中一般都需要重新計算，但每次迭代運算一般對應不同時刻，數(shù)值差分法效率較低，此時可采用解析差分法。該方法的思路是首先利用短時段內的衛(wèi)星位置序列建立衛(wèi)星的軌道模型，并通過對模型進行差分運算獲得速度和加速度計算的解析公式，利用該解析公式可直接計算出該時段內任意時刻的衛(wèi)星速度、加速度。例如可用Lagrange多項式對衛(wèi)星位置序列進行建模，即

式中，x（tk）對應衛(wèi)星tk時刻的位置分量；Xi為已知的ti時刻的衛(wèi)星位置；n為多項式的階數(shù)。為保證插值精度，一般要求tn≤tk≤t－n。將式（29）對時間分別求一階、二階導數(shù)可獲得計算衛(wèi)星速度、加速度的解析計算公式，即

和

也可采用多項式插值公式，即

則對應的速度和加速度計算公式為

值得注意的是，由于精密星歷的歷元間間隔較長（一般為15min），導致解析差分法計算的衛(wèi)星速度、加速度的精度無法保證，可首先適當對位置序列進行加密以獲得更為準確的解析模型。

5 計算精度比較分析

為對上述3種算法求解的衛(wèi)星速度、加速度進行比較分析，以精密星歷并運用一階數(shù)值差分法計算的衛(wèi)星速度、加速度作為參照標準，計算各算法結果與該標準值之間的偏差，并通過在坐標已知點上的速度、加速度確定實驗對各方法計算的精度進行評估。

5.1 廣播星歷法精度分析

以北斗衛(wèi)星中的GEO、IGSO和MEO衛(wèi)星為例，其中GEO衛(wèi)星采用GEO型廣播星歷，IGSO和MEO采用Kepler根數(shù)型廣播星歷。計算24h的衛(wèi)星速度、加速度與標準值之間的偏差分別如圖2、圖3所示。

圖2 衛(wèi)星速度偏差Fig.2 Satellite velocity bias based on Kepler elements

圖3 衛(wèi)星加速度偏差Fig.3 Satellite acceleration bias based on Kepler elements

GLONASS星歷采用位置速度序列表征導航衛(wèi)星軌道，并直接給出了攝動影響較大的日月引力加速度。根據(jù)前面的分析可知，GLONASS衛(wèi)星的加速度可根據(jù)解析公式直接求得，而其速度則需通過數(shù)值積分法獲得，計算結果與標準值之間的偏差如圖4所示。

圖4 GLONASS衛(wèi)星位置－速度型廣播星歷計算的計算結果Fig.4 Velocity and acceleration biases of positionvelocity broadcast ephemeris of GLONASS

由于GLONASS星歷求取加速度時未經過數(shù)學擬合，所表達的物理含義更為明確，因此方法簡單，精度較高，兩個軌道周期內的計算結果表明，GLONASS星歷計算的衛(wèi)星加速度誤差優(yōu)于0.5mGal，但由于舍棄了其他攝動力的影響，導致通過積分求取的衛(wèi)星速度發(fā)散較快、精度較差，和Kepler根數(shù)型廣播星歷相比，精度約低一個量級，最大偏差可達約1cm／s。

5.2 數(shù)值差分法精度分析

通過一階數(shù)值差分器的頻譜特性可知，差分器對常值分量可完全濾除，對低頻和高頻噪聲則有抑制作用，廣播星歷的偏差屬于慢變型誤差，這種慢變型誤差運用數(shù)字差分時將被消除。分別用廣播星歷和精密星歷計算出衛(wèi)星的位置序列，再采用一階中心差分器分別求取衛(wèi)星的速度和加速度，GEO、IGSO和MEO衛(wèi)星的計算結果偏差如圖5所示。

圖5 廣播星歷和精密星歷的數(shù)值差分法加速度計算偏差Fig.5 Acceleration bias using numerical differentor between broadcast and precision ephemeris

圖5反映了由廣播星歷和精密星歷計算的衛(wèi)星位置經過一階中心差分計算的衛(wèi)星加速度之間的差異不大，均優(yōu)于0.2mGal。計算結果進一步說明了廣播星歷偏差的低頻特性，因此在強實時性需求的應用中，采用數(shù)值差分法時，可利用廣播星歷替代精密星歷。

5.3 解析差分法精度分析

以GPS衛(wèi)星中的PRN13在24h內的實際數(shù)據(jù)為例，解析差分計算的衛(wèi)星速度加速度偏差如圖6所示。

從圖6所示的計算結果可以看出解析差分計算的速度和標準值之間的偏差較大，達到1mm／s；但計算的加速度和標準值之間的偏差不大，小于0.5mGal。主要原因是根據(jù)短時段內的衛(wèi)星位置序列所建立的軌道模型并不符合軌道的實際運行規(guī)律，這種模型偏差將對速度計算結果產生影響。

影響解析差分法計算精度的另一個原因是用于解析模型建立的數(shù)據(jù)序列的位置序列之間的時間間隔。表2反映了不同的數(shù)據(jù)采樣率與模型精度之間的關系。

圖6 PRN13的解析差分計算結果Fig.6 Velocity and acceleration bias using analytical differencing for PRN13

表2 數(shù)據(jù)采樣率和解析計算精度關系Tab.2 Sampling rates vs.precision of analytical differencing

表2中，均采用九階的Lagrange多項式對衛(wèi)星軌道進行建模，表中第1列ωs代表用于多項式建模的位置序列的采樣率，均以ωs＝1Hz為參照準。結果表明過低采樣率對速度和加速度的計算均會產生影響，另外當過高的采樣率也會導致加速度的計算精度將會降低，從式（28）所示的誤差表達式可知，加速度計算誤差與采樣間隔的四次方成反比，過低的采樣率會放大位置序列中的高頻噪聲，對計算結果產生不利影響。

5.4 精度對比

為對上述各方法計算的精度衛(wèi)星速度和加速度進行評估，采用在坐標已知點的靜止地面試驗進行評估。試驗選擇某CORS網的兩個靜態(tài)站點，其接收機類型均為Leica GRX1200GGPRO高精度測地型接收機，基線距離約為20km。試驗時間為2011年5月10日0時至2時共2h（均為GPST）。試驗僅接收GPS衛(wèi)星信號，衛(wèi)星截止仰角設定為15°，基線雙差模糊度通過BERNESE求解［22］，采用雙差算法解算接收機的速度和加速度，計算結果如表3所示。

表3 靜態(tài)速度和加速度試驗解算結果Tab.3 Static experiments results of velocity and acceleration

從表3可以看出，基于精密星歷數(shù)值差分法解算得到的靜態(tài)接收機的速度和加速度具有最高的精度，因此前文中其余方法與此方法計算結果的偏差也可在很大程度上反映這些計算方法的精度；對速度計算精度而言，廣播星歷解析公式也可達到mm／s的精度，因此可在實時測速應用中直接采用廣播星歷法，解析差分法較數(shù)值差分法的測速精度低，但加速度的計算精度和數(shù)值差分法接近。

6 結 論

導航衛(wèi)星自身的速度和加速度計算是用戶進行速度和加速度確定時需要解決的關鍵問題之一，其計算精度也直接影響最終的解算精度。針對這一問題，結合前面的分析，可以得到以下結論。

（1）通過合理的簡化和數(shù)值計算，從常用的3類廣播星歷，即Kepler根數(shù)型、GEO型和位置－速度型均可得到衛(wèi)星速度和加速度的解析計算公式，但計算精度低，難以滿足高精度測定速度和加速度應用的需求。相比較而言，位置－速度型星歷直接給出了加速度計算的解析公式，因此加速度計算方法簡單、精度最高，但速度計算精度較差；Kepler根數(shù)型星歷和GEO型星歷的精度受到所忽略的二階導數(shù)項的影響，加速度計算精度較低；另外高軌道衛(wèi)星（IGSO、GEO）的計算精度優(yōu)于中軌衛(wèi)星（MEO）。

（2）數(shù)值差分法具有最高的速度、加速度計算精度；解析差分法加速度計算精度接近數(shù)值差分法，但速度計算精度較差。

（3）數(shù)值差分器對信號的低頻分量具有抑制作用，因此對由廣播星歷計算的衛(wèi)星位置序列進行數(shù)值差分獲得的速度和加速度也具有和精密星歷相當?shù)挠嬎憔取?/p>

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