單側(cè)－理想

趙士銀

（宿遷學(xué)院教師教育系，江蘇宿遷223800）

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1]設(shè)H＝（｛Hα，Δα，εα｝α∈π，m，u）為π－代數(shù)，給定一簇K－線性映射S＝｛Sα：Hα→，稱H為Hopfπ－代數(shù)，若H滿足以下三個(gè)條件：（1）對(duì)任意的α∈π，（Hα，Δα，εα）是余代數(shù)；（2）對(duì)任意的α，β∈：Hα?Hβ→Hαβ和u：K→P1都為余代數(shù)同態(tài)；（3）對(duì)任意的α∈π都有

對(duì)任意的α，β，γ∈π．

定義2［1]設(shè)P＝（｛Pα，mα，Δ，ε）為－余代數(shù)，給定一簇K－線性映射S＝｛Sα：Pα→．稱P為Hopf－余代數(shù)，若P滿足以下三個(gè)條件：（1）對(duì)任意的α∈，（Pα，mα，uα）是代數(shù)；（2）對(duì)任意的α，β∈，Δα，β→Pα?Pβ和ε：P1→K都為代數(shù)同態(tài)；（3）對(duì)任意的α∈π都有

設(shè)f：V→W是線性映射，則有線性映射f＊：W＊→V＊為〈f＊（w＊），v〉＝〈w＊，f（v）〉，其中w＊∈W＊，v∈V．設(shè)A＝，m，u）為－代數(shù)，A0是A的對(duì)偶空間，由映射mα，β：Aα?Aβ→Aαβ，u：K→A1得到映射→（Aα?和u＊→K＊．定義ΔA0＝→?｝是如下合成（Aα?→?，定義：→K是如下合成：K＊→K．

2 主要結(jié)論

本節(jié)我們首先給出局部有限維Hopfπ－代數(shù)H的對(duì)偶H0的代數(shù)結(jié)構(gòu)．

證明 對(duì)于任意的α，β，γ∈π，任取x∈Aα，y∈Aβ，z∈Aγ，f∈一方面有：

另一方面：

引理2 設(shè)H＝（｛Hα，Δα，m，u）是局部有限維的Hopfπ－代數(shù)，則H的對(duì)偶空間H0＝（｛，｝）可成為一個(gè)Hopf－余代數(shù)，其中

證明 首先，由于H＝（｛Hα，m，u）是局部有限維Hopfπ－代數(shù)，由Hopfπ－代數(shù)的定義，H同時(shí)也是有限維的π－代數(shù)，從而由引理1可知，H的對(duì)偶空間H0＝（）是一個(gè)π－余代數(shù)．

其次，對(duì)于任意α∈π，由于（Hα，Δα，εα）是余代數(shù)，故由文獻(xiàn)［4] 得，（）都是代數(shù)．

即可，其中S＊＝：＝→Hα｝α∈π．

同理可證得

故對(duì)于任意的α∈π，

綜上所述，由Hopfπ－余代數(shù)的定義，H0＝（｛，是一個(gè)Hopfπ－余代數(shù)．

同理有：若J＝｛Jα｜Jα?是H0的一個(gè)子空間簇，則定義J⊥＝，其中＝｛hα∈Hα｜〈hα，jα〉＝0，?jα∈Jα｝，則是J⊥＝是H的一個(gè)子空間簇．

定義3［1]設(shè)A＝，m，u）為一個(gè)－代數(shù)，W＝｛Wα｜Wα?是A＝，m，u）的一簇子空間，若對(duì)于任意的α，β∈π都滿足：

（2）mα，β（Aα?Wβ）?Wαβ，則稱W＝｛Wα｜Wα為A＝，m，u）的一個(gè)右－理想．

定義4［1]設(shè)C＝，Δ，ε）為－余代數(shù)，I＝｛Iα｜Iα?是C＝，Δ，ε）的一簇子空間，若對(duì)于任意的α，β∈都滿足：

（1）Δα，β（Iαβ）?Iα?Cβ，則稱I＝｛Iα｜Iα?為C＝，Δ，ε）的一個(gè)左π－余理想；

證明 僅證明J＝｛Jα｜Jα?為H的左－理想的情形，對(duì)于J＝｛Jα｜Jα?為H的右－理想的情形，類似可證得．

首先由于H為局部有限維的Hopfπ－余代數(shù)，故由引理2，H的對(duì)偶H0是局部有限維的Hopf－余代數(shù)．又由于J＝｛Jα｜Jα?為局部有限維的Hopfπ－代數(shù)H的左π－理想，故mαβ（Jα?Hβ）?Jαβ．最后由Hopf－余代數(shù)H0的結(jié)構(gòu)映射構(gòu)造過程可知：由于對(duì)于任意的α，β∈＝．故

所以

證明 類似定理1可證得．

證明 由定理1和定理2可直接推得．

［1] Virelizier A．Hopf group－coalgebras［J] ．Journal of Pure and Applied Algebra，2002（171）：75－122．

［2] 顏美玲，李金其．Hopf－代數(shù)［J] ．龍巖學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，23（6）：1－3．

［4] Sweedler M E．Hopf algebra［M] ．New York：Benjiamin，1969．