Revo測(cè)頭的自適應(yīng)測(cè)量算法及位置反解

趙 磊，劉書桂

(天津大學(xué)精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

目前，用于復(fù)雜曲面或自由曲面測(cè)量的數(shù)字化測(cè)量裝置主要包括三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)(coordinate measuring machine，CMM)、激光快速掃描儀、斷層掃描儀等[1]．關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是一種新型的非笛卡爾式測(cè)量機(jī)．與傳統(tǒng)的笛卡爾式正交三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)相比，它具有機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小，便于攜帶及測(cè)量范圍大、環(huán)境適應(yīng)性好等優(yōu)點(diǎn)，但是測(cè)量精度低是該類三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的致命弊端．傳統(tǒng)的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)使用固定或旋轉(zhuǎn)測(cè)頭來(lái)測(cè)量曲面，存在著動(dòng)態(tài)性能的限制，不但影響測(cè)量精度，而且限制了測(cè)量效率[2-4]．在大多數(shù)情況下，若保證測(cè)量精確度，其掃描速度要限制在 10,mm/s左右．由于傳統(tǒng)測(cè)頭大都根據(jù)力學(xué)原理進(jìn)行定位，很大程度上受到力傳感器精度和震動(dòng)誤差等因素的影響，而旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角誤差會(huì)逐級(jí)放大，導(dǎo)致測(cè)量精度較低．Revo測(cè)頭是 Renishaw公司推出的一款高精密掃描測(cè)頭．采用 Renscan5,TM技術(shù)將測(cè)頭轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)因結(jié)構(gòu)重量所產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)誤差降至最小，軸承內(nèi)裝有連接著 0.08弧秒編碼器的高標(biāo)準(zhǔn)無(wú)刷電機(jī)，該編碼器能夠讀出250,mm長(zhǎng)測(cè)頭的探針端部在 0.1,μm 以內(nèi)的位置讀數(shù)，其表面掃描速度可高達(dá)500,mm/s[5]．本次研究的具有Revo測(cè)頭5自由度新型關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)是由天津大學(xué)自主設(shè)計(jì)的，用以彌補(bǔ)該類測(cè)量機(jī)檢測(cè)精度低的弊端．

采用 Revo測(cè)頭實(shí)現(xiàn)曲面的測(cè)量，其碰撞檢測(cè)和位置反解是關(guān)鍵．解決碰撞問(wèn)題要實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)桿姿態(tài)的準(zhǔn)確控制，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)求逆計(jì)算．

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.1 Revo測(cè)頭

如圖 1所示，Revo回轉(zhuǎn)體內(nèi)部包括 2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸即 A軸和 B軸，其測(cè)頭使用激光來(lái)精確檢測(cè)探針端部的確切位置．

圖1 Revo回轉(zhuǎn)體及測(cè)頭Fig.1 Revo revolving body and probe

測(cè)頭定位原理如圖 2所示．激光束從安裝在Revo回轉(zhuǎn)體內(nèi)部光源處射出，向下穿過(guò)一個(gè)中空的探針直射到探針端部的反射鏡上．當(dāng)探頭與被測(cè)物體表面接觸產(chǎn)生微小力偏移時(shí)，反射至 PSD傳感器的路徑產(chǎn)生變化并被轉(zhuǎn)換成測(cè)量值輸出，產(chǎn)生一個(gè)觸發(fā)信號(hào)表明探頭探測(cè)到采樣點(diǎn)，由于通過(guò)激光返回路徑偏移進(jìn)行定位，其精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)探針．

圖2 測(cè)量原理Fig.2 Measuring principle

1.2 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)

Revo測(cè)頭專用控制器UCC2提供4個(gè)直線運(yùn)動(dòng)軸和 1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸共 5個(gè)接口．根據(jù)本次實(shí)際測(cè)量環(huán)境和要求，選取由2個(gè)移動(dòng)臂和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)組成的關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)．故整個(gè)測(cè)量系統(tǒng)共由 2個(gè)移動(dòng)臂和 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)構(gòu)成，其中，L1、L2是直線移動(dòng)臂，L3為轉(zhuǎn)動(dòng)臂，Revo回轉(zhuǎn)體的 A、B軸分別對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)的θA和θB，由于 Revo回轉(zhuǎn)體只能垂直安裝，因此，測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示．

圖3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.3 Construction of system

空間坐標(biāo)系的建立見圖 4，其中 { O1x1y1z1}為定坐標(biāo)系，其余為動(dòng)坐標(biāo)系，確定 x和 z軸，根據(jù)右手定則可唯一確定y軸．

圖4 空間坐標(biāo)系Fig4. Space coordinates

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

運(yùn)動(dòng)學(xué)建模是為了解決 2個(gè)問(wèn)題，即正解和逆解．正解是根據(jù)已知的各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度得到測(cè)頭坐標(biāo)，而逆解則是由已知數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)反求出各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度[6-7]．

Denavit和 Hartenberg在 1955年提出了對(duì) 2個(gè)相互連接且相對(duì)運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，稱為DH法[8-9]．用矩陣表示為

測(cè)頭在坐標(biāo)系 { O6x6y6z6} 下的齊次坐標(biāo)為P=(0 ,0,0,1)T，可得其空間坐標(biāo)為

在機(jī)器人學(xué)中，描述夾手方向有 3個(gè)單位矢量，其中z向矢量處于夾手進(jìn)入物體的方向上，并稱之為接近矢量[10]．測(cè)頭的探測(cè)方向應(yīng)沿著待測(cè)點(diǎn)法矢方向，而測(cè)桿的整體姿態(tài)可等價(jià)于夾手的接近姿態(tài)．因此，在 A軸中心建立描述測(cè)桿接近姿態(tài)的坐標(biāo)系{Oaxayaza}，其坐標(biāo)系的建立如圖5所示．

圖5 測(cè)桿的姿態(tài)坐標(biāo)系Fig.5 Posture coordinates of measuring pole

在確定了測(cè)桿姿態(tài)坐標(biāo)系中的 xA和 zA軸，根據(jù)右手定則確定 yA軸，由此可得到待測(cè)點(diǎn)單位法矢 ni與測(cè)桿單位姿態(tài)矢量 Ni=(Ax, Ay, Az)的關(guān)系為

3 測(cè)桿姿態(tài)

測(cè)頭至基坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

式中：fi,j(p)為轉(zhuǎn)換矩陣對(duì)應(yīng)元素；p為關(guān)節(jié)變量．

在基坐標(biāo)系下，測(cè)桿姿態(tài)只與轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)即θA角、θB角和θ角有關(guān)，移動(dòng)臂不改變測(cè)桿姿態(tài)．分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可知：在姿態(tài)坐標(biāo)系中，如圖 6所示，θA、θB角的轉(zhuǎn)動(dòng)使測(cè)桿在3個(gè)坐標(biāo)軸所產(chǎn)生的投影值為

圖6 測(cè)桿姿態(tài)Fig.6 Posture of measuring pole

在理想數(shù)學(xué)模型下，θ和θB所在關(guān)節(jié)軸線相互平行，通過(guò)空間解析幾何的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，測(cè)桿在 xOy平面旋轉(zhuǎn)的角度應(yīng)為θB角與θ角的代數(shù)和．因此，可得到在姿態(tài)坐標(biāo)系下，描述測(cè)桿的單位接近矢量Ni=(Ax, Ay, Az)與3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角θA、θB和θ的關(guān)系為

則有

4 位置反解

由式(4)可得測(cè)頭的位置方程為

將式(7)和式(8)聯(lián)立，根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)(如表1所示)可求得所有的關(guān)節(jié)變量為

式中：pxi、 pyi、 pzi為第i點(diǎn)坐標(biāo)；Axi、Ayi、Azi為測(cè)量第i點(diǎn)測(cè)桿的姿態(tài)參數(shù)．由于探測(cè)時(shí)測(cè)頭只需沿采樣點(diǎn)單位法矢量方向即可，不需要測(cè)桿整體保持相應(yīng)的姿態(tài)，可根據(jù)實(shí)際測(cè)量環(huán)境和數(shù)據(jù)點(diǎn)分布情況，在滿足測(cè)量要求的前提下可調(diào)整測(cè)桿的姿態(tài)進(jìn)行測(cè)量．曲面測(cè)量往往采樣點(diǎn)數(shù)量較大，若測(cè)量每一點(diǎn)時(shí)均給定測(cè)桿姿態(tài)，需要同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng) 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，易與被測(cè)面發(fā)生碰撞且占用較多的時(shí)間．

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Construction parameters

5 自適應(yīng)測(cè)量算法

為了保證測(cè)量效率，提出基于初始姿態(tài)的自適應(yīng)測(cè)量算法，該算法根據(jù)已知的測(cè)桿初始姿態(tài)和數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，可得測(cè)桿在姿態(tài)坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸上產(chǎn)生的位置變化量，并根據(jù)該變化量可快速計(jì)算得到測(cè)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角度，獲得新的姿態(tài)矢量 Ni，結(jié)合位置方程求得該姿態(tài)下的位置反解．具體步驟如下．

步驟 1 由初始姿態(tài)矢量N0(Ax0,Ay0,Az0)和開始點(diǎn)坐標(biāo) p0( x0, y0, z0)求得 N0姿態(tài)下的位置反解；

步驟 2 根據(jù)下一點(diǎn)坐標(biāo) pi( xi, yi, zi)可得測(cè)桿投影的變化量 Δ pi?1,i( Δ xi?1,i, Δ yi?1,i, Δ zi?1,i)，(i＝1，2，…)；

步驟 3 計(jì)算測(cè)桿姿態(tài)的最小變化量 Axi= Ax0?

步驟4 由式(7)和式(8)求位置反解；

步驟5 回至步驟2直至完成區(qū)域內(nèi)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的測(cè)量．

若在測(cè)量某一點(diǎn)時(shí)，需要測(cè)桿以特定的姿態(tài)測(cè)量，只需通過(guò)軟件將該姿態(tài)參數(shù)Axi、Ayi、Azi定義為初始姿態(tài)矢量 N0(Ax0,Ay0,Az0)即可．

6 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

測(cè)量某一風(fēng)扇葉片，選取截面 x＝1,258,mm 和x＝1,328,mm 的上下表面共 20個(gè)待測(cè)點(diǎn)，并通過(guò)軟件實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)各關(guān)節(jié)變化量和測(cè)頭坐標(biāo)．其中θA、θB、x、y和 z分別為表 2 中θA、θB、L1、θ和 L25 個(gè)變量，測(cè)頭初始坐標(biāo)為(560，0，-205)，葉盆和葉背表面數(shù)據(jù)點(diǎn) y、z坐標(biāo)用 yp、zp和 yb、zb表示．

表2為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和測(cè)量結(jié)果，其中2個(gè)截面的第0號(hào)點(diǎn)均定義為表面測(cè)量開始點(diǎn)，其余點(diǎn)的反解為相對(duì)于開始點(diǎn)各關(guān)節(jié)變化量．如圖 7所示，測(cè)桿以(1，0，0)姿態(tài)將測(cè)頭運(yùn)動(dòng)至開始點(diǎn)(1,258，0，－37)．采用本文所提出的算法，可快速計(jì)算出其位置反解．

圖7 給定的測(cè)頭姿態(tài)Fig.7 Given posture of probe

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果Tab.2 Experimental data and results

以截面 x＝1,328,mm 的開始點(diǎn)(1,328，－156.806,0，－109.000,0)為例，來(lái)計(jì)算測(cè)桿實(shí)際與理論姿態(tài)間的誤差．由式(2)可計(jì)算得到 A軸中心坐標(biāo)(987.031,1，－226.406,0，－109.000)，可求得

則 Δ i =0.98 ? 0 .9798 = 0 .0002，Δ j = Δ k = 0 ．同理，可計(jì)算求得在測(cè)量過(guò)程中測(cè)桿姿態(tài)控制的平均誤差，其中 n為點(diǎn)數(shù)，取 n＝22．

7 結(jié) 語(yǔ)

基于 Revo測(cè)頭高速連續(xù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，將 Revo測(cè)頭應(yīng)用到關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)中．由實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)據(jù)表明：所提出算法對(duì)測(cè)桿姿態(tài)控制的平均誤差約為 0.000,18，測(cè)量精度達(dá)到 0.1,μm，并實(shí)現(xiàn)位置反解的正確計(jì)算．由表 2可知，θA變化范圍為80～94°°，使測(cè)桿偏離水平最佳姿態(tài)只有10～4?°°變化量，且降低測(cè)頭與被測(cè)工件表面碰撞的概率；截面數(shù)據(jù)點(diǎn)的測(cè)量通過(guò)θA、θB轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)臂L1運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)，該算法充分利用Revo測(cè)頭連續(xù)旋轉(zhuǎn)速度快和定位精度高的優(yōu)勢(shì)，提高了測(cè)量效率，實(shí)現(xiàn)了曲面快速、高精度的測(cè)量．但該方法僅適用于已知待測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的情況，具有一定的局限性．

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