具有非局部反應(yīng)項的非線性拋物方程解的整體存在性與爆破問題

嚴(yán)正香，胡洪安，李 煜

(1．信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 信陽464000;2．周口師范學(xué)院，河南周口466000;3．東南大學(xué)，江蘇 南京211100)

本文研究來自于核反應(yīng)動力學(xué)理論的非線性拋物微分-積分方程的整體解和爆破問題:

式中:m，p，q＞0;Ω為RN中的光滑有界區(qū)域．方程(1)雖然直接來自于核反應(yīng)動力學(xué)理論，也可用來描述林學(xué)中的樹木生長規(guī)律．

自然界中許多現(xiàn)象都可歸結(jié)為非局部數(shù)學(xué)的問題．Bebernes和Bressan［1］研究了燃燒理論中可壓氣流的非局部反應(yīng)擴散方程;Pao研究了由燃燒理論導(dǎo)出的非局部反應(yīng)擴散方程．這些方程分為2類:一類是含有時間非局部積分源項的拋物方程;另一類是具有空空非局部積分源項的方程．第一類方程已經(jīng)有了相當(dāng)多的結(jié)果，例如:

式中:V(x)表示物理位勢;|Ω|表示集合Ω的測度．此外，方程(2)源自于等離子體物理的Hartree-Fock理論;方程(3)描述了可壓流理想氣體的熱反應(yīng)特礬;方程(4)描述了某種化學(xué)晶格司的相互作用［1～4］．

王明新，王術(shù)和謝春紅研究了下面非局部拋物方程組的臨界指標(biāo)問題:

式中:pi≥ 0，σi，ri≥ 1，pi+ri＞ 1(i=1，2);u0(x)，v0(x) ≥ 0 及 u0(x)，v0(x) ∈ Lσ1(RN) ∩Lσ2(RN)∩L∞(RN)．他們得到了下面的結(jié)果:

方程(1)在m=1，p，q ＞ 1的情形下，Daisuke Hirate［3］利用特征函數(shù)法和比較定理，證明了下面結(jié)果:

對于大初值，方程(1)的解在有限時間爆破，然而，對于小初值，存在整體解．

若u0(x)＞0(x∈Ω)，那么由經(jīng)典的拋物方程理論，方程(1)存在唯一解 u(x，t)∈ C2，1(Ω ×(0，T))，u(x，t) ＞ 0．其中，T 是u(x，t)的最大存在時間．進(jìn)而，若T＜∞，則，解u(x，t)在有限時間爆破，即

受Daisuke Hirata工作的啟發(fā)，本文的目標(biāo)是研究更一般的情形，結(jié)果如下:

(1)若0＜p+q≤1，那么方程(1)所有正解整體存在;

(2)當(dāng)p+q＞1時，有3種情形如下:

(i)若m ＞p+q，則方程(1)所有正解都整體存在;

(ii)若0＜m≤1，則對于大初值方程(1)的解在有限時間爆破，然而，對于小初值，解整體存在;

(iii)若1＜m≤p+q，則方程(1)的解對于適當(dāng)大的初值在有限時間爆破．

1 定理1的證明

首先，建立下面比較定理．

定理2 (比較定理) 令m ＞ 0，f，g:［0，∞) →［0，∞)是非減的一階連續(xù)可微函數(shù)，若 u，v∈C2，1(Ω × (0，T)) ∩ C(×［0，T))，u(x，t) ＞ 0，v(x，t) ＞ 0，(x，t) ∈ (Ω × (0，T))，并滿足:

則 u(x，t) ≥ v(x，t)，?(x，t) ∈ Ω × (0，T)．

證明 記w=u－v，由(6)，得

并設(shè)

于是

那么

當(dāng) h(x，t) ≥ h(x0，t0)= － δ，而這與方程(7)的第一式矛盾，從而定理得證．

引理1 若u0(x)＞0(0∈Ω)且Δum0(x)≥0，那么 ut≥0．

證明 在方程式中令w=ut并利用上述比較定理不難證明該引理．

引理2 令u≥0，f(u)為一個局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)且f(0)＞0，進(jìn)而，如果f(u)為不減函數(shù)，當(dāng)u＞0且d為Ω的半徑．那么，當(dāng)λ∈(0，λ*)時，邊界值問題:

有一個非負(fù)解，其中λ*滿足:

存在一個非負(fù)解ψ(x)．

定理1的證明將分以下幾個引理完成．

引理3 若0＜p+q≤1，則問題(1)的所有正解整體存在．

證明 取

與 u－(x，0)=M ＞ u0(x)，x ∈ Ω，由比較定理不難得到該引理結(jié)論成立．

引理4 若p+q＞1且0＜m≤1，則方程(1)的解對于大初值在有限時間爆破，然而，對于小初值，解整體存在．

證明 取

式中，δ=1/(p+q－m)，φ(x)由引理2確定．令C=，則0≤ ψ(x)≤C，T ＞ 1且T是不定常數(shù)．

若 2pδ＞ 0，則

此外，選取充分大的T ＞0．若2pδ=1，則

下面，證明方程(1)的解對于充分大的初值在有限時間爆破．首先，證明當(dāng)m=1，p+q＞1時，上述結(jié)論成立．令φ(x)是下面問題的第一特征函數(shù)，這里，λ是第一特征值且φ(x)∈C2(Ω)∩C(Ω－)，φ(x) ＞ 0(x∈Ω)=1．在(1) 的2邊同乘上φ(x)并在Ω上積分，再利用H?der不等式及引理1，得

記

則，F(xiàn)(0)=0，F(xiàn)(t) ∈ C2(［0，T］)．再由(8) 可得下面微分不等式:

從(10)不難看出，對t≥T1＞0，存在T1＞0使得

記 f(t)=etλF，若 t≥ T1＞ 0，則由上可得

在上式2端同時乘上f'(t)并在(T1，t)上積分可得:當(dāng)t≥T2≥T1時，存在T2＞0使得

故，

由(11)可得

這就說明，如果選取u0(x)充分大，則f(x)在有限時間爆破．

若0＜m ＜1，在方程(1)的2端同乘上φ(x)并在Ω上積分，借助于不等式

得

由引理1，取合適大的初值∫Ωu0φdx ≥1，則

再由(12)，得

記

那么，類似的可得下面微分不等式

通過類似討論不難發(fā)現(xiàn)u(x，t)在有限時間爆破，于是引理4得證．

引理5 若m ＞p+q＞1，那么方程(1)所有的正解整體存在．

證明 不難證明下面橢圓方程

存在一個非負(fù)解ξ(x)，且0 ＜ ξ(x)≤N，x∈Ω，其中N為正常數(shù)．

取

式中，C ≥ max{1，(N+M)1/(m－(p+q))}，那么

于是，引理5成立．

引理6 若1＜m≤p+q，則對于適當(dāng)大的初值，方程(1)的解在有限時間爆破．

證明 在方程(1)2端同乘φm(x)并在Ω上積分有

進(jìn)而，

在(0，t)上積分上述不等式，得

記

由(14)與(15)可得

注意到

通過類似討論可知，若取適當(dāng)大初值時，解u(x，t)在有限時間爆破．

至此，由引理3與引理6以及上述討論，完成了定理1的證明．

本文的結(jié)論對指導(dǎo)植樹造林，防治病蟲害有著重要的理論意義和廣泛地應(yīng)用前景．

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