基于Van Leer矢通量分裂的計(jì)算方法研究與應(yīng)用

蘇克勤，劉 英，曹殿立

(1．河南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與管理科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州450002;2．河南大學(xué)，河南 開封475001)

在計(jì)算流體力學(xué)(CFD)中，構(gòu)造能自動(dòng)捕捉激波的算法一直是研究的重要內(nèi)容．刻畫粘性流動(dòng)的N－S方程與刻畫無粘流動(dòng)的Euler方程相比，只多了具有線性形式的耗散項(xiàng)，由于耗散項(xiàng)所具有的橢圓型特征，其數(shù)值計(jì)算較為簡單，所以，Euler方程的數(shù)值計(jì)算方法幾乎可以直接應(yīng)用到N－S方程的數(shù)值計(jì)算中，這也是CFD算法主要是圍繞Euler方程不斷發(fā)展的主要原因．Van Leer［1］構(gòu)造出了一種以自己名字命名的上風(fēng)格式——Van Leer矢通量分裂格式(FVS)．該格式是將通量矢量根據(jù)馬赫數(shù)進(jìn)行分裂，格式中的無粘矢通量的一階導(dǎo)數(shù)在聲速附近連續(xù)，避免了激波的產(chǎn)生．Van Leer FVS格式因其高效率，易于程序化運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn)，常被其它算法所引用來更好地捕捉流場中的激波．1988年，在滿足熱力學(xué)第二定律給出的熵增原理的前提下，張涵信構(gòu)造出了能自動(dòng)捕捉激波、無波動(dòng)、滿足熵增條件的NND差分格式、并且該算法具有二階精度，無自由參數(shù)．本研究將Van Leer FVS計(jì)算方法和NND差分格式相結(jié)合，提供了一種能有效捕捉激波、抑制數(shù)值解振蕩的差分算法．該方法不僅具有Van Leer FVS方法的高效率和易于程序化運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn)，并且有著NND差分格式較高的計(jì)算精度，能夠自動(dòng)捕捉流場中的激波．

1 二維Euler方程的Van Leer矢通量分裂

二維守恒型Euler方程為:

式中:

根據(jù) Van Leer矢量分裂方法［1，3～6］，通量項(xiàng)可表示為:

式中:

Van Leer FVS方法無矩陣運(yùn)算，正負(fù)通量項(xiàng)的表達(dá)式固定，易于程序運(yùn)算，具有較好的可操作性．該算法根據(jù)馬赫數(shù)進(jìn)行矢通量分裂，通量矢量的導(dǎo)數(shù)在聲速附近的連續(xù)性避免了激波附近數(shù)值解振蕩的產(chǎn)生，使得算法的精度和穩(wěn)定性得到保證．

2 基于Van Leer矢通量分裂的新算法

NND格式是一種能自動(dòng)捕捉激波的差分算法，物理背景明確．該算法可抑制奇偶失聯(lián)振蕩，因而得到了廣泛應(yīng)用［2，7，8］．對于方程組(1)，其 NND格式的顯格式可以表示如下:

式中:

將Van Leer FVS方法中所得到的通量分解項(xiàng)(2)，(3)，(4)和(5)代入NND格式(6)中的通量分解項(xiàng)表達(dá)式，便構(gòu)造出了一種新的差分算法．可以證明該算法空間上具有二階精度，無需選擇自由參數(shù)．

3 數(shù)值試驗(yàn)

出發(fā)方程為二維守恒型Euler方程(1)，取均勻流場．進(jìn)口條件為:ρ=1．0，Ma=2．9，進(jìn)氣角β1=29°，p=1．0，γ =1．4; 出口條件為:

圖1是數(shù)值試驗(yàn)得出的y=0．5時(shí)的壓強(qiáng)分布，數(shù)據(jù)均經(jīng)過無量綱化處理．由圖1可知，結(jié)合Van Leer矢通量分裂和NND格式所構(gòu)造的差分算法在該試驗(yàn)中有著較強(qiáng)的激波捕捉能力，避免了數(shù)值振蕩的出現(xiàn)．

圖1 y=0．5上的壓強(qiáng)分布Fig．1 Distribution of pressure for y=0．5

4 結(jié)論

結(jié)合Van Leer矢通量分裂和NND格式，利用Van Leer FVS方法處理NND格式中的矢量通量分解項(xiàng)，構(gòu)造出一種高效率的計(jì)算方法．通過對二維守恒型Euler方程的數(shù)值計(jì)算可以證明該差分算法能有效抑制激波附近數(shù)值解的振蕩，有著較高的計(jì)算精度，保證了計(jì)算的穩(wěn)定性．

［1］ VAN L B．Flux vector splitting for Euler equations［J］．Lecture Notes in Physics，1982，1970:507 －512．

［2］ 張涵信．無波動(dòng)、無自由參數(shù)的耗散格式［J］．空氣動(dòng)力學(xué)報(bào)，1988(6):143－165．

［3］ VAN L B．Towards the ultimate conservative difference scheme I:the quest of monoticity［J］．Lecture Notes in Physics，1973，18:163 －168．

［4］ 閻 超．計(jì)算流體力學(xué)方法及應(yīng)用［M］．北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2006．

［5］ 張德良．計(jì)算流體力學(xué)教程［M］．北京:高等教育出版社，2010．

［6］ TORO E F．Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics［M］．New York:Springer，1999．

［7］ 張涵信．差分計(jì)算中激波上、下游出現(xiàn)波動(dòng)的探討［J］．空氣動(dòng)力學(xué)報(bào)，1984(2):12－19．

［8］ ZHANG H X，ZHUANG F G．NND schemes and their application to numerical simulation of two and three dimensional flows［J］．Advances in Applied Mechanics．1992(29):193－256．