股指期貨區(qū)間定價模型構(gòu)建

劉子君，遲國泰

（1.沈陽航空航天大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，沈陽 110136；2大連理工大學(xué) 管理學(xué)院，遼寧 大連116024）

0 引言

股指期貨的定價是確定股指期貨的投資機會和套利判斷的重要依據(jù)，因而備受投資者的關(guān)注。因此，關(guān)于股指期貨的定價研究一直是股指期貨理論與實踐的核心課題。同其他金融衍生品一樣[1]，在不同條件下股指期貨定價存在較大的差異。但由于市場套利活動的存在其真實價格與理論價格應(yīng)趨于一致。目前，國際上通用的股指期貨的定價方法共有四種：（1）持有成本定價模型，（2）連續(xù)時間模型，（3）一般均衡定價模型，（4）區(qū)間定價模型。

上述各種模型中，持有成本模型是股指期貨的基本定價模型，給出了完美市場的股指期貨定價方法；連續(xù)時間模型將無風(fēng)險利率及其波動性引入定價模型；一般均衡模型考慮了股指期貨的套期保值價值與股票市場波動性的相關(guān)性。持有成本模型、連續(xù)時間模型和一般均衡模型都是對股指期貨定價的點估計，它們均對模型具有嚴格的假設(shè)條件限制，雖具有很強的理論參考價值。但客觀上嚴格的假設(shè)條件往往得不到滿足，這就降低了上述模型的實用價值[2]。而區(qū)間定價模型則是對指期貨定價的區(qū)間估計。它是考慮了市場風(fēng)險的期貨定價方法，克服點估計模型的缺乏實用性的不足，提高了定價準確性，因而具有更強的應(yīng)用價值。

股指期貨的區(qū)間定價，一般是在前三種理論定價的基礎(chǔ)上，考慮市場風(fēng)險，將理論定價向上和向下移動得出的區(qū)間[3]。目前，股指期貨的區(qū)間定價已有了一些研究成果，但現(xiàn)有研究仍然存在一定的不足：一是模型中的交易成本用絕對量表示，在實際應(yīng)用中需要換算為比率；二是忽略了股票市場和期貨市場中交易成本的差異；三是忽略的保證金參數(shù)對期貨交易成本的影響。無法準確確定股指期貨的定價區(qū)間。

本文綜合考慮了上述因素，詳細分析了股票和股指期貨買賣雙方各種交易費用、股利支付和存貸利率及期貨交易保證金等因素基礎(chǔ)上建立了非完美市場條件下的股指期貨區(qū)間定價模型，提高了股指期貨區(qū)間定價的準確性，并運用假設(shè)檢驗的方法對其進行檢驗。

1 股指期貨區(qū)間定價基本原理

持有成本定價方法是股指期貨最經(jīng)典、最基本的定價方法，它是其他定價方法的基礎(chǔ)。在完美市場假設(shè)條件下，股指期貨的基本定價模型[4]為公式（1）：

其中，F(xiàn)t為股指期貨t時刻價格；St為股票現(xiàn)貨t時刻價格；r為借款利率；D（t，T）為T-t時期內(nèi)的現(xiàn)金股利。等式右側(cè)第一項是考慮了資金時間價值的股票持有成本，第二項為股利收益。

以公式（1）為股指期貨的理論價格，將其向上和向下移動得到定價區(qū)間。理論上，只要股指期貨的價格偏離上述理論價格，投資者即可通過期現(xiàn)套利獲得無風(fēng)險收益。但是，在非完美市場條件下，股指期貨的定價需要綜合考慮市場風(fēng)險，由于期現(xiàn)套利交易中成本因素的存在，將交易成本與資金成本量化后，得出期貨價格偏離理論價格的無套利區(qū)間。在這個區(qū)間中，套利交易不但得不到利潤，反而會虧損。這個無套利區(qū)間既是股指期貨區(qū)間定價模型[5]。

區(qū)間定價模型實際上是在考慮了市場風(fēng)險的基礎(chǔ)上對成本定價模型的修正。在非完美市場條件下，投資者根據(jù)股指期貨的價格偏離理論價格的方向，采取不同的套利策略，根據(jù)無套利原則即可得到股指期貨的定價區(qū)間。Klemkosky&Lee（1991）推出的無套利定價區(qū)間見（2）式，它是目前普遍使用的股指期貨區(qū)間定價模型（將其定義為模型1）。

模型中：Cs1為買入股票現(xiàn)貨的交易成本；Cs2為賣出股票現(xiàn)貨的交易成本；Cf1為買入股票期貨的交易成本；Cf2為賣出股票期貨的交易成本；rd為貸款利率（%）；r為存款利率（%）；dτ為每日支付的現(xiàn)金股利。如前所述，F(xiàn)t和St分別代表t時刻股指期貨和股票現(xiàn)貨的價格。不等式左側(cè)是股指期貨定價區(qū)間的下限，其中：第一項表示股票持有成本；第二項表示持有期間的現(xiàn)金股利，二者之差為股指期貨的理論定價；第三項表示反向套利的交易成本。不等式的右側(cè)是股指期貨定價區(qū)間的上限，其中第一項和第二項的含義與左側(cè)相同，第三項表示正向套利的交易成本。

模型1綜合考慮了股票和期貨的交易成本、股利支付和借貸利率的差異等因素，并充分考慮了資金的時間價值，給出了股指期貨定價的下限和上限。該模型得到理論界的認可，成為股指期貨區(qū)間定價研究的依據(jù)和基礎(chǔ)，并為廣大投資者進行投資套利提供了參考依據(jù)。但它仍存在一定的不足：一是，模型中作為絕對量的各種交易成本（即式中的Cs1、Cs2、Cf1及Cf2）指標寬泛，在實際操作中需要用投資者熟悉的各種交易成本率進行轉(zhuǎn)換，而且不同的套利策略，交易成本的計算基數(shù)不同，從而降低了模型的使用價值；二是，該模型忽略了保證金機會成本在期貨交易中對投資收益的影響，盡管保證金在平倉后退回，但其金額較大，這項“被凍結(jié)”的資金對投資者的收益具有較大的影響，在股指期貨的定價中理應(yīng)作為一項參數(shù)予以考慮。

2 對現(xiàn)有模型的優(yōu)化

2.1 參數(shù)的選擇

用市場常規(guī)的比率形式表示交易成本，對模型1中的交易成本Cs1、Cs2、Cf1及Cf2進行細化（指標細化），并加入保證金參數(shù)，設(shè)：μ1為期貨交易中買方費用率（%）；μ2為期貨交易中賣方費用率（%）；θ1為股票交易中買方費用率（%）；θ2為股票交易中賣方費用率（%）；η為保證金比例（%）。

投資者根據(jù)實際價格偏離理論價格的方向采取不同的套利策略，而不同套利策略下模型1中的Cs1、Cs2、Cf1及Cf2的基數(shù)不同，故無法根據(jù)上述參數(shù)直接轉(zhuǎn)化，需要詳細分析套利策略。

2.2 理論價格上限的確定

理論上，當(dāng)股指期貨的價值被高估（即期貨價格高于股票價格）時，投資者通過正向套利——即買入股票賣出股指期貨合約的策略，可獲得套利收益，由于交易成本的存在，只有股指期貨的價格高出股票的價格達到一定程度，即高出的價格足以彌補交易費用時，投資者才能從中獲利，否則不僅不能得收益，反而會產(chǎn)生虧損。正向套利現(xiàn)金流量見圖1。

圖1 正向套利現(xiàn)金流量

正向套利時，投資者在期初（t時刻）買入股票現(xiàn)貨，同時賣出期貨合約。這個過程的現(xiàn)金流包括：買入股票的現(xiàn)金流出和賣出期貨合約的現(xiàn)金流出（賣出期貨合約時，投資者不能當(dāng)期得到資金，相反要支出相應(yīng)的費用）。買入股票的現(xiàn)金流出包括：股票價格St和股票交易中的買方費用（包括手續(xù)費和傭金）Stθ1。賣出期貨合約的現(xiàn)金流出包括期貨交易賣方費用（包括傭金和手續(xù)費）Ftμ2和支付合約保證金Ftη。合約到期時（T時刻），投資者需要買回期貨合約，賣出股票。此過程的現(xiàn)金流入包括：期貨平倉的收益結(jié)算（買賣差價）（Ft-FT）和退回保證金Ftη、賣出股票價款ST和收到的現(xiàn)金股利DT；現(xiàn)金流出主要是賣出股票的交易費用（傭金、手續(xù)費和印花稅）Stθ2和買回期貨合約的交易費用（傭金和手續(xù)費）FTμ1。

在此用借入資金成本（貸款利率rd）計算投資者資金的時間價值，根據(jù)無套利收益原則，無套利區(qū)間的套利收益小于等于零，得到不等式（3）。

在期貨交易中，到期結(jié)算價格應(yīng)等于現(xiàn)貨價格，故（2）式中的FT=ST。股票到期價格（ST）是一個未知量，需要對其進行處理。理論上股票的價格與其價值具有較高的相關(guān)性，故粗略地用t時刻股票價格的貼現(xiàn)形式表示到期股票價格，即取ST=Ster()T-t，將其代入（3）式整理，即可得到股指期貨定價的上限公式（4）：

此時，模型1中的各項交易成本轉(zhuǎn)化得到：Cs1=St×θ1；Cf2=Ft×μ2故模型1的上限可以轉(zhuǎn)化為不等式（5）：

通過比較得知：在正向套利中公式（4）不僅考慮了保證金（η）因素的影響，而且綜合考慮了股票市場中買賣雙方（θ1和θ2）的交易成本和期貨交易的開倉成本和平倉成本（μ1和μ2），而公式（5）僅考慮了股市中買方（θ1）的成本和股指期貨的開倉成本（μ2）。

3.3 理論價格下限的確定

同理，當(dāng)股指期貨的價格被低估（即期貨價格低于股票價格）時，投資者可以采用反向套利——即買入股指期貨合約，同時賣出股票的策略。用樣，由于交易成本的存在，只有當(dāng)股指期貨的價格低于股票的價格達到一定程度——足以彌補交易費用時，投資者才能從中獲利，否則投資者可能虧損。反向套利現(xiàn)金流量見圖2。

圖2 反向套利現(xiàn)金流量

反向套利時，投資者在期初（t時刻）賣出現(xiàn)貨，可獲得現(xiàn)金，在此用存款利率（r）計算投資者資金的時間價值。此過程的現(xiàn)金流入包括：期初賣出股票的現(xiàn)金收入St、期末期貨平倉的買賣差價（FT-Ft）和退回期貨合約保證金Ftη；現(xiàn)金流出包括：期初買入期貨合約的保證金Ftη、買入股票和賣出期貨合約的交易費用（Ftμ1+Stθ2）；期末賣出期貨合約的交易費用FTμ2、買入股票的現(xiàn)金支出及交易費用（ST+STθ1）。根據(jù)無套利收益原則得到不等式（6）。

理論上，股票到期價格（ST）應(yīng)包含現(xiàn)金股利，故用t時刻股票價格的貼現(xiàn)形式與現(xiàn)金股利之和表示到期股票價格，即取，經(jīng)過整理得到股指期貨定價的下限公式（7）：

如上所述，模型1中各交易成本費用可轉(zhuǎn)化為比率形式：Cs2=St×θ2；Cf1=Ft×μ1故模型1的下限可以轉(zhuǎn)化為公式（8）：

同樣將公式（7）和公式（8）比較：除保證金（η）因素外，公式（7）考慮的是股票市場中買賣雙方的交易成本（θ1和θ2）和期貨交易的開倉成本和平倉成本（μ1和μ2），而公式（8）僅考慮了股票交易的賣方（θ2）的成本和股指期貨的開倉成本（μ1）。在細化了交易成本和加入保證金參數(shù)后，將公式（8）和公式（11）進行整理，得到股指期貨的定價區(qū)間（9）式。在此將其定義為模型2。

同理，根據(jù)公式（5）和公式（8）模型1可以轉(zhuǎn)化為（10）式：

模型2以比率的形式表示股指期貨和股票市場的交易成本，克服了現(xiàn)有模型需要進一步換算的不足，增強了模型的可操作性。同時，模型2全面考慮了期初和期末的套現(xiàn)費用對股指期貨價格的影響，克服了現(xiàn)有模型只考慮期初交易費用的不足，提高了定價的準確性。而且，模型2中還增加保證金參數(shù)，進一步提高了定價的準確性。

3 實證分析

本文選取滬深300指數(shù)在2010年4月16日～10月15日 期 間 進 行 交 易 的 IF1005、IF1006、IF1007、IF1008、IF1009、F1010合約的全部交易數(shù)據(jù)為樣本，扣除休息日后共288組個數(shù)據(jù)（見表1）。利用模型2和模型1分別對每個交易日的期指價格進行區(qū)間定價、檢驗并比較二者的定價效果。

表1 滬深300指數(shù)樣本合約概況

3.1 滬深300指數(shù)合約的區(qū)間定價

滬深300指數(shù)是中國內(nèi)地首只股指期貨的標的指數(shù)，于2005年4月8日正式發(fā)布，以綜合反映滬深A(yù)股市場整體表現(xiàn)。滬深300股指期貨合約于2010年4月16日正式開始掛牌交易，首次掛牌交易的有IF1005、IF1006、IF1009、IF1012等4個月份合約。

（1）模型中參數(shù)的確定

Ft—股指期貨t時刻價格，取股指期貨當(dāng)日結(jié)算價格；St—股票現(xiàn)貨t時刻價格，取股票當(dāng)日收盤價；rd—借入款利率，取2010年4月～10月間一年期限的銀行貸款利息5.30%；r—貸出款利率，取2010年4月～10月間一年期限的銀行存款利息2.25%；d—股利率，由于2006年以來滬深300指數(shù)股息率水平的相對穩(wěn)定性，同時管理層關(guān)于上市公司紅利分配的政策也未發(fā)生大的變化，故取2006年以來的平均值，即年利為1.37%；μ1—期貨交易中買方費用率，主要是傭金（0.2%）和交易手續(xù)費（0.005%），合計0.25%；μ2—期貨交易中賣方費用率，同μ1取0.25%；θ1—股票交易中買方費用率，主要是傭金（0.2—0.3）%和手續(xù)費1元/1千股，取0.3%；θ2—股票交易中賣方費用率，主要是傭金、手續(xù)費和0.1%印花稅，合計取0.4%；η—期貨交易保證金比例，短期合約為15%，長期合約為18%。具體為：IF1005、IF1006、IF1007、IF1008、IF1010整個交

易期間均取15%；IF1009合約在7月16日前取18%，7月16日后取15%。

（2）股指期貨價格區(qū)間的確定

表2列示了股指期貨區(qū)間定價的詳細計算表。表中第（2）～（8）是作為樣本的六份合約交易期間內(nèi)各交易日的實際數(shù)據(jù)，第（9）和（10）列是利用模型2計算的股指期貨定價的下限和上限；第（11）和（12）是利用和模型1計算的定價區(qū)間的下限與上限。

表2 股指期貨交易區(qū)間定價計算表

將上述存貸款利率和股票、期貨交易費用率等固定因素及表2的第（5）～（8）列的數(shù)據(jù)對應(yīng)代入（12）式即可得出由模型2計算的各交易日股指期貨價格的下限和上限即表5的第（9）和第（10）列；同樣將上述數(shù)據(jù)代入（13）式算出表5的第（11）列和（12）列數(shù)據(jù)。比較表2的第（9）列與（11）列、第（10）列與（12）列，模型2的定價明顯低于模型1的定價，為比較二者定價的準確性，需進一步進行檢驗。

3.2 定價結(jié)果檢驗

本文首先將模型（2）的定價結(jié)果進行初步驗證，考察股指期貨實際結(jié)算價格落在定價區(qū)間的情況并與模型（1）進行比較，然后針對模型（2）的實際價格落在定價區(qū)間的假設(shè)是否成立進行檢驗。即對“區(qū)間定價的下限（下限）≤股指期貨的實際結(jié)算價格（Ft）≤區(qū)間定價的上限（上限）”基本假設(shè)進行驗證。

（1）初步驗證與比較

將期貨合約當(dāng)日結(jié)算價格分別統(tǒng)計由模型1和模型2測算的定價區(qū)間的低于下限、落在定價區(qū)間和高于上限的天數(shù)，結(jié)果見表3。

表3 兩個定價模型定價效果比較

由表3可見：總體看來，模型2的定價偏低——全部樣本的實際結(jié)算價格均高于模型2定價區(qū)間的下限，有47個樣本（占全部數(shù)據(jù)的16.3%）的實際結(jié)算價格高于其該模型的上限，落在區(qū)間的比率達83.7%；而模型1的定價偏高——有125個實際結(jié)算價格（占比為43.4%）低于模型1定價下限，14個結(jié)算價格（占比4.9%）高于其上限，落在區(qū)間的頻率僅為51.7%。數(shù)據(jù)顯示：模型2比模型1更符合市場實際。

將模型2中定價效果最差的IF1006和最好的IF1008合約（見表6的第(9)列）的實際價格與定價區(qū)間下限和上限繪圖成線圖進行比較，結(jié)果見圖3。結(jié)合表6和圖1看，模型2雖然比模型1更符合市場實際，但總體定價偏低，定價誤差仍然存在，尤其是IF1006合約前17個交易日（2010年4月16日～5月11日）共有14個交易日的期指實際結(jié)算價高于定價區(qū)間的上限，模型2定價的準確性需要進一步驗證。

（2）假設(shè)檢驗

圖3 IF1006和IF1008收盤價格與定價區(qū)間比較圖

本文利用SPSS的配對樣本T檢驗過程，檢驗“區(qū)間定價的下限（下限）≤股指期貨的實際結(jié)算價格（Ft）≤區(qū)間定價的上限（上限）”假設(shè)是否成立。配對1：模型2的定價上限與實際結(jié)算價；配對2：實際結(jié)算價與模型2的定價下限。

首先，對樣本進行綜合檢驗，對定價區(qū)間的下限與實際價結(jié)算價格、實際結(jié)算價格與定價區(qū)間的上限的差異進行檢驗，結(jié)果見表4。定價區(qū)間上限-結(jié)算價格的均值為17.68，95%的置信置信區(qū)間為（14.28，21.09），單尾檢驗的P值為0.000；結(jié)算價格-區(qū)間下限的均值為66.54，95%的置信區(qū)間為（61.87，71.21），單尾檢驗的P值為0.000。故檢驗結(jié)為：定價的下限（下限）＜股指期貨的實際結(jié)算價格（Ft）＜區(qū)間定價的上限（上限）成立。

表4 股指期貨定價效果綜合檢驗表

表5 分合約檢驗實際價格與定價區(qū)間上、下限的差異結(jié)果

其次，將6份合約的288組數(shù)據(jù)按合約名稱分組后，再進行配對樣本T檢驗考察定價模型針對不同合約的適用性，檢驗結(jié)果見表5。6份合約中定價效果最差的IF1006，上限-Ft的均值為2.5057，95%置信區(qū)間為（-7.23，12.88），單尾檢驗的P值為0.552＞0.05（1-95%），故上限-Ft≥0，即Ft≤定價區(qū)間的上限（上限）；結(jié)算價格-區(qū)間下限的均值為79.19，95%的置信區(qū)間為（66.81，91.57），單尾檢驗的P值為0.000。故檢驗結(jié)為：定價的下限（下限）＜股指期貨的實際結(jié)算價格（Ft）≤區(qū)間定價的上限（上限）成立。

同理，其余合約檢驗結(jié)果都滿足：定價的下限（下限）＜股指期貨的實際結(jié)算價格（Ft）＜區(qū)間定價的上限（上限）。

4 結(jié)論

綜上所述，模型2是適合市場實際的股指期貨區(qū)間定價模型。它對目前普遍應(yīng)用的模型1進行了如下優(yōu)化：一是將股指期貨和股票交易市場中買賣雙方的交易成本分別轉(zhuǎn)化為投資者熟悉的交易費用率、稅率及手續(xù)費等參數(shù)

的表達方式；二是充分考慮了不同套利策略下股指期貨與股票交易中買賣雙方交易成本的差異；三是將保證金參數(shù)引入到定價模型中。這就增加模型的實務(wù)操作參考價值。通過實證分析也驗證了其定價效果優(yōu)于模擬模型1，模型2的定價效果也通過的假設(shè)檢驗。該模型仍然存在不足之處是：每日的保證金是隨每天的交易價格變化的，但在本模型中是按其值在持有期間保持不變處理的，對定價的準確性有所影響。

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