自相關(guān)過(guò)程的ARMA控制圖

張志雷

（河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系，鄭州 450002）

0 引言

為了解決過(guò)程自相關(guān)條件下的質(zhì)量控制問(wèn)題，人們提出了多種方法。由于自相關(guān)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)可由時(shí)間序列的模型和參數(shù)來(lái)描述，因此，時(shí)間序列理論作為一種重要的方法被普遍用于解決自相關(guān)過(guò)程的控制問(wèn)題。其中常見(jiàn)的一種思想是運(yùn)用時(shí)序模型擬合的方法把自相關(guān)過(guò)程過(guò)濾成殘差序列，由于殘差序列獨(dú)立同分布，因此可采用常規(guī)控制圖進(jìn)行控制，形成的控制圖稱(chēng)為殘差控制圖[1]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)殘差圖），研究表明：殘差圖適用范圍有一定局限性，當(dāng)過(guò)程中、強(qiáng)度正相關(guān)且均值發(fā)生較大偏移時(shí)，殘差圖具有較好的使用價(jià)值[2]。另有學(xué)者則提出根據(jù)過(guò)程自相關(guān)結(jié)構(gòu)，運(yùn)用時(shí)序理論重新構(gòu)造控制圖的過(guò)程控制統(tǒng)計(jì)量，以達(dá)到提高控制圖檢測(cè)性能的目的。本文依據(jù)控制圖設(shè)計(jì)基本思想，研究建立在自回歸移動(dòng)平均統(tǒng)計(jì)量基礎(chǔ)上的ARMA控制圖原理，并以鏈點(diǎn)檢出概率和平均鏈長(zhǎng)(ARL)為準(zhǔn)則，系統(tǒng)分析了ARMA控制圖的性能，并與殘差圖進(jìn)行了較為系統(tǒng)的比較，結(jié)果有助于我們清楚認(rèn)識(shí)生產(chǎn)中自相關(guān)過(guò)程的控制問(wèn)題從而正確選用適宜的控制圖。

1 ARMA控制圖基本原理[3]

假設(shè)X1,X2,…是離散平穩(wěn)序列，具有不變的均值和自相關(guān)結(jié)構(gòu)，即E(Xt)=m(t∈Z),自協(xié)方差函數(shù)g(t)=cov(Xt,Xt+t)僅與滯后期t有關(guān)。根據(jù)時(shí)間序列理論中的ARMA模型，構(gòu)造出ARMA控制圖的統(tǒng)計(jì)量Zt可表示為：

其中α=φθ0-θ，B為滯后算子。根據(jù)Zhang協(xié)方差計(jì)算方法【4】可證明式(1)中統(tǒng)計(jì)量Zt在自相關(guān)條件下也為平穩(wěn)序列。易證E(Zt)=m,而序列{Zt}的自協(xié)方差函數(shù)是：

其中r(t)=g(t)/g(0)是序列{Xt}滯后t期的自相關(guān)系數(shù)。若t→∞且t＝0時(shí)，上式則為控制統(tǒng)計(jì)量Zt的方差：

被檢測(cè)過(guò)程的自相關(guān)形式可以用不同的時(shí)序模型來(lái)刻畫(huà)，為具體說(shuō)明ARMA控制圖的基本原理,本文采用具有代表性的ARMA(1,1)模型表示被測(cè)過(guò)程，其形式為：

其中 ∣u∣＜1,∣v∣＜1，at～N(0,)。其方差和滯后一期的相關(guān)系數(shù)分別為：

那么，可用ARMA(1,1)模型關(guān)系式來(lái)簡(jiǎn)化穩(wěn)定狀態(tài)下Zt的方差，將以上兩個(gè)公式帶入到式(2)中并由r(k)=ur(k-1)（其中k≥2）可得：

因?yàn)閄t服從正態(tài)分布，所以Zt也服從正態(tài)分布，均值為μ，當(dāng)t很大時(shí)，使用式(4)計(jì)算被測(cè)過(guò)程ARMA(1,1)的σz值。由統(tǒng)計(jì)量Zt，可建立ARMA控制圖，其中心線為μ，上下控制限為μ±kσz。在用ARMA控制圖進(jìn)行控制時(shí)，由于受控過(guò)程Xt和檢測(cè)過(guò)程Zt都為自相關(guān)過(guò)程，觀測(cè)點(diǎn)在控制界限內(nèi)呈現(xiàn)非隨機(jī)排列的可能性大大增加，如連續(xù)七點(diǎn)單調(diào)上升或單調(diào)下降，因此僅用觀測(cè)點(diǎn)是否在控制界限內(nèi)作為判斷準(zhǔn)則，即當(dāng)|Zt|＞kσZ表明過(guò)程中存在異常原因。

2 ARMA控制圖參數(shù)的選取

在穩(wěn)健設(shè)計(jì)中，信噪比指標(biāo)被用以度量產(chǎn)品質(zhì)量特性穩(wěn)健程度，表達(dá)式為R=μ/s。Zhang利用信噪比定義出的檢測(cè)能力指數(shù)[5]，用來(lái)衡量過(guò)程均值發(fā)生偏移時(shí)，控制圖在各時(shí)點(diǎn)上檢測(cè)出偏移的能力大小?；谕瑯铀枷胛覀兛梢愿鶕?jù)信噪比這個(gè)指標(biāo)來(lái)設(shè)定ARMA控制圖的參數(shù),通過(guò)信噪比比值的調(diào)整來(lái)增強(qiáng)控制圖的檢測(cè)效能。

假設(shè)t0時(shí)刻，由于異常原因使過(guò)程{Xt}的均值由零偏移到μ，則此時(shí)點(diǎn)及以后各時(shí)點(diǎn)控制統(tǒng)計(jì)量Zt均值的偏移形式可由式(1)得出：

進(jìn)行迭代整理后,則在t0后均值的偏移形式可統(tǒng)一表示為：

由上式可知控制統(tǒng)計(jì)量均值的偏移程度取決于參數(shù)θ、f和過(guò)程{Xt}均值偏移程度m，而與被監(jiān)控過(guò)程的參數(shù)u和v無(wú)關(guān)。當(dāng)過(guò)程{Xt}均值在時(shí)刻T=t0偏移μ個(gè)單位后，控制統(tǒng)計(jì)量Z的均值變化形式服從(5)式，即在時(shí)點(diǎn)T瞬間偏移θ0m；隨著時(shí)間t→∞，因?yàn)閨φ|＜1，其在新的均衡態(tài)下偏移ms=m,則時(shí)點(diǎn)T和均衡狀態(tài)下的信噪比分別為：RT=μT/sZ和RS=μS/sZ。當(dāng)過(guò)程{Xt}均值偏移程度統(tǒng)一用其標(biāo)準(zhǔn)差sx表示即m=δsx時(shí)，由(2)式可知，這兩個(gè)信噪比可寫(xiě)成：

當(dāng)過(guò)程均值發(fā)生偏移時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Zt值位于控制限內(nèi)的概率為：

其中U為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，k通常取3。由式(10)可知，概率Pt與信噪比Rt大小有關(guān)。R值越大P值越小，則檢出概率1-P值越大，單個(gè)鏈點(diǎn)對(duì)異常原因的檢測(cè)能力也越大。則RT衡量ARMA控制圖在過(guò)程{Xt}均值偏移時(shí)點(diǎn)T的檢測(cè)能力；如果最初均值偏移未被檢出，則均衡狀態(tài)下的Rs對(duì)隨后鏈點(diǎn)能否有效檢測(cè)出偏移將起重要作用。因此，信噪比RT和Rs的取值決定了ARMA控制圖的檢測(cè)效能。

Jiang和Tsui總結(jié)了信噪比選取的一般原則【3】，若ARMA控制圖的RT被調(diào)到很大，這時(shí)控制圖能以較大概率在時(shí)點(diǎn)T迅速檢測(cè)出偏移發(fā)生，如RT=4時(shí)，由式(10)可計(jì)算出控制圖立即報(bào)警的概率約為0.8413；若RT小于3，則在異常發(fā)生初期控制圖報(bào)警的概率將小于0.5，需要用隨后的鏈點(diǎn)檢測(cè)，此時(shí)Rs的取值將至關(guān)重要。然而Rs不能被調(diào)得很大，因?yàn)檫@將會(huì)導(dǎo)致RT很小，控制圖及時(shí)發(fā)現(xiàn)異常原因的概率降低，延遲糾正錯(cuò)誤的最佳時(shí)機(jī)。因此為了增強(qiáng)控制圖對(duì)均值偏移的檢出能力，必須選擇適宜的控制圖參數(shù)，使兩個(gè)信噪比RT和Rs達(dá)到平衡。一般來(lái)講，當(dāng)Rs取值在3附近對(duì)于平衡RT和Rs是適宜的。當(dāng)信噪比比值確定后，由于受控過(guò)程為平穩(wěn)序列，其相關(guān)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，參數(shù)u，v不變，根據(jù)式(6)(7)相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量Zt的參數(shù)θ、f也就確定，具體取值則需要依據(jù)式(6)(7)和均值偏移程度計(jì)算得到的數(shù)表進(jìn)行選取。在實(shí)際工作中，平穩(wěn)序列的方差sx和相關(guān)系數(shù)r(k)均由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，為了避免自相關(guān)結(jié)構(gòu)估計(jì)誤差對(duì)控制圖準(zhǔn)確度的影響，要求樣本數(shù)據(jù)至少100個(gè)。

根據(jù)以上內(nèi)容，我們總結(jié)出繪制ARMA控制圖的步驟：

（1）確定待控制的質(zhì)量指標(biāo)并根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)估計(jì)被測(cè)過(guò)程均值最有可能出現(xiàn)的偏移程度；

（2）由過(guò)程穩(wěn)態(tài)下的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)模型ARMA(p,q)的參數(shù)u和v以及滯后相關(guān)系數(shù)；

（3）對(duì) f和b（|f|＜1,|β|＜1，β=θ/θ0），根據(jù)公式(6)(7)以及第一步確定的偏移程度計(jì)算出相應(yīng)RT和Rs的數(shù)表；

（5）計(jì)算Zt的方差與均值，繪制出控制限，作出ARMA控制圖；

（6）將測(cè)量數(shù)據(jù)在ARMA控制圖中打點(diǎn)，判定過(guò)程是否穩(wěn)態(tài)。

3 ARMA控制圖檢測(cè)性能的比較與分析

運(yùn)用Matlab軟件分別作10000次模擬運(yùn)算，獲得在不同均值偏移程度下，各控制圖的ARL值，具體結(jié)果見(jiàn)表1。表中參數(shù)設(shè)置情況說(shuō)明：第1列表示過(guò)程均值偏移程度為δ個(gè)sx單位；第2、3列是自相關(guān)過(guò)程{Xt}為ARMA(1,1)模型時(shí)的參數(shù)取值，其中at～N(0,1)；第4、5列則為ARMA控制圖相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量Z中參數(shù)f、θ取值，根據(jù)上節(jié)信噪比選取原則選取并由式(8)(9)計(jì)算得到。為了比較各控制圖的檢測(cè)能力，參數(shù)k取在過(guò)程穩(wěn)態(tài)下使ARL大致為370的值。

表1 自相關(guān)模型為ARMA(1，1)時(shí)兩種控制圖ARL的比較

計(jì)算結(jié)果顯示：除過(guò)程強(qiáng)相關(guān)且均值大偏移情況外，在絕大多數(shù)條件下，ARMA控制圖的ARL要小于殘差圖，表明其對(duì)異常原因的檢測(cè)能力較強(qiáng)，尤其在均值發(fā)生中小程度偏移情況更是如此。例如過(guò)程參數(shù)u=0.7,v=0.5條件下，ARMA控制圖在均值偏移程度δ=0.5，1，2時(shí)的ARL分別為60.14、17.46、5.00，明顯小于相應(yīng)殘差圖的平均鏈長(zhǎng)；而在δ=3時(shí)，ARMA控制圖的ARL也略小于殘差圖，說(shuō)明此時(shí)ARMA控制圖對(duì)均值偏移的檢出能力優(yōu)于殘差圖。僅在過(guò)程強(qiáng)相關(guān)且均值較大偏移時(shí)，ARMA控制圖的ARL要大于殘差圖，例如當(dāng)u=0.9,v=0條件下，ARMA控制圖在δ=2，3的ARL分別為18.78、4.75都大于相應(yīng)條件下殘差圖，表明此時(shí)檢測(cè)能力弱于殘差圖。因此，總體來(lái)講，除序列強(qiáng)相關(guān)且均值較大偏移情況外，通過(guò)調(diào)整ARMA控制圖中統(tǒng)計(jì)量Z的參數(shù)取值可以增控制圖的檢測(cè)效能。

4 ARMA控制圖的蒙特卡洛模擬研究

圖1 模擬數(shù)據(jù)的ARMA控制圖

圖2 模擬數(shù)據(jù)的殘差控制圖

為了更好地理解ARMA控制圖的檢測(cè)性能，我們使用蒙特卡洛模擬方法進(jìn)一步從兩個(gè)信噪比即各個(gè)鏈點(diǎn)檢測(cè)能力角度，研究ARMA控制圖算法對(duì)檢測(cè)效果的影響。首先，利用Matlab軟件隨機(jī)生成基于ARMA(1,1)模型Xt-0.5Xt-1=at+0.5at-1,at～N(0,1)的360個(gè)數(shù)據(jù)，其中前150個(gè)是過(guò)程穩(wěn)態(tài)下的隨機(jī)數(shù)，后210個(gè)是過(guò)程均值偏移一個(gè)sx單位時(shí)的失控?cái)?shù)據(jù)，由方差公式可計(jì)算出sx=1.5275。其次，由式(8)(9)計(jì)算出參數(shù)f和θ在取值范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的RT和Rs的數(shù)表，根據(jù)選取原則選出適宜的信噪比RT=0.501,Rs=3.01并確定相應(yīng)的f=0.95、θ=0.117，最后根據(jù)式(2)計(jì)算出控制統(tǒng)計(jì)量Z的方差sz，作出ARMA控制圖的控制限并對(duì)模擬序列進(jìn)行控制。如圖1所示，當(dāng)均值在第151個(gè)點(diǎn)發(fā)生偏移后，ARMA控制圖在第161個(gè)點(diǎn)顯示超出控制限，發(fā)出第一個(gè)報(bào)警信號(hào)，表明過(guò)程存在異常原因。對(duì)相同模擬序列用殘差圖進(jìn)行控制，如圖2所示，圖中最早報(bào)警點(diǎn)的序號(hào)為249大大滯后于ARMA控制圖。通過(guò)模擬結(jié)果說(shuō)明ARMA控制圖的檢測(cè)效果要明顯優(yōu)于殘差圖，用這種控制圖方法對(duì)自相關(guān)過(guò)程進(jìn)行控制是適宜的。

5 結(jié)論

建立在自回歸移動(dòng)平均統(tǒng)計(jì)量基礎(chǔ)上ARMA控制圖提供了一種靈活的策略來(lái)選擇統(tǒng)計(jì)量參數(shù)，我們可以根據(jù)受控過(guò)程自相關(guān)結(jié)構(gòu)選擇控制統(tǒng)計(jì)量的參數(shù)，從而通過(guò)調(diào)整兩個(gè)信噪比比值來(lái)提高ARMA控制圖檢測(cè)的靈敏度。研究結(jié)果表明除過(guò)程強(qiáng)相關(guān)且均值較大偏移情況外，在絕大多數(shù)條件下，ARMA控制圖檢測(cè)能力明顯優(yōu)于殘差圖。因此，對(duì)自相關(guān)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行控制時(shí)，可以考慮運(yùn)用ARMA控制圖來(lái)提高檢測(cè)的有效性。

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