桁架優(yōu)化的改進(jìn)粒子群算法①

許 銳， 王澤興， 羅 雪

(1．同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海200092;2．同濟(jì)大學(xué)浙江學(xué)院，浙江嘉興314051)

0 引言

桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化，是在結(jié)構(gòu)拓?fù)浜托螤钜阎那闆r下，搜索各個(gè)桿件的最佳尺寸，使結(jié)構(gòu)在滿足約束條件的同時(shí)達(dá)到質(zhì)量最輕．桿件截面積即為尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)變量．

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域中，優(yōu)化準(zhǔn)則(OC)法[1]與數(shù)學(xué)規(guī)劃(MP)[2]法等傳統(tǒng)的算法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于求解簡(jiǎn)單優(yōu)化問題，并取得了較好的效果．但這些傳統(tǒng)優(yōu)化算法在進(jìn)行大型復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化時(shí)，則通常會(huì)出現(xiàn)通用性差、計(jì)算量大等缺點(diǎn)．隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，如遺傳算法(GA)、粒子群算法(PSO)、微分演化算法(DE)、免疫克隆選擇算法(ICSA)、蟻群算法(ACO)等[3－7]仿生智能優(yōu)化算法逐漸應(yīng)用于工程優(yōu)化領(lǐng)域．，這些仿生智能優(yōu)化算法較之于傳統(tǒng)的優(yōu)化算法，不需要變量的梯度信息，不要求函數(shù)的連續(xù)性和可微性，因此更適合于求解結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題．但仿生智能算法也存在共同的缺點(diǎn)，即參數(shù)不易確定，參數(shù)的設(shè)置通常會(huì)影響算法收斂的效果．

在上述仿生智能計(jì)算技術(shù)中，粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法受到鳥類群體行動(dòng)的行為啟發(fā)而提出，并以其概念和操作簡(jiǎn)單、收斂迅速及魯棒性高等特點(diǎn)得到了廣泛的關(guān)注及應(yīng)用．PSO算法被成功應(yīng)用于很多研究領(lǐng)域，如在函數(shù)優(yōu)化、人工智能與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、模糊控制、仿真與識(shí)別、結(jié)構(gòu)可靠性評(píng)估、優(yōu)化與參數(shù)識(shí)別等．但作為一種通用的隨機(jī)全局搜索算法，PSO也面臨著早熟收斂和后期收斂速度慢等問題[8]．因此很有必要在原有標(biāo)準(zhǔn)PSO的方法的基礎(chǔ)上對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，使其更適應(yīng)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題．縱觀各種對(duì)標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的改進(jìn)策略中，“綜合學(xué)習(xí)策略”的粒子群算法(CLPSO)是最為成熟的一種，并被作者成功應(yīng)用于結(jié)構(gòu)識(shí)別中[9]．本文將改進(jìn)的PSO算法即基于“綜合學(xué)習(xí)策略”的粒子群算法(CLPSO)應(yīng)用于桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化，典型算例的數(shù)值結(jié)果表明了CLPSO在桁架尺寸優(yōu)化中的有效性．

1 “綜合學(xué)習(xí)策略”粒子群優(yōu)化算法(CLPSO)的基本原理

PSO算法是受鳥群等群體的社會(huì)性行為啟發(fā)，模擬它們?cè)谝捠硶r(shí)群體協(xié)作，彼此信息共享等機(jī)制的行為發(fā)展起來的啟發(fā)式的仿生智能算法．算法中，群體中的每一個(gè)粒子代表一個(gè)備選解，粒子在每一代的更新過程中通過和其周邊的粒子共享信息實(shí)現(xiàn)演化．第i個(gè)粒子的第d維坐標(biāo)的位置和速度按照下式更新:

圖1 10－桿平面桁架

圖2 10桿平面桁架優(yōu)化的評(píng)價(jià)函數(shù)曲線

在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的基礎(chǔ)上，為了使種群獲得更多有益的信息，一種新的學(xué)習(xí)策略被提出[10]，在該策略中，粒子的速度更新公式(1)變?yōu)?/p>

其中hi=[hi(1)，hi(2)，…，h(D)]定義了粒子i在各個(gè)維度上將要學(xué)習(xí)的最佳經(jīng)驗(yàn)的來源，即粒子i在第d個(gè)維度上將要向第h(d)個(gè)粒子的最佳經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)．對(duì)于每個(gè)粒子的D個(gè)維度，隨機(jī)選取m個(gè)維度向群體最佳經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)．在剩余維度中，則依據(jù)學(xué)習(xí)概率Pc，來判斷是否向此時(shí)的學(xué)習(xí)范本學(xué)習(xí)，該范本可以是任意一個(gè)包括第i個(gè)粒子本身在內(nèi)的粒子的．本文中，粒子i的學(xué)習(xí)概率Pci的表達(dá)式如下所示:

式中群體規(guī)模為S，粒子序號(hào)為i．“綜合學(xué)習(xí)策略”的粒子群算法更為詳細(xì)的原理介紹可參考作者的文獻(xiàn)[9]．

圖3 25－桿空間桁架

圖4 25桿空間桁架優(yōu)化的評(píng)價(jià)函數(shù)曲線

2 桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化

2．1 桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

2．1．1 設(shè)計(jì)變量

在桁架結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)中，將桿件截面面積選擇為設(shè)計(jì)變量，故定義設(shè)計(jì)變量為

式中，n為截面積設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù);Ai為桿件的截面積．

2．1．2 目標(biāo)函數(shù)

評(píng)價(jià)一種設(shè)計(jì)方案好壞是通過目標(biāo)函數(shù)來進(jìn)行．在桁架尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)中，目標(biāo)函數(shù)為桁架的最小重量或體積，故定義目標(biāo)函數(shù)為桁架的總重量并同時(shí)考慮約束的懲罰項(xiàng):

式中，M為結(jié)構(gòu)總質(zhì)量，ρi，Ai分別為第i組桿件的密度及截面積，Li為第i組桿件的長(zhǎng)度，N為預(yù)先定義的大數(shù)(程序中取1030);λ為罰函數(shù)因子，用來處理約束．當(dāng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)滿足約束條件時(shí)λ=0，否則 λ=1．

2．1．3 約束條件

①應(yīng)力約束:

式中，gσk(A)為應(yīng)力約束，[σk]，σk分別為第k組桿件的允許應(yīng)力值和各種工況下的最不利應(yīng)力值，K為桿件的總組數(shù)．

②節(jié)點(diǎn)位移約束:

式中，[ujl]，ujl分別為特定節(jié)點(diǎn)j在給定方向l上的位移允許值和各種工況下最不利位移值，m為節(jié)點(diǎn)總數(shù)，ND為節(jié)點(diǎn)位移約束維數(shù)．

③設(shè)計(jì)變量約束:

式中，Amin，Amax為分別設(shè)定的桿件的截面尺寸的上限與下限．

2．2 基于CLPSO算法的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化程序

本文采用Matlab進(jìn)行編程計(jì)算．基于CLPSO算法的桁架優(yōu)化流程如下:

Step 1:設(shè)置算法參數(shù);初始粒子群，在搜索空間中隨機(jī)產(chǎn)生第一代粒子變量;it=0;

Step 2:進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算出每個(gè)粒子所代表的設(shè)計(jì)變量對(duì)應(yīng)的各桿件應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)位移等結(jié)構(gòu)信息;

Step 3:如公式(6)所示，計(jì)算粒子適應(yīng)度，并對(duì)于違反約束的個(gè)體進(jìn)行懲罰處理;

Step 4:比較每個(gè)粒子的適應(yīng)度與其所經(jīng)歷的最好位置的適應(yīng)度，該粒子當(dāng)前的全局最優(yōu)位置;

Step 5:比較每個(gè)粒子的適應(yīng)度與全局所經(jīng)歷的最好位置的適應(yīng)度，更新當(dāng)前的全局最優(yōu)位置;

Step 6:根據(jù)速度更新方程(3)和位置更新方程(2)更新粒子的速度和位置;

Step 7:滿足算法終止條件，輸出最優(yōu)粒子以及最優(yōu)粒子的目標(biāo)函數(shù)值，否則返回Step 2．

3 算例分析

為了驗(yàn)證CLPSO應(yīng)用于考慮具有應(yīng)力約束和幾何約束的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)越性，對(duì)典型的桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析比較．CLPSO算法的計(jì)算參數(shù)選擇如下:粒子數(shù)PS=40，最大迭代次數(shù)G=1000，慣性權(quán)重w=0．6，加速因子c=1．494，學(xué)習(xí)概率取式(4)．

表1 10桿平面桁架優(yōu)化結(jié)果比較

表2 荷載工況及節(jié)點(diǎn)荷載表

表3 桿件分組及允許應(yīng)力表

3．1 10桿平面桁架優(yōu)化

圖1所示為10桿平面桁架．各桿使用相同的材料，密度 ρ=2767．99kg/m3，彈性模量E=68947．57MPa，允許應(yīng)力 σ=±172．252MPa，荷載P2=444．52kN，P4=444．52kN，L=9．144m．設(shè)計(jì)變量為各桿截面積，其取值范圍為64．516×10－6～2．5806×10－2m2．各節(jié)點(diǎn)允許的最大位移為dmax=±50．8mm．結(jié)構(gòu)的單元與節(jié)點(diǎn)編號(hào)見圖1．

為了分析CLPSO算法的有效性，隨機(jī)運(yùn)行5次優(yōu)化程序．表1列出了本文應(yīng)用CLPSO算法的優(yōu)化結(jié)果與其他算法優(yōu)化結(jié)果的比較．本文CLPSO算法收斂的時(shí)程曲線見圖2．

由圖2可知，CLPSO隨機(jī)優(yōu)化在400代以內(nèi)均已經(jīng)收斂．由表1知CLPSO優(yōu)化結(jié)果的平均值為2294．516kg，其中最優(yōu)值為 2294．360kg，最劣值為2294．778kg．采用本文算法優(yōu)化的結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[11]與文獻(xiàn)[12]的最優(yōu)結(jié)果，雖然稍差于文獻(xiàn)[13]，但本文算法5次隨機(jī)優(yōu)化結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0．033，明顯優(yōu)于其他方法，相比之下本文算法收斂結(jié)果更加穩(wěn)定．

3．2 25桿空間桁架優(yōu)化

圖3所示為25－桿空間桁架．各桿使用相同的材料，密度 ρ=2767．99kg/m3，彈性模量E=68947．57MPa．截面積范圍為Amin=6．4516×10－6m2，Amax=2193．5440×10－6m2．位移約束為各節(jié)點(diǎn)在x，y，z方向位移均不超過dmax=±8．89mm．兩種工況下節(jié)點(diǎn)荷載見表2，桿件分組及對(duì)應(yīng)的允許應(yīng)力見表3．

同樣隨機(jī)運(yùn)行CLPSO算法5次優(yōu)化程序．表4列出了本文應(yīng)用CLPSO算法的優(yōu)化結(jié)果與其他算法優(yōu)化結(jié)果的比較．本文CLPSO算法收斂的時(shí)程曲線見圖3．

表4 25桿空間桁架優(yōu)化結(jié)果比較

由圖3可知，CLPSO隨機(jī)優(yōu)化在400代以內(nèi)均 已經(jīng)收斂．由表4知CLPSO優(yōu)化結(jié)果的平均值為247．4kg，其中最優(yōu)值為 247．287kg，最劣值為 247．646kg．采用本文算法優(yōu)化的均結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)的最優(yōu)結(jié)果，相比之下本文算法收斂結(jié)果更加穩(wěn)定．說明了CLPSO算法具有很強(qiáng)的搜索能力，能夠得到令人非常滿意的結(jié)果．

4 結(jié)論

CLPSO算法是受鳥群、魚群等群體的社會(huì)性行為啟發(fā)的一種新穎仿生智能算法．和其他進(jìn)化算法比較，CLPSO算法保留了PSO算法概念簡(jiǎn)單、易于執(zhí)行及收斂迅速等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)克服了PSO算法早熟收斂和后期收斂速度慢等問題．桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化算例的結(jié)果表明，本文采用的CLPSO算法收斂快，優(yōu)化性能好且魯棒性高，可以有效地進(jìn)行桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)．

[1] Zhou M，Rozvany G I N．Dcoc:An Optimality Criteria Method for Large Systems，Part II:Algorithm[J]．Structural Optimization，1993，6(4):250－262．

[2] Schimit JR L A，F(xiàn)arshit B．Some Approximation Concepts for Structural Synthesis[J]．AIAA Journal，1974，12(5):692 －699．

[3] 唐和生，王兆亮，薛松濤．微分演化算法在桁架形狀優(yōu)化中的應(yīng)用[J]．土木、建筑與環(huán)境工程，2009，32(12):94－99．

[4] 唐和生，李峰，王勇，等．桁架結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化的粒子群優(yōu)化算法[J]．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，41(1):42－50．

[5] 李峰，唐和生，薛松濤，等．粒子群優(yōu)化算法在桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J]．土木建筑與環(huán)境工程，2009，31(4):7－12．

[6] 李峰，唐和生，許銳，等．桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的免疫克隆選擇算法[J]．同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，38(9):1261－1265．

[7] 汪定偉，智能優(yōu)化方法，北京:高等教育出版社，2007．

[8] 唐和生，王兆亮，薛松濤．微分演化算法在桁架優(yōu)化中的應(yīng)用[J]．土木建筑與環(huán)境工程，2010，32(1):42－50．

[9] 唐和生，許銳，薛松濤，等．基于CLPSO算法的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識(shí)別[J]．振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2010，30(6):605－611．

[10] Liang J J．，Qin A K，et al．Comprehensive Learning Particle Swarm Optimizer for Global Optimization of Multimodal Functions[J]．IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2006，10(3):281–295．

[11] Camp，C．，Pezeshk，S．，Cao，G．Optimized Design of Twodimensional Structures Using a Genetic Algorithm[J]．J．Struct．Eng．，1998，124(5)，551 – 559．

[12] Fourie，P．C．，Groenwold，A．A．The Particle Swarm Optimization Algorithm in Size and Shape Optimization[J]．Struct．Multidiscip．Optim．，2002，23，259–267．

[13] Camp，CV．Design of Space Trusses Using Big Bang－ big Crunch Optimization[J]．Journal of Structural Engineering －ASCE，2007，133(7):999 －1008．

[14] Cao，G．“Optimized Design of Framed Structures Using a Genetic Algorithm[D]．Univ．of Memphis，Tenn，2006．

[15] Schutte，J．J．，Groenwold，A．A．Sizing Design of Truss Structures Using Particle Swarms[J]．Struct．Multidiscip．Optim．，2003，25，261–269．

[16] Camp，C．V．，Bichon，B．J．Design of Space Trusses Using Ant Colony Optimization[J]．J．Struct．Eng．，2004，130(5)，741–751．