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    交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制

    2012-07-02 03:25:44聶冰趙慧敏郭永香李文
    關(guān)鍵詞:階次微積分分式

    聶冰,趙慧敏,郭永香,李文

    (大連交通大學(xué) 軟件學(xué)院,遼寧 大連 116028)*

    0 引言

    整數(shù)階PID控制器具有操作簡單、調(diào)整方便、魯棒性好等特點(diǎn),在電機(jī)控制應(yīng)用中處于主導(dǎo)地位,但是隨著控制對象的機(jī)構(gòu)越來越復(fù)雜,控制參數(shù)越來越多,常規(guī)的整數(shù)階PID控制往往難以得到滿意的控制效果[1].分?jǐn)?shù)階PID控制器是傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器的擴(kuò)展,由于它具有更多的可調(diào)節(jié)參數(shù),故為復(fù)雜的被控對象帶來了更加靈活的參數(shù)調(diào)節(jié)能力,使其具有更好的控制特性.

    交流電機(jī)作為工業(yè)控制領(lǐng)域的重要電氣設(shè)備被廣泛應(yīng)用,電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力機(jī)械系統(tǒng),其中存在著很多非線性因素,如齒輪間的間隙和摩擦、基礎(chǔ)振動(dòng)等,因此,系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階特性變得無法忽略.為了降低交流電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的噪聲與振動(dòng),進(jìn)一步擴(kuò)展傳統(tǒng)的整數(shù)階控制方法,在交流電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中引入分?jǐn)?shù)階控制是可行和必要的[2],具有實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值.

    本文主要討論了交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制.首先介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的基本含義,并將其應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的設(shè)計(jì).在交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中使用分?jǐn)?shù)階PIλ控制器進(jìn)行控制,通過測試實(shí)驗(yàn)表明分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的可行性及其有效性.

    1 分?jǐn)?shù)階微積分

    分?jǐn)?shù)階微積分的一般定義為[3]:

    式中,a和t為算子a的上下限,微積分算子是函數(shù)f(t)的α次積分或?qū)?shù).

    分?jǐn)?shù)階微積分中α是任意數(shù),常用的分?jǐn)?shù)階微積分定義是Grünwald-Letnikov,其微積分定義為:

    h為計(jì)算步長.

    RL是另一種分?jǐn)?shù)階微積分的定義.與GL定義相比,RL分?jǐn)?shù)階微積分的計(jì)算更為簡化,其分?jǐn)?shù)階微積分的定義為:

    2 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器

    2.1 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的設(shè)計(jì)

    整數(shù)階PIλ控制器傳遞函數(shù)為:

    式中,U(s)為控制器的輸出;E(s)為控制器的誤差輸入.分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)是整數(shù)階控制系統(tǒng)的擴(kuò)展,將式(4)推廣到分?jǐn)?shù),其分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的傳遞函數(shù)為:

    式中,KP、KI為控制器的控制參數(shù),λ>0是分?jǐn)?shù)階控制器的積分階次,可表示為任意實(shí)數(shù).

    2.2 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的離散化

    分?jǐn)?shù)階控制器是無限階次,其設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題是解分?jǐn)?shù)階微積分方程時(shí)需要對微積分算子進(jìn)行離散化.離散化方法主要使用直接離散化和間接離散化,直接離散化應(yīng)用更為廣泛[2].直接離散化法的基本思想是:分?jǐn)?shù)階微積分sr用生成函數(shù) s= ω(z-1)來表示,將r次無理函數(shù) ωr(z-1)在離散時(shí)間域Z中使用有限階次的有理函數(shù)對其進(jìn)行逼近[2,4].目前常用的分?jǐn)?shù)階積分算子包括:Rectangular算子、Tustin算子和Simpson算子及由Al-Alaoui提出的算子.連分式(CFE)是對函數(shù)或數(shù)值的一種有效近似形式,它的展開比通常線性展開收斂速度更快.Tustin算子具有很好的相位特性和簡單的結(jié)構(gòu),利用Tustin算子進(jìn)行連分式(CFE)展開是一種有效的離散方法[5-6].根據(jù)Tustin算子得到階次為r的生成函數(shù)為:

    將該生成函數(shù)應(yīng)用收斂速度快的連分式展開,對其進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微積分算子的近似,得到了效果更理想的分?jǐn)?shù)階數(shù)字積分器.

    離散函數(shù)G(z)可以用連分式展開式近似展開,形式表示如下所示:

    式中,ai(z)和bi(z)為常量或z的有理函數(shù).

    式中,r∈[-1,1],CFE{u}表示對函數(shù)u進(jìn)行連分式展開,P和Q是變量z-1多項(xiàng)式,一般展開階次 p=q=n,得到近似等式[3]:

    附表列出了當(dāng)近似階次p=q=1,3,5取不同值時(shí),分?jǐn)?shù)階積分器的分子分母近似表達(dá)式.

    根據(jù)經(jīng)驗(yàn),綜合考慮系統(tǒng)的計(jì)算能力和控制性能要求選取近似模型的階次為3,分?jǐn)?shù)階微積分sr的離散化模型為:

    附表 Dr(z)分子分母的近似表達(dá)式

    3 應(yīng)用實(shí)例

    使用離散的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器和傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器對交流感應(yīng)電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)進(jìn)行控制.該系統(tǒng)硬件主要采用工控機(jī),三相異步電動(dòng)機(jī),變頻器,速度傳感器及NI公司的數(shù)據(jù)采集模塊,其配置框圖如圖1所示:

    圖1 交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)配置圖

    根據(jù)經(jīng)驗(yàn),分?jǐn)?shù)階PIλ控制器控制參數(shù)分別為:Kp=0.24,ki=0.05,λ =0.47,采樣周期T=1 s,采用Tustin+CFE離散方法,逼近階次為3,分?jǐn)?shù)階PIλ控制器和整數(shù)階PID控制器控制效果如圖2所示.

    圖2分別為交流電機(jī)額定轉(zhuǎn)速在300 r/min和600 r/min時(shí),分?jǐn)?shù)階PIλ控制器和整數(shù)階PID控制器控制效果對比圖,其中虛線為分?jǐn)?shù)階控制器,實(shí)線為整數(shù)階控制器.如圖所示,在控制過程中,分?jǐn)?shù)階PIλ控制器和整數(shù)階PID控制器的超調(diào)量幾乎相同,但是分?jǐn)?shù)階控制器的調(diào)節(jié)時(shí)間更短,在電機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行后,分?jǐn)?shù)階控制器要比整數(shù)階控制器對電機(jī)的控制更加的平穩(wěn),振蕩小,這種趨勢隨著時(shí)間的推移越發(fā)的明顯,控制效果更好.

    圖2 分?jǐn)?shù)階控制器和整數(shù)階控制器控制效果對比圖

    實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的有效性,進(jìn)一步拓寬PID控制器的參數(shù)選擇范圍,為工程實(shí)際應(yīng)用提供了可能.

    [1]張邦楚,王少鋒.飛航導(dǎo)彈分?jǐn)?shù)階PID控制及其數(shù)字實(shí)現(xiàn)[J].宇航學(xué)報(bào),2005,26(5):653-656.

    [2]趙慧敏,李文.一類分?jǐn)?shù)階濾波器逼近階次的選擇[J].電機(jī)與控制學(xué)報(bào),2010(1):90-94.

    [3]白晶.分?jǐn)?shù)階模型的離散化方法研究[D].大連:大連交通大學(xué),2009.

    [4]曹軍義,曹秉剛.分?jǐn)?shù)階控制器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)及其特性[J].控制理論與應(yīng)用,2006,3(5):791-794.

    [5]樊玉華,李文.分?jǐn)?shù)階微分算子的離散化方法比較[J].大連交通大學(xué)學(xué)報(bào),2008,29(3):95-98.

    [6]CHEN YANGQUAN.A new discretization method for fractional order differentiators via continued fraction expansion[C].2003 ASME International Design Engineering Technical Conferences,Chicago,USA,2003:1-9.

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