利用人工勢函數(shù)法的衛(wèi)星電磁編隊控制

蘇建敏 董云峰

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

利用人工勢函數(shù)法的衛(wèi)星電磁編隊控制

蘇建敏 董云峰

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

衛(wèi)星電磁編隊是指利用衛(wèi)星之間相互作用的電磁力進行衛(wèi)星相對運動控制，對控制律的要求主要是計算量小和能避免碰撞.以目標星對參考星的相對運動矢量作為控制對象，分析了使用電磁力控制衛(wèi)星編隊的可行性，結(jié)果是如果編隊衛(wèi)星磁矩能夠任意控制，那么衛(wèi)星相對運動也能完全控制.設計了人工勢函數(shù)，以相對位置和相對速度矢量作為變量，人工勢函數(shù)在達到控制目標時為最小值，在碰撞的位置具有局部最大值.設計的控制律能夠?qū)崟r調(diào)整控制參數(shù)，能夠保證電磁線圈控制電流不至于飽和，以及人工勢函數(shù)導數(shù)在控制過程中小于零.仿真表明，所設計的控制律能生成編隊構(gòu)型并避免碰撞，而且具有一定的抗干擾性.

人工勢函數(shù);電磁編隊;避免碰撞;飽和;抗干擾

衛(wèi)星編隊是指多顆小衛(wèi)星在圍繞地球運動的同時，彼此之間形成特定的編隊構(gòu)型，共同完成空間任務.電磁編隊則是利用安裝在衛(wèi)星上的通電線圈之間的電磁力進行衛(wèi)星相對運動控制的編隊.衛(wèi)星編隊飛行控制主要關(guān)心的是衛(wèi)星的相對運動，對絕對軌道的控制是次要的，因此利用衛(wèi)星之間相互作用力來進行相對運動控制是對衛(wèi)星推進系統(tǒng)的一種必然的改進.電磁力推進系統(tǒng)相比較普通推力器的優(yōu)點在于，不消耗工質(zhì)，不會有工質(zhì)耗盡導致編隊壽命終結(jié)的問題;沒有推力器噴氣尾流對衛(wèi)星有效載荷的污染，和對其他衛(wèi)星的動力學干擾.缺點在于電磁力的作用距離有限，產(chǎn)生電磁力的同時會產(chǎn)生附加力矩，以及強磁場對星上電子設備的干擾.

編隊飛行控制策略的研究主要分為2類:從傳統(tǒng)的衛(wèi)星軌道控制出發(fā)，以衛(wèi)星之間軌道根數(shù)的差異作為控制目標;以CW方程為主的衛(wèi)星動力學方程，以衛(wèi)星相對位置和速度為控制目標，在軌道坐標系下進行控制.文獻［1］采用非奇異的軌道根數(shù)差來描述相對構(gòu)型，利用高斯變分方程計算生成對應的軌道根數(shù)差所需要的脈沖大小和方向，將結(jié)果與數(shù)值優(yōu)化的結(jié)果進行了比較.文獻［2］對軌道根數(shù)差進行數(shù)學變換，得到一組新的參數(shù)來描述相對構(gòu)型，并推導相對軌道攝動微分方程，導出脈沖與相對軌道要素變化的關(guān)系.文獻［3］把衛(wèi)星相對運動軌跡規(guī)劃問題，轉(zhuǎn)換成帶碰撞約束的燃料最優(yōu)線性規(guī)劃問題，并采用混合整數(shù)線性規(guī)劃方法（MILP，Mixed Integer Linear Programming）進行求解.文獻［4］提出一種分布式的編隊構(gòu)型生成與重構(gòu)的規(guī)劃方法，在考慮碰撞可能性的前提下，通過優(yōu)化發(fā)動機正向推力/停止/反向推力的切換時間來完成規(guī)劃.文獻［5］把碰撞限制下的編隊重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為大量不等式約束的非線性燃料最優(yōu)問題，并利用平行多重打靶法進行求解.文獻［6］以凸優(yōu)化的方法規(guī)劃出期望重構(gòu)機動路徑，然后設計基于二階一致性算法的反饋協(xié)同控制律，控制實際位置跟蹤期望軌跡，減小了燃料消耗總量，提高了燃料消耗均衡性.

綜上，由于星上燃料的寶貴性，以推力器控制的編隊控制問題一般轉(zhuǎn)化為燃料最優(yōu)問題進行求解.

電磁編隊的控制是緊耦合的，對一顆星的控制會影響到其他衛(wèi)星，隨著衛(wèi)星個數(shù)的增加，問題的復雜性也會增加，如果采用優(yōu)化的方法尋找最優(yōu)軌跡，優(yōu)化問題的規(guī)模會隨衛(wèi)星個數(shù)增加擴大而呈幾何級數(shù)增長，所幸的是電磁編隊控制消耗的是可再生的電能，最優(yōu)控制在此變得不那么重要［7］，而由于電磁力作用范圍小，電磁編隊衛(wèi)星彼此的距離很近，衛(wèi)星可能的碰撞問題在控制過程中需要重點考慮.人工勢函數(shù)法最早用于機器人控制，它的基本思想是構(gòu)造一個勢函數(shù)，該函數(shù)在機器人目標位置和目標速度具有全局最小值，在障礙物處具有局部最大值，如果設計控制律使得勢函數(shù)的導數(shù)小于零，就能保證機器人在有限的時間內(nèi)到達目標位置和目標速度，并有效的避開障礙物［8］.由于人工勢函數(shù)法不需要進行軌跡規(guī)劃且能有效防止碰撞，在衛(wèi)星相對運動控制上也得到了應用，文獻［9］把人工勢函數(shù)法用于空間自主交會對接導航.文獻［10］則利用人工勢函數(shù)法控制理想情況下的電磁衛(wèi)星編隊，其設定的運動環(huán)境是二維平面，且衛(wèi)星不受外力，控制使得衛(wèi)星的相對位置發(fā)生變化，相對速度為零.

由于Ahsun考慮的理想情況與實際的衛(wèi)星編隊運動情況有所差異，本文在其基礎上進行了改進，得到的控制律適合三維空間地球重力場中的電磁編隊的運動控制，所做的改進主要是通過實時調(diào)整控制參數(shù)，保證控制的穩(wěn)定性和控制力可實現(xiàn).此外本文還對電磁編隊的可控性進行了分析.

1 電磁編隊可控性分析

由于電磁力的作用是相對的，電磁編隊無法對單顆衛(wèi)星單獨施加控制，對一顆衛(wèi)星施加控制必然影響到另一顆衛(wèi)星，而對這兩顆星的控制又會影響到與其他衛(wèi)星的相對運動狀態(tài)，因此首先需要分析電磁編隊的可控性，即當電磁編隊中衛(wèi)星上的磁矩能任意取值時，各個衛(wèi)星之間的相對運動狀態(tài)是可控的.這一命題可以分為兩部分:①如果編隊中各個衛(wèi)星的磁矩可以任意取值，那么各個衛(wèi)星受到的電磁力也能任意取值;②如果編隊各個衛(wèi)星所受的電磁力能任意取值，那么衛(wèi)星之間的相對運動狀態(tài)可控.

假設衛(wèi)星上正交安裝3個電磁線圈以獲得任意大小和方向磁矩，其中單個電磁線圈磁矩的大小可表示為

式中，n為線圈匝數(shù);i為線圈電流;a為線圈半徑;磁矩μ的方向與線圈電流方向符合右手法則.

設兩個衛(wèi)星的磁矩分別為 μ1和 μ2，衛(wèi)星2相對于衛(wèi)星1的位置p，衛(wèi)星2受到衛(wèi)星1的作用力 f21為

式中，μ0是真空磁導率，等于4π×10－7N/A2.

設有n顆衛(wèi)星，編號從1到n，質(zhì)量分別為m1，…，mn，在近地空間編隊飛行，每顆衛(wèi)星所受的電磁力分別為fei，其他外力分別為fai.以衛(wèi)星1作為參考星，衛(wèi)星2到n相對于衛(wèi)星1的位置和速度矢量分別為pi，vi，以每顆衛(wèi)星的磁矩μi作為未知量，有以下方程組:

由于電磁力合力為0，方程組（3）包括一個冗余的方程，實際有效的方程個數(shù)是n－1.把矢量表示為標量的形式后，方程組的未知量個數(shù)為3n，而限制方程的個數(shù)為3（n－1），如果磁矩能任意取值，總能滿足電磁力的要求.

編隊中衛(wèi)星之間相對運動狀態(tài)可控，等同于矢量 pi，vi，i=2，3，…，n 完全可控，衛(wèi)星相對運動方程如下:

聯(lián)立式（4）的第2個式子和式（5），以 fe1，fe2，…，fen作為未知量，對于任意給定的，可以求出滿足要求的電磁力.即如果編隊各個衛(wèi)星所受的電磁力能任意取值，那么能任意取值，衛(wèi)星之間的相對運動狀態(tài)可控.

2 用人工勢函數(shù)法的電磁衛(wèi)星控制

沿用上一節(jié)的定義，編號從1到n的n顆衛(wèi)星，以1星作為參考星，其他星相對于參考星的位置和速度分別為 pi和 vi，i=2，3，…，n，目標相對位置和速度記為pi0和vi0，設計勢函數(shù)使得編隊中的衛(wèi)星在目標相對位置和速度具有全局極小值:

為了避免編隊衛(wèi)星在達到目標相對位置和速度的過程中發(fā)生碰撞，在函數(shù)中加入一項以防止碰撞發(fā)生，該項在碰撞發(fā)生時具有局部極大值:

式中，p1為0;λ1，λ2是正常數(shù);Q為正對角矩陣.

聯(lián)立式（6）和式（7），得到勢函數(shù)V:

對勢函數(shù)V求導得:

根據(jù)梯度函數(shù)ΔOij的性Δ質(zhì):

對式（9）進行整理得到

設計控制律:本文Ki是正對角矩陣.

式（12）代入式（11）得勢函數(shù)的梯度為

ΔOij是防碰撞勢函數(shù)的梯度函數(shù)，當衛(wèi)星之間距離越近，其值越大，而在目標狀態(tài)，取值趨近零.vi0為第i顆衛(wèi)星的目標相對速度，取值隨時間在一定范圍內(nèi)周期性變化.為了保證式（13）為負值，需要控制Ki的取值.

電磁線圈產(chǎn)生的電磁控制力是有限的，當正交安裝的3個電磁線圈其中一個的電流發(fā)生飽和時，如果像文獻［10］那樣簡單進行限幅，那么實際產(chǎn)生的磁矩大小和方向均與預計的不符，最終每顆衛(wèi)星受到的控制力可能與要求的控制力相差很多，所以在控制律的設計中必須盡量保證電磁線圈不至于發(fā)生電流飽和.為了實現(xiàn)這一目的，對控制量進行限制，由于電磁力大小與磁矩乘積成正比，與距離四次方成反比，因此給設定一個閥值，dmax為衛(wèi)星之間最大距離，通過調(diào)整Ni的大小來保證小于給定的閥值.確定控制量的算法是:i從2到n.

關(guān)于控制磁矩的方程組（3），直接利用數(shù)值方法迭代求解，具體可采用“Matlab”的“fsolve”函數(shù).電磁線圈在產(chǎn)生控制力的同時也會產(chǎn)生附加力矩，包括電磁線圈之間的電磁力矩和地球磁場對電磁線圈作用的電磁力矩，用動量輪進行吸收以維持衛(wèi)星姿態(tài)的穩(wěn)定.

3 仿真研究

包括4顆星的電磁編隊進行構(gòu)型初始化，軌道為圓軌道，目標構(gòu)型為能自然穩(wěn)定的空間橢圓，4顆星相對于其中心的目標軌跡如下:

式中，θi為衛(wèi)星的相位，分別為 0，π/2，π，3π/2;ω是軌道角速度.

初始時刻衛(wèi)星 1的軌道根數(shù)為（7000 km 0 30° 0 0 0），因為構(gòu)型初始化在短時間內(nèi)完成，攝動力模型僅考慮地球J2項.電磁線圈所能產(chǎn)生的最大磁矩μ與線圈質(zhì)量m、線圈半徑a和線圈超導材料的性質(zhì)Ic/ρc的關(guān)系如下:

式中，Ic為單位截面積的超導材料能通過的最大電 流;ρc為 材 料 密 度;Ic/ρc的 取 值 為16250 Am/kg［7］.仿真參數(shù)如表 1 所示.

表1 仿真參數(shù)表

在文獻［10］中，衛(wèi)星從靜止到靜止的控制過程中，會碰到“停止點”，原因是勢函數(shù)的第1部分（式（6））的導數(shù)，與勢函數(shù)的防碰撞部分（式（7））的導數(shù)相互抵消，導致還沒有達到目標位置的時候，控制力為零.而在運動到運動的控制過程中，即使衛(wèi)星在某處“停止”了，由于目標位置隨時間變化，勢函數(shù)第1部分的導數(shù)的方向也會隨時間變化，與勢函數(shù)防碰撞部分的導數(shù)也會不同，以致重新產(chǎn)生控制力離開“停止”點.假設衛(wèi)星初始相對位置如下:xi（0）=－0.5xi0（0）;yi（0）=－0.5yi0（0）;zi（0）= －0.5zi0（0）.

構(gòu)型生成過程中衛(wèi)星的相對運動軌跡如圖1所示，圖1包括了一個三維視圖和3個側(cè)視圖，坐標原點為衛(wèi)星群幾何中心，能清楚的看出衛(wèi)星在達到目標軌跡的過程中為避免碰撞所做的機動.圖2是控制過程中4顆衛(wèi)星之間的距離，可知衛(wèi)星之間的最小距離大于5 m.

與控制誤差相關(guān)的因素是:控制力的誤差、衛(wèi)星受到攝動力和相對狀態(tài)的觀測誤差，表2給出了這些誤差因素在仿真中的設置.

仿真結(jié)果中控制誤差曲線如圖3所示.

圖1 相對運動軌跡

圖2 衛(wèi)星之間相對距離

表2 與誤差相關(guān)的因素

圖3 相對狀態(tài)的控制誤差

最終位置誤差為10－1m量級，速度誤差為10－3m/s量級，誤差曲線有較明顯的毛刺現(xiàn)象，原因在于仿真中未對測量數(shù)據(jù)進行平滑處理.

仿真的其他結(jié)果如圖4～圖6所示.

圖4 控制系數(shù)

圖5 勢函數(shù)與勢函數(shù)導數(shù)

圖6 控制磁矩

圖4給出了控制過程中控制系數(shù)的變化，為了簡便起見，用矩陣N，K的第1個元素的值代表這個矩陣.通過實時調(diào)整控制系數(shù)，達到了兩個目的，從圖5和圖6可以看出，首先是勢函數(shù)的導數(shù)小于0，保證了能穩(wěn)定收斂到目標狀態(tài)，然后是衛(wèi)星磁矩都在可實現(xiàn)范圍之內(nèi).

4 結(jié)論

通過把電磁編隊的相對運動控制分解成對多個相對運動狀態(tài)矢量的控制，構(gòu)造了人工勢函數(shù)，并推導控制律，對編隊構(gòu)型生成進行了仿真研究，得到了有意義的結(jié)論.

如果編隊中的衛(wèi)星磁矩完全可控，那么編隊衛(wèi)星的相對運動狀態(tài)也完全可控.仿真表明，編隊衛(wèi)星在構(gòu)型生成的過程中做了種種規(guī)避動作以避免可能的碰撞，基于人工勢函數(shù)法設計的控制律達到了防止碰撞的目的.在考慮了觀測誤差，執(zhí)行誤差以及攝動力的情況下，編隊仍然在控制力的作用下完成構(gòu)型生成，說明人工勢函數(shù)控制律具有一定的抗干擾性.對控制系數(shù)的實時調(diào)整保證了電磁線圈不至于處于電流飽和狀態(tài)，不會因為電流飽和而影響控制效果.

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Artificial potential function method for satellite electromagnetic formation control

Su Jianmin Dong Yunfeng
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

The relative motion of electromagnetic satellites is activated by electromagnetic force between satellites.The control law should satisfy two conditions，low calculation burden and ability of avoiding collision.The control objects are relative motion vectors of satellites to reference satellite.The analysis of feasibility of electromagnetic force control to satellite formation shows that relative motion of satellites can be controlled if electromagnetic strengths of satellites can be controlled.An artificial potential function was designed.Relative positions and relative velocities are treated as variables.The value of the function is minimal when control object is got，and it is local maximal when collision happens.By regulating control parameters in real time，which the current of electromagnetic coils won't beyond upper limit is regarded.The derivative of artificial potential function is less than zeros in control process.Simulation shows that electromagnetic satellites configuration would be generated when control law was imposed with interference.

artificial potential function;electromagnetic formation;collision avoidance;saturation;anti-interference

V 412.4

A

1001-5965（2012）02-0213-05

2010-10-11;< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡出版時間:

時間:2012-02-21 11:46;

CNKI:11-2625/V.20120221.1146.019

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1146.019.html

蘇建敏（1982－），男，湖北仙桃人，博士生，jackysura@gmail.com.

（編 輯:張 嶸）