基于泛函變分和變熱物性的層冷傳熱建模

陳水宣，鄒 俊，謝 丹

(1.廈門理工學(xué)院機械工程系，廈門 361024;2.浙江大學(xué)流體傳動及控制國家重點實驗室，杭州 310027)

在熱軋板材生產(chǎn)與控制中，板材的傳熱溫度控制是核心［1］。層流冷卻(簡稱層冷)是板材熱軋生產(chǎn)過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。建立層冷區(qū)高精度的傳熱計算模型，可顯著提高溫度控制精度，從而改變成品板材的內(nèi)部晶相組織，提高其加工性能、力學(xué)性能和物理性能，獲得優(yōu)質(zhì)、高韌性、低屈服強度比的鋼板［2］。常規(guī)的層冷系統(tǒng)采用指數(shù)模型計算平均溫度，忽略熱量在板材厚度方向上的傳導(dǎo)，并且將模型中的關(guān)鍵參數(shù)(如比熱、熱導(dǎo)率等物性參數(shù))簡化為常數(shù)，導(dǎo)致溫度預(yù)測時誤差較大，且由于該類溫度模型只是計算板材某斷面的平均溫度，而現(xiàn)場測溫儀所測的是板材表面溫度，二者的差異導(dǎo)致溫度模型在采用實測和歷史數(shù)據(jù)進行自適應(yīng)學(xué)習(xí)時效果不佳［3］。隨著用戶對產(chǎn)品質(zhì)量要求的提高以及鋼鐵企業(yè)開發(fā)高附加值板材產(chǎn)品的需要，傳統(tǒng)的代數(shù)溫度模型或指數(shù)溫度模型已經(jīng)無法滿足熱軋生產(chǎn)的要求，迫切需要建立適應(yīng)新產(chǎn)品開發(fā)的傳熱計算模型，以實現(xiàn)板材層冷段溫度的精確預(yù)測和控制。

1 板材熱軋層冷系統(tǒng)

層冷系統(tǒng)安裝于精軋出口側(cè)和卷取之間的層流冷卻輥道上方。寶鋼2050熱軋線層冷系統(tǒng)設(shè)計有上下兩側(cè)，上方主要為了冷卻板材上表面，下方冷卻板材下表面。軋線側(cè)的頂部水箱系統(tǒng)將更易于控制噴水壓力。板材冷卻區(qū)分為16架，包括主冷區(qū)和精冷區(qū)，其中主冷區(qū)安裝136個閥門，精冷區(qū)安裝24個閥門，共19組水集管。主冷區(qū)與精冷區(qū)的分界點為精冷區(qū)基準點。在精軋出口、層冷冷卻中間輥道和卷取機上各布置紅外測溫儀，其測量點對應(yīng)于圖1中的FDT、MT和CT。

圖1 層流冷卻系統(tǒng)框圖

2 板材層冷溫度建模

板材層流冷卻是一個時變、非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程。板材內(nèi)部的溫度場不僅隨空間位置的變化而變化，而且還隨時間的變化而變化［5－6］。板材在冷卻過程中的傳熱包括內(nèi)部熱傳導(dǎo)、與運送輥道接觸熱傳導(dǎo)、對流換熱、熱輻射以及相變放熱。研究表明，層冷過程的傳熱主要是板材的內(nèi)部熱傳導(dǎo)、板材表面的對流傳熱以及板材內(nèi)部的相變放熱，其他傳熱過程引起的溫度變化可以忽略不計。板材在整個層冷過程中交替處于水冷區(qū)和空冷區(qū)。如圖2所示，在空冷區(qū)，板材主要是以熱輻射的形式傳熱，而在水冷區(qū)則主要以對流換熱的形式傳熱。

圖2 板材層冷過程的溫度變化

忽略板材在長度方向的熱傳導(dǎo)，并考慮相變過程產(chǎn)生的熱量，建立板材沿厚度、寬度方向溫度場控制方程:

式中:T為板材溫度(℃);x、y分別為板材厚度、寬度坐標值(m);t為時間(s);λ為熱傳導(dǎo)率(W/(m·℃));ρ為板材密度(kg/m3);c為時板材的比熱為相變過程的潛熱變化率。

為求解式(1)的偏微分方程，首先需要確定其初始條件和邊界條件。初始條件為板材在精軋出口沿厚度和寬度方向的溫度分布，即

邊界條件為板材層冷下對環(huán)境的熱輻射方程(3)和板材與冷卻水的對流換熱方程(4):

式中:hw1、hw2分別為層流水冷段射流沖擊區(qū)、穩(wěn)定膜沸騰區(qū)的換熱系數(shù)(W/(m2·K));Tw1、Tw2分別為射流沖擊區(qū)、穩(wěn)定膜沸騰區(qū)的冷卻水溫度(℃);h∞為空冷段熱輻射換熱系數(shù)(W/(m2·K));T∞為環(huán)境溫度(℃);σ為斯蒂芬－玻爾茲曼常數(shù);ε為黑度。

基于泛函變分原理計算上述熱傳導(dǎo)偏微分方程，可得到對應(yīng)的泛函為

值得注意的是，式(5)中的熱傳導(dǎo)率λ、比熱容c和密度ρ是與板材溫度變化相關(guān)的物性參數(shù)，簡單地當(dāng)作常數(shù)會給模型計算帶來較大的誤差。

將板材橫斷面離散化為E個單元，每單元有m個節(jié)點，對于離散化后的每個單元來說則可認為其對應(yīng)的物性參數(shù)為常量，即式(5)的變分式適用于每個單元。離散化后式(5)總泛函I可通過各單元泛函Ie疊加計算，即

取溫度插值函數(shù)，單元內(nèi)任意一點的溫度T(x，y)與單元節(jié)點溫度{T}e的關(guān)系為 T(x，y)=［N］{T}e，其中［N］=［N1，N2，N3，…，Nm］為基函數(shù)矩陣。各單元泛函為

式中:［K］e為單元的剛度矩陣;［C］e為單元的熱傳導(dǎo)矩陣;{P}e為單元的溫度荷載列陣。［K］e、［C］e、［P］e可由下列各式確定:

利用泛函極值的必要條件:

由式(7)和式(11)可得:

使用歐拉方程對溫度T進行時間積分:

式中:θ為歐拉參數(shù)，取0.5～1;Δt為時間步長。根據(jù)前一時間步p的溫度Tp，通過式(13)可求得后一時間步p+1的溫度值Tp+1。把式(13)代入式(12)得:

求解上式描述的系統(tǒng)方程，即可以獲得節(jié)點在各離散時間點上的溫度，從而計算板材沿厚度和寬度方向上的溫度場。

3 變熱物性參數(shù)實驗

熱物性參數(shù)是表征材料熱物理性能的參數(shù)，包括密度、比熱容和熱導(dǎo)率等，是式(1)～(14)的溫度場計算所需重要參數(shù)。常規(guī)傳熱計算模型中將熱物性參數(shù)簡化為常數(shù)，而在層冷過程中板材由于受冷卻水沖擊，溫度變化非常劇烈，特別是對于層冷區(qū)發(fā)生相變潛熱的鋼種，其物性參數(shù)呈現(xiàn)明顯的非線性變化。

取鋼種分類表的低、中、高碳鋼為本實驗鋼種，主要化學(xué)成分見表1。在寶鋼Gleeble熱模擬實驗機上測量3種鋼種樣本的熱物性參數(shù)，測量溫度從室溫到1 000℃，以每50℃為一個采樣點。實驗結(jié)果表明，密度可近似為常數(shù)，但比熱和熱傳導(dǎo)隨溫度變化劇烈，如圖3、4所示。

圖3 板材比熱隨溫度變化

圖4 板材熱導(dǎo)率隨溫度變化

由圖3可見，在720℃附近比熱產(chǎn)生了明顯的波動。這是由于板材在層冷過程中產(chǎn)生了相變，相變過程中奧氏體向鐵素體、珠光體轉(zhuǎn)變過程的熱焓采用多項式回歸［9］:

相變過程各相的物性參數(shù)為［9］:

式中:cα、cγ、cp分別為奧氏體、鐵素體和珠光體的比熱(J/(kg·℃));λ為熱導(dǎo)率(W/(m·K))。

溫度場計算時以鋼種為索引號，對比熱和熱導(dǎo)率的實驗數(shù)據(jù)進行一維溫度線性插值，從而獲得單元節(jié)點溫度對應(yīng)的物性參數(shù)值。

4 模型換熱系數(shù)反算優(yōu)化

換熱系數(shù)是反映板材與介質(zhì)之間熱交換能力的重要參數(shù)，它與板材規(guī)格尺寸、精軋出口溫度、冷卻水溫度和冷卻時間等物理參數(shù)有關(guān)。它們之間存在著復(fù)雜的非線性關(guān)系。

板材層冷過程主要分為空冷和水冷2個階段，根據(jù)傳熱方式的不同，首先分別建立帶鋼上、下表面的空冷和水冷換熱系數(shù)基本計算模型。

上、下表面的空冷換熱系數(shù)按式(17)、(18)計算。

其中:σ為斯蒂芬－玻爾茲曼常數(shù);ε為黑度。

上、下表面的水冷換熱系數(shù)按式(19)計算:

其中:Hc為當(dāng)前閥門位置，H為起始閥門位置;Vc、h、Te分別為輥道速度、板材厚度、板材表面溫度;Vc0、h0、Te0為其對應(yīng)的基準值;k、α、β、γ 為模型系數(shù)。

隨著軋制節(jié)奏和工藝條件的變更，換熱系數(shù)需要進一步修正以滿足長期應(yīng)用的穩(wěn)定性和精度。采用牛頓－拉斐森迭代公式，根據(jù)層冷實測的表面溫度反算對流換熱系數(shù)

式中:h2、h1為設(shè)定的對流換熱系數(shù);TC2、TC1為給定h2、h1后的溫度計算值;TM為實測溫度。

5 現(xiàn)場應(yīng)用驗證

從單卷板材計算和多卷板材連續(xù)計算2個方面驗證新層冷溫度模型，分別如圖5、圖6所示。

圖5為模型計算的單卷板材在整個層冷過程中的溫度變化，該板材終軋厚度為6 mm、終軋溫度為881.5℃。圖中由內(nèi)到外取板材表面、1/4厚度及中間層3個節(jié)點觀測其溫度計算值。從圖5中可以看出，板材表面溫度隨外界調(diào)節(jié)變化最為劇烈。板材進入層冷系統(tǒng)的集管水冷區(qū)域后，表面溫度快速下降，并且在集管間隔開的情況下，表面溫度呈現(xiàn)鋸齒形變化態(tài)勢，此時與心部溫度相差較大;板材進入空冷區(qū)域后，表面溫度和中心部溫度均緩慢地降低，并且由于表面熱流很小、內(nèi)部熱流較大，板材出現(xiàn)快速返溫的現(xiàn)象，熱量由內(nèi)部熱傳導(dǎo)至外部，使得鋼板內(nèi)外溫度趨于一致。經(jīng)模型計算的卷取處溫度值為388.9℃，而實測溫度為385℃，二者吻合較好?？梢姡诜汉兎钟嬎愕亩S溫度模型較真實地反映了板材在層冷過程的溫度變化。

圖5 板材在層冷過程的溫度變化趨勢預(yù)測

圖6為模型進行500條板材的溫度預(yù)測計算結(jié)果。由圖6可見，新層冷溫度模型計算與實測值吻合良好，模型均方差為10.21℃，相比寶鋼2050熱軋線原層冷系統(tǒng)14.59℃降低了近30%。由于考慮了物性參數(shù)隨溫度的變化，特別是在相變區(qū)中根據(jù)實驗數(shù)值確定了變物性參數(shù)的擬合模型，因此新的溫度模型特別適用于層冷溫度處于相變區(qū)的熱軋先進高強鋼，即熱軋雙相鋼(DP)、相變誘導(dǎo)塑性鋼(TRIP)、多相鋼(MP)等相變強化高強鋼。這對國內(nèi)鋼鐵企業(yè)實現(xiàn)高附加值熱軋高強鋼的物理和機械性能控制是十分有意義的。

圖6 新模型的溫度計算值與實測值對比

6 結(jié)論

1)建立以熱輻射和冷卻水對流換熱方程為邊界條件的偏微分熱傳導(dǎo)模型，解決了傳統(tǒng)溫度解析模型只能計算平均溫度的問題，準確地揭示了板材在層冷過程中的溫度變化。

2)基于泛函變分原理進行傳熱方程的離散求解，并且在寶鋼Gleeble熱模擬實驗機上測定3種碳鋼樣本的密度、比熱容和熱導(dǎo)率等熱物性參數(shù)隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系。該方法特別適用于層冷過程產(chǎn)生相變的低卷取溫度高強鋼。

3)采用層冷實測溫度反算和優(yōu)化水冷和空冷換熱系數(shù)。結(jié)果表明，該方法提高了溫度模型現(xiàn)場應(yīng)用的穩(wěn)定性，溫度模型計算值與實測值吻合良好。

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