基于Markov過程的逆向物流回收量預測

陳義華，許慶春

(重慶大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400044)

近年來，隨著市場競爭的日益激烈以及國家對環(huán)境保護的法律強制要求，國內外許多企業(yè)開始把有效管理顧客退貨和廢舊產(chǎn)品回收作為一種新的競爭方式和降低成本的有效途徑。學者們把這種物品逆向流動的供應鏈稱之為逆向供應鏈，以與傳統(tǒng)正向供應鏈相區(qū)別。與正向供應鏈相比，逆向供應鏈具有系統(tǒng)高度復雜性、系統(tǒng)目標多樣性、系統(tǒng)供需失衡性、系統(tǒng)匯聚性等4個特點?；厥债a(chǎn)品在回收時間、回收質量和數(shù)量等方面具有很大的不確定性［1］，而對這種不確定性進行預測的方法的合理性和精確性，直接關系到產(chǎn)品回收設施能力的規(guī)劃和產(chǎn)品再制造庫存管理的優(yōu)化與控制，因此如何及時、準確地進行產(chǎn)品回收預測成為實施逆向物流的重要前提。影響產(chǎn)品回收量的主要因素有產(chǎn)品的相對生命周期、產(chǎn)品的回收途徑、產(chǎn)品的銷售量、消費者的購買行為等。在過去的研究中，學者們在對產(chǎn)品回收預測的研究中主要是假設產(chǎn)品的需求和返回服從獨立的泊松分布或者正態(tài)分布［2－3］。謝家平等［4］運用隨機網(wǎng)絡的相關理論構建了以生產(chǎn)廠商為回收主導的廢舊電器產(chǎn)品回收隨機網(wǎng)絡預測模型。此外還有學者［5－6］對灰色系統(tǒng)模型進行了改進，并把模型應用到了回收量的預測中。

Markov鏈建模具有很強的實用性，可以被用于諸多研究領域來解決狀態(tài)轉移問題［7］，包括用于回收產(chǎn)品的庫存管理［8］。于洋等［9］應用灰色Markov鏈改進預測方法，對鐵路集裝箱中心站貨運量的發(fā)展趨勢進行了預測。謝家平［10］通過對逆向回收產(chǎn)品的不同狀態(tài)的界定，剖析其狀態(tài)轉移過程，然后根據(jù)Markov鏈的原理，構建了一個不同狀態(tài)下的轉移方程，在給定的初始狀態(tài)下，預測某一時期期末所處不同狀態(tài)的回收產(chǎn)品數(shù)量。本文在文獻［10］的基礎上考慮回收的產(chǎn)品經(jīng)處理后會有2種狀態(tài):一是轉換成全新的產(chǎn)品;二是有一定的廢棄率，并根據(jù)以上考慮建立了預測模型。

1 Markov鏈

事物的未來發(fā)展及演變狀態(tài)僅僅受事物現(xiàn)在狀態(tài)的影響，而與過去的狀態(tài)無關，則稱該事物具有Markov性(也稱無后效性)。有限個Markov過程的整體稱為Markov鏈。所謂Markov鏈是一類時間為參數(shù)離散，狀態(tài)空間為可列集或有限集，且具有Markov性的隨機過程［11］，它可用數(shù)學語言表述為:在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機序列{X(t)，t∈T}，其中參數(shù)集 T={0，1，2，3…}，狀態(tài)空間 E={0，1，2，3…}。若 X(n)=i就說過程在時刻n處于狀態(tài)i。假設每當過程處于狀態(tài)i，則在下一時刻將處于狀態(tài)j的概率pij是固定的，即過程在下一時刻的狀態(tài)僅與當前的狀態(tài)有關，而與以前的狀態(tài)無關，這一過程稱為Markov過程，其中pij為一步轉移概率。Markov過程按其狀態(tài)和時間參數(shù)是連續(xù)的或離散的可以劃分為3類:

1)時間和狀態(tài)都是離散的Markov過程，也稱為Markov鏈。

2)時間連續(xù)、狀態(tài)離散的Markov過程，也稱純不連續(xù)的Markov過程。

3)時間和狀態(tài)都是連續(xù)的Markov過程。

本文所利用的Markov過程屬于第1種情況。由于逆向物流的特征很好地符合了Markov隨機過程，因此逆向物流的過程是一個比較理想的Markov過程，可以用Markov過程的相關理論對逆向物流系統(tǒng)的回收量進行預測。在利用Markov過程進行回收量預測時最關鍵的是確定產(chǎn)品的狀態(tài)轉移概率，一般可從企業(yè)長期收集的產(chǎn)品回收數(shù)據(jù)中總結提煉出產(chǎn)品各狀態(tài)間的轉移概率。轉移概率與產(chǎn)品的工藝和質量密切相關，這種概率在長期內是穩(wěn)定的，所以這種方法比較適用于技術成熟的產(chǎn)品的回收預測。在已知狀態(tài)轉移概率后即可對回收量進行預測。

2 廢棄產(chǎn)品回收量預測

本文研究單一產(chǎn)品的回收量預測問題。假設產(chǎn)品的生命周期等分為4個階段，每階段時間長度為t，在同一時間處于各個狀態(tài)的產(chǎn)品市場上都有，廠商每隔時間t會對市場上需要回收的產(chǎn)品進行回收，不需要回收的產(chǎn)品直接進入生命周期的下一階段，回收的產(chǎn)品經(jīng)維修后會有一定的廢棄率和一定的維修率，且維修后產(chǎn)品與新產(chǎn)品無異，在下一階段會以全新產(chǎn)品的形式進入市場。產(chǎn)品的狀態(tài)間存在如圖1所示的轉換關系。

圖1 產(chǎn)品的狀態(tài)轉換Markov鏈示意圖

圖1中 si(i=1，…，5)為產(chǎn)品不同的狀態(tài)，其中s1為全新狀態(tài)，s5為廢棄狀態(tài)，即不可再利用的狀態(tài)。處在狀態(tài)s1的產(chǎn)品經(jīng)過時間t后需要回收的概率為1－p1，其中可修復的概率為p5，廢棄的概率為1－p1－p5，其余產(chǎn)品狀態(tài)經(jīng)過時間t后轉換概率如圖1所示。當產(chǎn)品處在狀態(tài)s5時，表示產(chǎn)品已經(jīng)報廢不可再利用。狀態(tài)s5到達了吸收態(tài)，也就是產(chǎn)品一旦到達該狀態(tài)便被“吸住”不再轉移。所以對圖1所示的產(chǎn)品狀態(tài)的轉移概率矩陣可表示為

用pij表示矩陣P的第i行第j列的元素，則pij表示產(chǎn)品由狀態(tài)si經(jīng)過時間t后轉移到sj的概率，且

2.1 回收預測條件假設

1)廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品有一定的使用壽命。

2)每隔時間t記為一期，廠商在每一期期末對市場上需要回收的產(chǎn)品進行回收，回收再制造后的產(chǎn)品與新產(chǎn)品無異，即產(chǎn)品進入狀態(tài)s1，且在下一期進入市場。

3)每一期始點處市場需要的產(chǎn)品數(shù)量已知，且全部被滿足。若在上一期期末回收的產(chǎn)品滿足不了市場的需求，廠商將投放一批新生產(chǎn)的產(chǎn)品;若上一期期末回收的產(chǎn)品大于市場的需求量，廠商可以自行決定對多余的再制造產(chǎn)品的處理方法。

2.2 廢棄產(chǎn)品回收量預測

假設企業(yè)首次使用本模型時市場中處于各種狀態(tài)的產(chǎn)品數(shù)量用行向量表示為，在第 k(k=1，2，…)期期初市場的需求量為qk，在第k(k=1，2，…)期期末經(jīng)企業(yè)回收后修復成全新產(chǎn)品的數(shù)量為，則在第k(k=1，2，…)期期初企業(yè)需要生產(chǎn)的新產(chǎn)品數(shù)量為若，則企業(yè)需要投放一批新產(chǎn)品;若，則說明企業(yè)在上一期期末經(jīng)回收后再制造的產(chǎn)品數(shù)量大于市場的實際需求量。=(，0，0，0，0)第 1 個數(shù)字是的一維行向量。有了上述符號的定義及狀態(tài)轉移概率矩陣可得產(chǎn)品的狀態(tài)轉移方程:

由式(2)可得第k期需要回收的產(chǎn)品數(shù)量為

其中報廢的數(shù)量為

將式(5)代入式(1)得到第k期時市場上各種狀態(tài)的產(chǎn)品數(shù)量的行向量

由式(3)～(5)即可得到企業(yè)在每一期需要回收的產(chǎn)品數(shù)量、報廢的產(chǎn)品數(shù)量和需要生產(chǎn)的新產(chǎn)品數(shù)量。

3 實例分析

假設企業(yè)在進行預測的期初市場中處于各種狀態(tài)的產(chǎn)品數(shù)量為 (2 000，4 500，5 000，6 000，0)，狀態(tài)轉移概率分別為(0.90，0.75，0.60，0.80，0.05，0.15，0.25)，市場在每一期開始時需要的產(chǎn)品數(shù)量分別為 2 000、4 500、5 500、5 000、4 500、4 200。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，可以預測在第5期期末企業(yè)需要回收的產(chǎn)品數(shù)量、報廢的產(chǎn)品數(shù)量和第6期是否需要生產(chǎn)全新產(chǎn)品及其生產(chǎn)量。首先根據(jù)給出的狀態(tài)轉移概率可得產(chǎn)品的狀態(tài)轉移概率矩陣

把數(shù)據(jù)帶入式(6)，使用Matlab編程計算得到在第5期市場中各種狀態(tài)的產(chǎn)品數(shù)量為:(4 500，4 500，3 712.5，1 822.5，16 023.38)，所以由式(3)得第5期需要回收的數(shù)量為 4 882.5，由式(4)得報廢的數(shù)量為2 689.88，由式(5)得第6期需要生產(chǎn)的數(shù)量為2 007.38。

4 結束語

逆向物流中產(chǎn)品回收數(shù)量的不確定性對產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃、庫存管理與回收網(wǎng)絡的建立都有重要的影響。本文應用Markov鏈把產(chǎn)品的狀態(tài)數(shù)量和時間的預測有機地結合在一起，實現(xiàn)了對逆向物流回收量的預測。

［1］Thierry M，Salomon，van Nunen J A，et al.Strategic Issues in Product Recovery Management［J］.California Management Review，1995，37(2):114 －135.

［2］Toktay L B，Wein L M，Zenios S A.Inventory Management of Remanufacturable Products［J］.Management Science，2000，46(11):1412 －1426.

［3］Bayindiret Z，Nesim Erkip，Refik G.A Model to Evaluate Inventory Cost in a Remanufacturing Environment［J］.International Journal of Production Economics，2003，81/82:597－ 607.

［4］謝家平，吉少華.基于隨機網(wǎng)絡的廢棄產(chǎn)品回收預測模型［J］.當代經(jīng)濟管理，2008(2):40－43.

［5］趙鵬，雷濤.基于灰色系統(tǒng)理論的汽車報廢量預測［J］.工業(yè)技術經(jīng)濟，2011(4):31 －35.

［6］劉文杰 ，方志耕.IGM(1，1)－TNF模型在產(chǎn)品回收預測的應用［J］.控制理論與應用，2007(3):459－464.

［7］White D J.A Survey of Applications of Markov Decision Processes［J］.The Journal of the Operational Research Society，1993，44(11):1073 － 1096.

［8］Chinget W K.An Inventory Model with Returns and Lateral Transshipments［J］.Journal of the Operational Research Society，2003，54:636 － 641.

［9］于洋，楊學斌.基于灰色馬爾可夫鏈改進方法的預測方法［J］.統(tǒng)計與決策，2008(13):53 －55.

［10］謝家平，葛夫財.基于Markov鏈的逆向物流回流預測［J］.科技進步與對策，2007(10):37 －40.

［11］劉金甫，孫洪祥，王軍.應用隨機過程［M］.北京:清華大學出版社，2006.

［11］陳冬梅，邱屹峰，逄兆勇.基于逆向物流的城市固體廢棄物回收［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2008(4):398－402.