隨機需求下易變質(zhì)產(chǎn)品的訂購與定價策略

蘭德新，趙 萌

(武夷學院數(shù)學與計算機系，福建武夷山 354300)

在過去的幾十年里，已有不少研究者致力于擴展經(jīng)典的EOQ模型到包含易變質(zhì)的情形。例如Ghere和 Schrader［1］通過考慮常數(shù)變質(zhì)而給出了一個簡單的 EOQ 模型，Covert和 Philip［2］以及 Tadikamalla［3］通過考慮變化的變質(zhì)率而進一步擴展Ghere和Schrader的模型，Shah通過使用具有一般分布的變質(zhì)率并允許短缺而將所有這些模型進行一般化。許多文獻對允許缺貨、短缺量部分拖后問題做了研究，如文獻［4－5］考慮變質(zhì)、短缺量部分拖后等因素，建立了單一產(chǎn)品的訂價和批量的庫存模型。文獻［6－7］研究了允許缺貨且?guī)?shù)量折扣的腐爛物質(zhì)庫存模型。但在實際的庫存系統(tǒng)中，許多學者考慮了需求是隨機變量的問題，如文獻［8－9］考慮一類需求連續(xù)隨機變質(zhì)物品的庫存模型。文獻［10］采用周期盤點的(T，S)策略，在需求為連續(xù)型隨機變量，提前期為0，缺貨量完全延期供給且變質(zhì)率為常數(shù)的情形下，研究了易變質(zhì)產(chǎn)品的訂購策略。

本文將在上述文獻的基礎(chǔ)上同時考慮拖后率和隨機因素的這類問題，即:當產(chǎn)品發(fā)生連續(xù)變質(zhì)時，變質(zhì)率θ為固定常數(shù);需求率為連續(xù)型隨機變量并受產(chǎn)品的銷售價格的影響;允許缺貨，缺貨部分延期供給，拖后率是β(t)=e－kt，k＞0，t是等待時間。最后給出了最優(yōu)的訂購與定價策略。

1 數(shù)學模型的刻畫

考慮一類無限時間范圍內(nèi)，隨機需求下缺貨部分延期補給的易變質(zhì)產(chǎn)品的庫存優(yōu)化模型。采用周期盤點的(T，S)庫存策略，即每隔相同的訂購周期長T，將庫存水平瞬時補充到S。

圖1描述系統(tǒng)的庫存水平的變化狀態(tài)，系統(tǒng)從0時刻開始運作，并且假定0時刻庫存水平為S，此后產(chǎn)品以一定的速率連續(xù)出售，需求率，其中:p為單位產(chǎn)品的銷售價格;X表示隨機波動量，服從Gamma－分布Γ(λ，k)且λ＞0，k≥2;μ表示X的均值;d(p)=a－bp(其中a代表產(chǎn)品的市場基礎(chǔ))表示單位時間內(nèi)的期望需求量，是p的單調(diào)遞減函數(shù)。由于連續(xù)的需求和產(chǎn)品自身的變質(zhì)使得庫存水平不斷下降，最終假定在τ時刻，庫存水平下降到0;在τ時刻后，繼續(xù)到來的需求量拖后補給，拖后率是 β(t)=e－kt，k ＞0，t是等待時間。

圖1 產(chǎn)品的庫存水平變化曲線

令I(lǐng)x(t)為t時刻且隨機變量X的實現(xiàn)為x時的庫存水平，可以得到微分方程:

由邊界條件Ix(0)=S及Ix(τ)=0求解微分方程(1)及(2)得:

再由式(3)及邊界條件Ix(τ)=0可得

假設(shè)購買單位產(chǎn)品所需的可變訂購成本為c，單位產(chǎn)品在單位時間內(nèi)的庫存成本為h，單位產(chǎn)品的缺貨成本為π，單位產(chǎn)品丟單成本為p－π，則系統(tǒng)在［0，T］時間內(nèi)各項費用計算如下:

1)總的期望收益

2)期望訂購成本

3)期望庫存成本

4)期望缺貨成本和丟單成本

綜上，庫存系統(tǒng)總的期望利潤函數(shù)可表述為:

總期望利潤=總期望收益－(期望訂購成本+期望庫存成本+期望缺貨成本+期望丟單成本)即

本文的庫存模型為

2 模型分析

模型(7)是帶約束條件的非線性規(guī)劃問題，本研究的目標是尋找p，s的值，使得庫存系統(tǒng)總的期望利潤NP(p，s)最大?？紤]到模型(6)的積分計算相當復雜，而實際應用中變質(zhì)率0＜θ＜＜1，參數(shù)0＜k＜＜1，因此可以保證當x＞q時有，這樣式(6)采用近似計算，對結(jié)果影響不太大。由式(6)得

對式(8)的項 e－kT和 e－θT利用泰勒展開，并保留3項，化簡得:

將式(9)中的變量p，s替換為p，q，即得如下形式:

即

將式(11)代人(10)得

故

因為f(x)是Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0和k≥2)的密度函數(shù)，所以式(13)可以化為k次多項式方程，利用Matlab軟件求k次多項式方程(13)的正的近似解且 r≤k。將代人式(11)求出滿足的且 r≤k。比較 NP(pi*，qi*)的大小使NP(pi*，qi*)取得最大的NP(p*，q*)，再與邊界上條件p=c和代人式(10)求得目標函數(shù)值最優(yōu)的NP(c，q1)和進行比較，并取得最大的解(p*，q*)，對應的(p*，s*)即為模型(7)的最優(yōu)策略。

3 算法與算例仿真

步驟1 模型，即式(10)對p求偏導，并令為，代人式(10)得

由于方程中的f(x)是Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0，k≥2)的密度函數(shù)，所以上述方程可化為k次多項式方程，利用Matlab軟件求k次多項式方程的正的近似解，i，1，2，…，r且 r≤k。將代人式(11)求出滿足的且 r≤k。比較的大小使取得最大的NP(p*，q*)。

步驟3 比較目標函數(shù)值NP(p*，q*)與邊界上目標函數(shù)值最優(yōu)的NP(c，q1)和，其中使目標函數(shù)值NP(p，q)達到最大的(p*，q*)對應的(p*，s*)即為模型的最優(yōu)訂購策略。

為了便于驗證和說明此庫存系統(tǒng)的模型，本文給出模型中涉及到的隨機變量X的概率密度函數(shù)和各種參數(shù)的取值，設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

參數(shù) T=10，c=100，θ=0.01，k=0.02，π =80，h=20，d(p)=500 －0.5p，經(jīng)過計算式(13)化為

其近似解q*≈3.795，將q*≈3.795代入式(11)得方程:

其近似解 p*=522.387 33，此時對應的 s*=4 765.485，NP(p*，q*)=1 149 879.21。

而邊界上目標函數(shù)值NP(100，q1)和 NP(1 000，q2)均小于NP(p*，q*)，通過比較我們得到最優(yōu)訂購策略(p*，s*)=(522.387 33，4 765.485)。

4 結(jié)束語

本文針對隨機波動量為一類Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0，k≥2)時，且短缺量部分拖后的情形下，建立了單一易變質(zhì)產(chǎn)品的隨機庫存模型。庫存策略為周期盤點的(T，S)策略。采用最小二乘法原理以及泰勒展開對模型進行了分析和近似求解，給出求解其最優(yōu)的訂購策略的算法步驟，并給出算例進行仿真，得到了訂購的近似最優(yōu)策略(p*，s*)。還可以考慮庫存策略為連續(xù)盤點的(T，S)策略，以及隨機波動量為一般分布及需求率為一般函數(shù)的情況和庫存策略為周期盤點的(s，S)策略等進行研究。

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