用于縱向道路附著系數(shù)評估的簡化輪胎模型

邊明遠(yuǎn)

(清華大學(xué)汽車安全與節(jié)能國家重點實驗室，北京 100084)

汽車的運動依賴于車輪所受到的路面作用力(力矩)，所有這些路面作用力(力矩)都是車輪滑移(轉(zhuǎn))率、側(cè)偏角、車輪載荷、道路附著系數(shù)以及車身速度等反映地面及車輛動力學(xué)狀態(tài)的參量的函數(shù)。地面－車輛力學(xué)模型研究的目的在于有效而精確地揭示路面與輪胎界面之間的力學(xué)狀態(tài)和規(guī)律，適當(dāng)?shù)乇硎錾鲜龈鲄⒘恐g的函數(shù)關(guān)系。為實時掌握車輛力學(xué)狀態(tài)，探索地面與輪胎間縱向附著系數(shù)與車輪滑移率、車速等其他車輛的動力學(xué)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系就顯得至關(guān)重要。

對于道路附著狀況的評估主要有2種方式:一是通過試驗儀器測量，二是利用數(shù)學(xué)模型進行評估。通過儀器測定道路附著系數(shù)的試驗存在可重復(fù)性差、成本高及影響因素多等問題［1］，所以，近年來有關(guān)用數(shù)學(xué)模型計算、評估道路實際附著系數(shù)的研究得到了長足的進步。車輛加速度、滑移率、側(cè)偏角等參量與附著系數(shù)的變化關(guān)系被以數(shù)學(xué)函數(shù)的方式更為精細(xì)地描述出來［2－6］。

輪胎模型的構(gòu)造一般分為物理模型和經(jīng)驗?zāi)Ｐ?種。物理模型對輪胎本身特性參數(shù)的依賴性較大，這些參數(shù)往往需要經(jīng)過試驗來獲得，這在一定程度上限制了它的應(yīng)用。鑒于此，采用經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛯Φ缆犯街禂?shù)評估的方法得到了廣泛應(yīng)用。

1 經(jīng)驗輪胎模型研究

與理論模型相對應(yīng)的是經(jīng)驗?zāi)Ｐ突虬虢?jīng)驗?zāi)Ｐ停@些模型通過對大量反映輪胎力特性的試驗數(shù)據(jù)進行分析，能將地面－輪胎之間的力學(xué)特性通過含有擬合參數(shù)的公式有效地表達出來。Pacejka的魔術(shù)公式是在汽車操縱動力學(xué)研究領(lǐng)域比較流行的公式，它用三角函數(shù)的組合公式擬合試驗輪胎數(shù)據(jù)，用一套形式相同的公式就可以完整地表達縱向力、橫向力、回正力矩以及縱向力和橫向力聯(lián)合作用等工況。該模型的一般表達形式為

其中:Y表示側(cè)向力、縱向力或回正力矩;X表示側(cè)偏角α或車輪滑移率S;D、C、B、E分別為確定曲線的峰值、形態(tài)、剛度、曲度等因素的參數(shù)，由車輛所處的行駛環(huán)境、車速、車輛載荷等因素來確定;Sv和Sh分別代表曲線在水平及垂直方向的漂移。

魔術(shù)公式基于大量的試驗數(shù)據(jù)擬合而成，對車輪縱向力、側(cè)向力等擬合精度較高。但它是由三角函數(shù)組合而成的復(fù)雜的非線性函數(shù)，而且該模型中需要確定的未知因子也較多，故計算量較大。

近年來，考慮到Pacejka等模型形式復(fù)雜、計算量較大等因素，以更簡單的方式描述車輪與地面間附著系數(shù)的數(shù)學(xué)模型的研究得到了一定的發(fā)展。雙線性的輪胎模型、非線性多項式模型、指數(shù)－線性多項式組合模型以及雙指數(shù)多項式模型等在道路縱向附著系數(shù)的評估中都有所應(yīng)用［1，7－9］?？偟膩碚f，這些模型在限定的工況下可以實現(xiàn)對道路附著系數(shù)的良好估計，但各自也都存在著一定的不足和局限性，魔術(shù)公式仍以其對輪胎力學(xué)特性的精確描述而成為車輛動力學(xué)仿真中參考的一個基準(zhǔn)。

2 基于魔術(shù)公式的簡化輪胎模型

魔術(shù)公式應(yīng)用的一個困難，是其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)所導(dǎo)致的較大的數(shù)學(xué)運算量;另外，魔術(shù)公式中含有4個待定的未知參數(shù)，在車輛動力學(xué)仿真過程中首先必須對這些參數(shù)進行確定。很多文獻中在一定的工況下(如一定路面狀況下)往往將這些參數(shù)作常數(shù)對待，不能實時捕捉道路附著系數(shù)隨車輛行駛狀態(tài)以及行駛環(huán)境等信息變化的規(guī)律。所以，作為一個準(zhǔn)靜態(tài)的計算模型，魔術(shù)公式在模擬車輪－地面力學(xué)界面的動態(tài)特性時有一定的局限性。

很多文獻對魔術(shù)公式中各因子的確定方法進行了研究。文獻［5］通過對試驗數(shù)據(jù)的擬合，將魔術(shù)公式中的B、C、D、E等參量描述為車速、車輪載荷、車輪側(cè)偏角、道路狀況等因素的函數(shù);文獻［10］通過最優(yōu)化的方式對魔術(shù)公式各因子的確定進行了探討，但忽略了各參量的動態(tài)特性，得到的僅是一組靜態(tài)解;文獻［11－12］通過增加2個附加的參數(shù)C1和C2來對不同路面狀況下魔術(shù)公式各因子的變化進行描述。在以上各方法中普遍用到了解多元方程組的手段，但由于魔術(shù)公式本身結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使得待解的多元三角函數(shù)方程組結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求解過程運算量大，不利于車輛動力學(xué)仿真中對道路附著系數(shù)的實時動態(tài)模擬。

本文在總結(jié)魔術(shù)公式的基礎(chǔ)上嘗試采用更簡單的方法對道路縱向附著系數(shù)進行評估。考慮道路附著系數(shù)隨車輪滑移率等因素產(chǎn)生非線性變化的規(guī)律，本文采用和魔術(shù)公式相似的正弦函數(shù)形式，提出一種如式(2)所示的描述車輪純縱滑工況下縱向道路附著系數(shù)的計算模型:

與魔術(shù)公式一樣，此模型中D、C、B分別為峰值因子、形狀因子和剛度因子，它們共同確定μ－S曲線的形狀和特征。峰值因子D是在一定工況下縱向附著系數(shù)的最大值μxp，相應(yīng)的車輪滑移率即為最佳車輪滑移率Sxm。通過對試驗數(shù)據(jù)的擬合，路面狀況是影響道路附著系數(shù)的一個主要因素，不同路面工況的差異都會導(dǎo)致縱向附著特征的不同，而最主要的影響在于道路的峰值附著系數(shù)以及相對應(yīng)的車輪滑移率。表1為幾種常見路面狀況下縱向的峰值附著系數(shù)以及對應(yīng)的最佳滑移率［5］。

表1 常規(guī)路面工況下的縱向附著特征

表1中表達附著特征的參數(shù)往往出現(xiàn)在一個范圍內(nèi)，這是因為這些參數(shù)除了與路面狀況有關(guān)之外，還與車速、車輪載荷等因素有關(guān)，某一工況下測量的峰值附著系數(shù)與最佳滑移率總是與該時刻的車速及載荷等參數(shù)相關(guān)聯(lián)。

文獻［1］通過綜合前人的研究成果以及對試驗數(shù)據(jù)的分析擬合，總結(jié)出各種道路工況及行駛條件下路面附著特征參數(shù)的公式為

特別規(guī)定:當(dāng)σ=1.2時，

式(2)的模型中雖然各參數(shù)的意義與魔術(shù)公式中相應(yīng)的因子意義相同，但由于該模型的形式與魔術(shù)公式有所差異，所以各因子的確定方法也不盡相同。根據(jù)以上的分析，有

根據(jù)式(6)有

在魔術(shù)公式中，當(dāng)用于求解縱向附著系數(shù)時，針對干燥的柏油路面，形狀因子C被賦予一個固定的常數(shù)值1.65。本文通過對各種路況車輪純縱滑狀態(tài)下μ－S曲線的基本現(xiàn)狀因子值C進行分析，擬合出C值的確定方法為

式中各參量意義同前文所述。

式(3)至式(8)即為任意行駛工況下如式(2)所示的簡化輪胎經(jīng)驗?zāi)Ｐ椭懈魑粗獏⒘恐档那蠼夥椒?。該模型將縱向道路附著系數(shù)表達為車輪滑移率、車輛行駛速度、車輪載荷、路面狀況等因素的非線性函數(shù)，有利于對車輪－路面力學(xué)界面的動態(tài)特性進行實時捕捉。

表2 常見路面的特征因子σ值

3 輪胎模型的擬合結(jié)果對比

用一輛輕型卡車在干燥的柏油路面上以64 km/h的初速進行制動試驗，采用不同的輪胎模型對試驗數(shù)據(jù)進行擬合，并將擬合結(jié)果進行對比，結(jié)果如圖1所示。圖2及圖3為本文提出的簡化輪胎模型與其他模型對干柏油路面工況的擬合結(jié)果比較。由對比結(jié)果可以看出:Pacejka的魔術(shù)公式對縱向附著系數(shù)的擬合結(jié)果最好，與試驗數(shù)據(jù)吻合良好;雙指數(shù)組合多項式模型在車輪滑移率值較大時線性化比較明顯，在一段區(qū)域內(nèi)與實際附著系數(shù)有所偏差。

本文提出的含有3個擬合參數(shù)的簡化三角函數(shù)模型擬合結(jié)果與實際試驗結(jié)果和魔術(shù)公式擬合結(jié)果比較接近，在車輪滑動的非穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)縱向道路附著系數(shù)隨車輪滑移率變化的非線性化趨勢較雙指數(shù)組合多項式模型更明顯，因而可以更好地表述輪胎與路面的附著變化特征。與魔術(shù)公式相比，該模型需要擬合的參數(shù)較少，結(jié)構(gòu)較為簡單，計算量也較小，能夠?qū)崟r反映輪胎與地面間附著系數(shù)的變化，具有較好的實用性。圖4顯示了用本文提出的簡化模型擬合出的不同路面狀況下縱向附著系數(shù)變化特征。

4 結(jié)束語

在車輛實際行駛過程中，車輛的動力學(xué)參數(shù)處于實時變化的狀態(tài)，描述地面附著性能的輪胎模型必須要能夠捕捉這些變化，并將它們對縱向附著力產(chǎn)生的影響細(xì)致地表達出來。本文提出的帶有3個參數(shù)的簡化輪胎模型以更簡單的方式將車輪與路面間縱向的附著系數(shù)實時表述為路況、車速、載荷以及車輪滑移(滑轉(zhuǎn))狀況的非線性函數(shù)，不但能夠隨時掌握縱向附著系數(shù)的變化，而且也能夠?qū)崟r掌握任一路況條件下附著特征參數(shù)的變化。該模型引入路況因子概念，并據(jù)此對常見路面情況進行劃分歸類，避免了其他模型中針對一種路況就需要一個擬合公式的弊端，采用一個公式就可以對多種路面附著情況進行模擬，提高了模型的通用性。對試驗數(shù)據(jù)的擬合分析證明該模型是有效的。

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