單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的指數(shù)趨近律滑?？刂?/h1>
2012-06-02 09:31:08宋榮榮
重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)) 2012年1期 關(guān)鍵詞：系統(tǒng)設(shè)計(jì)
宋榮榮
(1.西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都 610031;2.西南民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，成都 610041)
磁浮控制技術(shù)能夠使懸浮物與支承面實(shí)現(xiàn)無接觸懸浮，具有無摩擦、噪聲低、污染小等優(yōu)點(diǎn)，因而被廣泛應(yīng)用在磁懸浮軸承、磁懸浮工作臺、磁懸浮隔振器，特別是磁懸浮列車上，這使得該技術(shù)受到國內(nèi)外專家和學(xué)者的廣泛關(guān)注［1］。一般來說，磁浮控制方法主要包括線性控制［2］和非線性控制［3］。目前，很多國內(nèi)外專家學(xué)者對磁浮系統(tǒng)的滑模控制產(chǎn)生了濃厚的興趣［4］。
線性控制主要是通過將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)采用泰勒定理展開，用近似的線性結(jié)構(gòu)代替非線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行懸浮控制。Matsuda R［5］研究了多電磁鐵懸浮系統(tǒng)的線性化問題，并設(shè)計(jì)了一種反饋控制器。由于軌道具有不平順的隨機(jī)性，Hac A［6］設(shè)計(jì)了一種預(yù)見控制器，該控制器對線性懸浮系統(tǒng)的運(yùn)行平穩(wěn)性、外干擾和工作狀態(tài)具有良好的預(yù)見性。Trumper D L［7］提出了一種系統(tǒng)線性化的方法，利用線性和非線性2種控制器對系統(tǒng)進(jìn)行仿真比較。為了實(shí)現(xiàn)故障檢測，在傳統(tǒng)Luenberger觀測器的基礎(chǔ)上，Koseki T［8］對系統(tǒng)的線性化模型提出了一種Luenberger魯棒故障檢測觀測器的設(shè)計(jì)方法以及相應(yīng)的故障檢測算法，并給出了在外干擾存在的情況下，實(shí)現(xiàn)魯棒故障檢測觀測器設(shè)計(jì)的充分必要條件。然而，這些控制方法只能使系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近具有良好的性質(zhì)，在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)處，系統(tǒng)將處于不穩(wěn)定狀態(tài)。
磁浮系統(tǒng)是一種典型的非線性、不確定性開環(huán)系統(tǒng)。傳統(tǒng)的控制方法無法解決非線性部分的控制問題，所以目前國際上有很多專家學(xué)者都在研究懸浮系統(tǒng)的非線性控制方法，例如H∞魯棒控制、數(shù)控技術(shù)、狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制等，這些控制方法對于解決磁浮系統(tǒng)的非線性和不確定性有著良好的效果［9－13］。
在眾多的控制方法中，滑?？刂茖?nèi)部參數(shù)的變動和外部擾動具有完全的自適應(yīng)性，這一優(yōu)點(diǎn)已引起專家學(xué)者的極大興趣，使其得到巨大發(fā)展和廣泛應(yīng)用。多年以來，許多學(xué)者將這項(xiàng)技術(shù)應(yīng)用到懸浮控制技術(shù)中。針對3種模式下的靜電懸浮系統(tǒng)，Yang W Q等［14］設(shè)計(jì)了滑?？刂破鳎抡嫜芯勘砻?，該控制器提供了一個保證系統(tǒng)良好性能的預(yù)載荷。對于懸浮系統(tǒng)，Mohan B［15］結(jié)合最優(yōu)控制和自適應(yīng)控制算法設(shè)計(jì)了一個滑?？刂破?，該控制器能夠保證系統(tǒng)在外干擾和系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生改變時保持良好的性能，但是不能有效消除抖振現(xiàn)象。抖振問題的確是滑?？刂频囊粋€缺點(diǎn)，這成為影響滑?？刂瓢l(fā)展的主要原因。對于一個帶有積分結(jié)構(gòu)的線性系統(tǒng)，楊普等［16］采用指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)了滑?？刂破?，給出了抖振幅度、周期和趨近律參數(shù)、控制量的變化率之間的定量關(guān)系，從而有效地控制系統(tǒng)的抖振問題?；谝陨衔墨I(xiàn)，本文將滑?？刂萍夹g(shù)應(yīng)用到單電磁鐵的懸浮控制中，并采用指數(shù)趨近律有效地解決了該系統(tǒng)的抖振問題。
本文先給出磁場力的一種非線性結(jié)構(gòu)，通過控制電流，將該系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為二階非線性系統(tǒng)。然后，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程，設(shè)計(jì)了一個具有防抖振現(xiàn)象的動態(tài)滑?？刂破鳌Ｗ詈?，基于Matlab軟件進(jìn)行了仿真。結(jié)果表明，該控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能和較強(qiáng)的魯棒性。
1 單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程
在單電磁鐵懸浮系統(tǒng)中，磁鐵懸浮在電壓控制的磁場中，所以系統(tǒng)可以通過控制器控制電流，從而控制電壓，使磁鐵懸浮在設(shè)定的平衡點(diǎn)處。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。
圖1 單電磁鐵懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)
圖1中:φT為主極磁通;φm為氣隙磁通;φL為漏磁通;Mg為電磁鐵重力;fd為外界干擾力;F(i，c)為電磁吸力;z(t)為磁極表面與參考平面的距離;h(t)為導(dǎo)軌表面參考平面的距離;c(t)為磁極與導(dǎo)軌間的氣隙;i(t)為控制線圈的電流;u(t)為繞組回路的電壓。
在分析單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的動力學(xué)模型時，假設(shè)［17］:
① 忽略漏磁通 φL，即 φm=φT。
②電磁鐵磁路中鐵磁材料的磁導(dǎo)率無窮大(忽略鐵芯和導(dǎo)軌中的磁阻)，磁勢均勻降落在氣隙上。
③電磁鐵僅有垂直方向上的移動，其他方向受限，無運(yùn)動。
設(shè)電磁鐵懸浮位置為c，控制電流為i，兩者之間的關(guān)系如表1。
表1 c與i的關(guān)系
電磁鐵受到的磁場力F與c和i有關(guān)，可用下式表示:
式中a2、a1、a0為待定系數(shù)。利用最小二乘法擬合曲線，由 表 1 可 得 a2=0.019 5，a1=－0.182 7，a0=0.133 8。
根據(jù)電磁場理論，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為
選取系統(tǒng)狀態(tài)變量為x1(t)=c(t)，x2(t)=，那么單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為
設(shè) x0=(x10，x20)=(x10，0)為系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的狀態(tài)值，系統(tǒng)輸出y=x1－x10，由式(1)可得輸入輸出關(guān)系¨y=a+f(x)·i2(t)。這樣，就建立了單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程。
2 滑?？刂破?/h2>
滑?？刂撇皇且环N分析方法，而是一種綜合方法，因此，其重點(diǎn)就是系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題［22］。
設(shè)計(jì)問題有2個:① 選擇切換函數(shù) s(x);②求取控制u±(x)。設(shè)計(jì)的目標(biāo)有3個，即滑?？刂频娜?進(jìn)入條件;存在條件;穩(wěn)定條件。
可得系統(tǒng)在滑模區(qū)的等效控制
將ieq代人系統(tǒng)表達(dá)式(1)，可得滑模運(yùn)動方程
那么，等效的滑模運(yùn)動方程可寫為
其中參數(shù)c1、c2滿足 Hurwitz多項(xiàng)式 p(s)=s2+c1s+c2的要求，這樣就可使得滑模運(yùn)動漸近穩(wěn)定。
利用式(1)，可以將切換函數(shù)改寫為s=a+fi2+c1x2+c2(x1－x10)。采用指數(shù)趨近律－w*sign(s)－Ks的控制策略，則得控制電流:
當(dāng)切換函數(shù)s趨近于零時，輸出y=x1－x10可以通過方程得到。因?yàn)閰?shù)c1、c2滿足Hurwitz多項(xiàng)式p(s)=s2+c1s+c2的要求，所以輸出y趨近于零，這樣x2也將趨近于零。通過滑?？刂?，就可以保證系統(tǒng)中的單電磁鐵到達(dá)期望的位置。
3 Matlab仿真分析
對于單電磁鐵懸浮系統(tǒng)，選擇參數(shù)為:采樣周期為0.01 s，重力加速度g=9.8 m/s2，電磁鐵質(zhì)量m=98.4 g，氣隙的初始位置x10=3.2 mm?；？刂破鲄?shù)為:w=5 000，c1=61，c2=930，K=10 000。對上面的模型用 Matlab進(jìn)行仿真［19］，仿真結(jié)果如圖2所示。
圖2 滑?？刂频臍庀俄憫?yīng)曲線
由圖2可知，對于磁懸浮系統(tǒng)，基于指數(shù)趨近律的滑?？刂破鞯妮敵鲰憫?yīng)過渡過程很短，能夠快速到達(dá)期望位置，滑?？刂破鞯妮敵鲭娏骷s為0.93，驗(yàn)證了控制器的準(zhǔn)確性。
為檢驗(yàn)采用滑模控制后系統(tǒng)的魯棒性，作如下仿真分析:
1)設(shè)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生改變，電磁鐵質(zhì)量m=50 g，氣隙的初始位置x10=4.2 mm，氣隙變化如圖3所示。
圖3 內(nèi)部參數(shù)發(fā)生改變后的氣隙響應(yīng)曲線
由圖3可知，系統(tǒng)在滑?？刂破鞯目刂谱饔孟拢皇軆?nèi)部參數(shù)改變的影響，仍保持良好的動態(tài)特性。
2)假設(shè)外干擾力fd增大為電磁鐵質(zhì)量的3倍時，氣隙變化如圖4所示。
圖4 外干擾力fd增大為電磁鐵質(zhì)量3倍時的氣隙響應(yīng)曲線
3)當(dāng)軌道振動變化大小為1 mm時，不同頻率對系統(tǒng)氣隙變化的影響情況如圖5所示。
圖5 不同頻率對氣隙響應(yīng)曲線的影響
仿真結(jié)果表明，當(dāng)軌道變化頻率為1 Hz時，氣隙響應(yīng)曲線變化幅值約為0.001 mm;當(dāng)軌道變化頻率為50 Hz時，氣隙響應(yīng)曲線變化幅值約為0.004 mm。
4)采用等速趨近律˙s=－w*sign(s)進(jìn)行仿真比較，系統(tǒng)的氣隙響應(yīng)曲線出現(xiàn)明顯的抖振現(xiàn)象，如圖6所示。
從仿真結(jié)果可以看出:圖6(a)表明基于等速趨近律的滑?？刂破鞯姆抡媲€中很明顯存在著一些抖振現(xiàn)象;而圖6(b)表明基于指數(shù)趨近律的滑?？刂破鞯姆抡媲€減弱了系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，說明該控制器能夠有效地解決系統(tǒng)的抖振問題。
圖6 兩種不同趨近律的氣隙響應(yīng)曲線
4 結(jié)論
1)分析了傳統(tǒng)滑?？刂破鞅仨毧紤]的問題:到達(dá)條件，滑模面存在條件，滑模面的設(shè)計(jì)，穩(wěn)定性條件。針對單電磁鐵懸浮系統(tǒng)進(jìn)行了改進(jìn)的滑模控制器設(shè)計(jì)，即采用指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)滑模控制器，在采樣周期為0.01 s的情況下，該系統(tǒng)在滑?？刂破鞯淖饔孟履軌蜉^快收斂到期望的穩(wěn)定位置，并保持穩(wěn)定性。這說明該控制器具有較快的收斂性。
2)對于周期性的高頻和低頻干擾或是脈沖干擾，基于指數(shù)趨近律的滑?？刂破鞫急憩F(xiàn)了很好的魯棒性，不僅響應(yīng)時間短，而且氣隙響應(yīng)曲線幾乎沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。總之，該系統(tǒng)對內(nèi)部參數(shù)變化和外部干擾具有較強(qiáng)的魯棒性。
3)對滑?？刂品椒ㄖ写嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象進(jìn)行了仔細(xì)分析，并采用了2種控制率對該系統(tǒng)進(jìn)行了仿真比較。當(dāng)采用等速趨近律設(shè)計(jì)滑?？刂破鲿r，該系統(tǒng)很明顯出現(xiàn)較強(qiáng)的抖振現(xiàn)象。與之相比，采用指數(shù)趨近律的控制器能夠有效地防止抖振現(xiàn)象。
4)一個理論必須在實(shí)踐中得到成功的應(yīng)用才能推動其不斷完善和向前發(fā)展，滑模控制理論也是一樣，今后應(yīng)該更多考慮如何將其和其他的非線性控制方法結(jié)合，更好地應(yīng)用到磁懸浮控制中去。
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宋榮榮
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線性控制主要是通過將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)采用泰勒定理展開，用近似的線性結(jié)構(gòu)代替非線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行懸浮控制。Matsuda R［5］研究了多電磁鐵懸浮系統(tǒng)的線性化問題，并設(shè)計(jì)了一種反饋控制器。由于軌道具有不平順的隨機(jī)性，Hac A［6］設(shè)計(jì)了一種預(yù)見控制器，該控制器對線性懸浮系統(tǒng)的運(yùn)行平穩(wěn)性、外干擾和工作狀態(tài)具有良好的預(yù)見性。Trumper D L［7］提出了一種系統(tǒng)線性化的方法，利用線性和非線性2種控制器對系統(tǒng)進(jìn)行仿真比較。為了實(shí)現(xiàn)故障檢測，在傳統(tǒng)Luenberger觀測器的基礎(chǔ)上，Koseki T［8］對系統(tǒng)的線性化模型提出了一種Luenberger魯棒故障檢測觀測器的設(shè)計(jì)方法以及相應(yīng)的故障檢測算法，并給出了在外干擾存在的情況下，實(shí)現(xiàn)魯棒故障檢測觀測器設(shè)計(jì)的充分必要條件。然而，這些控制方法只能使系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近具有良好的性質(zhì)，在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)處，系統(tǒng)將處于不穩(wěn)定狀態(tài)。
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本文先給出磁場力的一種非線性結(jié)構(gòu)，通過控制電流，將該系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為二階非線性系統(tǒng)。然后，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程，設(shè)計(jì)了一個具有防抖振現(xiàn)象的動態(tài)滑?？刂破鳌Ｗ詈?，基于Matlab軟件進(jìn)行了仿真。結(jié)果表明，該控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能和較強(qiáng)的魯棒性。
1 單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程
在單電磁鐵懸浮系統(tǒng)中，磁鐵懸浮在電壓控制的磁場中，所以系統(tǒng)可以通過控制器控制電流，從而控制電壓，使磁鐵懸浮在設(shè)定的平衡點(diǎn)處。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。
圖1 單電磁鐵懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)
圖1中:φT為主極磁通;φm為氣隙磁通;φL為漏磁通;Mg為電磁鐵重力;fd為外界干擾力;F(i，c)為電磁吸力;z(t)為磁極表面與參考平面的距離;h(t)為導(dǎo)軌表面參考平面的距離;c(t)為磁極與導(dǎo)軌間的氣隙;i(t)為控制線圈的電流;u(t)為繞組回路的電壓。
在分析單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的動力學(xué)模型時，假設(shè)［17］:
① 忽略漏磁通 φL，即 φm=φT。
②電磁鐵磁路中鐵磁材料的磁導(dǎo)率無窮大(忽略鐵芯和導(dǎo)軌中的磁阻)，磁勢均勻降落在氣隙上。
③電磁鐵僅有垂直方向上的移動，其他方向受限，無運(yùn)動。
設(shè)電磁鐵懸浮位置為c，控制電流為i，兩者之間的關(guān)系如表1。
表1 c與i的關(guān)系
電磁鐵受到的磁場力F與c和i有關(guān)，可用下式表示:
式中a2、a1、a0為待定系數(shù)。利用最小二乘法擬合曲線，由 表 1 可 得 a2=0.019 5，a1=－0.182 7，a0=0.133 8。
根據(jù)電磁場理論，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為
選取系統(tǒng)狀態(tài)變量為x1(t)=c(t)，x2(t)=，那么單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為
設(shè) x0=(x10，x20)=(x10，0)為系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的狀態(tài)值，系統(tǒng)輸出y=x1－x10，由式(1)可得輸入輸出關(guān)系¨y=a+f(x)·i2(t)。這樣，就建立了單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程。
2 滑?？刂破?/h2>
滑?？刂撇皇且环N分析方法，而是一種綜合方法，因此，其重點(diǎn)就是系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題［22］。
設(shè)計(jì)問題有2個:① 選擇切換函數(shù) s(x);②求取控制u±(x)。設(shè)計(jì)的目標(biāo)有3個，即滑?？刂频娜?進(jìn)入條件;存在條件;穩(wěn)定條件。
可得系統(tǒng)在滑模區(qū)的等效控制
將ieq代人系統(tǒng)表達(dá)式(1)，可得滑模運(yùn)動方程
那么，等效的滑模運(yùn)動方程可寫為
其中參數(shù)c1、c2滿足 Hurwitz多項(xiàng)式 p(s)=s2+c1s+c2的要求，這樣就可使得滑模運(yùn)動漸近穩(wěn)定。
利用式(1)，可以將切換函數(shù)改寫為s=a+fi2+c1x2+c2(x1－x10)。采用指數(shù)趨近律－w*sign(s)－Ks的控制策略，則得控制電流:
當(dāng)切換函數(shù)s趨近于零時，輸出y=x1－x10可以通過方程得到。因?yàn)閰?shù)c1、c2滿足Hurwitz多項(xiàng)式p(s)=s2+c1s+c2的要求，所以輸出y趨近于零，這樣x2也將趨近于零。通過滑?？刂?，就可以保證系統(tǒng)中的單電磁鐵到達(dá)期望的位置。
3 Matlab仿真分析
對于單電磁鐵懸浮系統(tǒng)，選擇參數(shù)為:采樣周期為0.01 s，重力加速度g=9.8 m/s2，電磁鐵質(zhì)量m=98.4 g，氣隙的初始位置x10=3.2 mm?；？刂破鲄?shù)為:w=5 000，c1=61，c2=930，K=10 000。對上面的模型用 Matlab進(jìn)行仿真［19］，仿真結(jié)果如圖2所示。
圖2 滑?？刂频臍庀俄憫?yīng)曲線
由圖2可知，對于磁懸浮系統(tǒng)，基于指數(shù)趨近律的滑?？刂破鞯妮敵鲰憫?yīng)過渡過程很短，能夠快速到達(dá)期望位置，滑?？刂破鞯妮敵鲭娏骷s為0.93，驗(yàn)證了控制器的準(zhǔn)確性。
為檢驗(yàn)采用滑模控制后系統(tǒng)的魯棒性，作如下仿真分析:
1)設(shè)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生改變，電磁鐵質(zhì)量m=50 g，氣隙的初始位置x10=4.2 mm，氣隙變化如圖3所示。
圖3 內(nèi)部參數(shù)發(fā)生改變后的氣隙響應(yīng)曲線
由圖3可知，系統(tǒng)在滑?？刂破鞯目刂谱饔孟拢皇軆?nèi)部參數(shù)改變的影響，仍保持良好的動態(tài)特性。
2)假設(shè)外干擾力fd增大為電磁鐵質(zhì)量的3倍時，氣隙變化如圖4所示。
圖4 外干擾力fd增大為電磁鐵質(zhì)量3倍時的氣隙響應(yīng)曲線
3)當(dāng)軌道振動變化大小為1 mm時，不同頻率對系統(tǒng)氣隙變化的影響情況如圖5所示。
圖5 不同頻率對氣隙響應(yīng)曲線的影響
仿真結(jié)果表明，當(dāng)軌道變化頻率為1 Hz時，氣隙響應(yīng)曲線變化幅值約為0.001 mm;當(dāng)軌道變化頻率為50 Hz時，氣隙響應(yīng)曲線變化幅值約為0.004 mm。
4)采用等速趨近律˙s=－w*sign(s)進(jìn)行仿真比較，系統(tǒng)的氣隙響應(yīng)曲線出現(xiàn)明顯的抖振現(xiàn)象，如圖6所示。
從仿真結(jié)果可以看出:圖6(a)表明基于等速趨近律的滑?？刂破鞯姆抡媲€中很明顯存在著一些抖振現(xiàn)象;而圖6(b)表明基于指數(shù)趨近律的滑?？刂破鞯姆抡媲€減弱了系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，說明該控制器能夠有效地解決系統(tǒng)的抖振問題。
圖6 兩種不同趨近律的氣隙響應(yīng)曲線
4 結(jié)論
1)分析了傳統(tǒng)滑?？刂破鞅仨毧紤]的問題:到達(dá)條件，滑模面存在條件，滑模面的設(shè)計(jì)，穩(wěn)定性條件。針對單電磁鐵懸浮系統(tǒng)進(jìn)行了改進(jìn)的滑模控制器設(shè)計(jì)，即采用指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)滑模控制器，在采樣周期為0.01 s的情況下，該系統(tǒng)在滑?？刂破鞯淖饔孟履軌蜉^快收斂到期望的穩(wěn)定位置，并保持穩(wěn)定性。這說明該控制器具有較快的收斂性。
2)對于周期性的高頻和低頻干擾或是脈沖干擾，基于指數(shù)趨近律的滑?？刂破鞫急憩F(xiàn)了很好的魯棒性，不僅響應(yīng)時間短，而且氣隙響應(yīng)曲線幾乎沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。總之，該系統(tǒng)對內(nèi)部參數(shù)變化和外部干擾具有較強(qiáng)的魯棒性。
3)對滑?？刂品椒ㄖ写嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象進(jìn)行了仔細(xì)分析，并采用了2種控制率對該系統(tǒng)進(jìn)行了仿真比較。當(dāng)采用等速趨近律設(shè)計(jì)滑?？刂破鲿r，該系統(tǒng)很明顯出現(xiàn)較強(qiáng)的抖振現(xiàn)象。與之相比，采用指數(shù)趨近律的控制器能夠有效地防止抖振現(xiàn)象。
4)一個理論必須在實(shí)踐中得到成功的應(yīng)用才能推動其不斷完善和向前發(fā)展，滑模控制理論也是一樣，今后應(yīng)該更多考慮如何將其和其他的非線性控制方法結(jié)合，更好地應(yīng)用到磁懸浮控制中去。
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