兩種形式的豎曲線計(jì)算方法及結(jié)果分析

黃慶祥

(山西省交通科學(xué)研究院，山西太原 030006)

0 引言

公路路線縱斷面為沿道路中線豎直剖切后的展開(kāi)線，在縱斷面的縱坡變更處，采用豎曲線進(jìn)行緩和，其計(jì)算形式有二次拋物線和圓曲線兩種。JTJ 011-94公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《舊規(guī)范》)中規(guī)定一般采用二次拋物線或圓曲線［1］;而JTG D20-2006公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《新規(guī)范》)中規(guī)定宜采用圓曲線。但在《新規(guī)范》的條文說(shuō)明中明確在實(shí)際設(shè)計(jì)工作中，可根據(jù)計(jì)算的方便，采用拋物線或圓曲線［2］。

一般認(rèn)為兩者的差別很小，但在前后坡差較大的情況下，如低等級(jí)公路中，兩者的差距亦應(yīng)引起實(shí)際設(shè)計(jì)者的注意。

1 兩種形式豎曲線的計(jì)算方法

1.1 拋物線式的豎曲線計(jì)算

如圖1所示，建立xoy坐標(biāo)系。i1，i2分別為相鄰兩縱坡坡度，規(guī)定上坡為正，下坡為負(fù)，其代數(shù)差值i2－i1用ω表示。當(dāng)ω＞0時(shí)為凹型豎曲線，當(dāng)ω＜0時(shí)為凸型豎曲線。

可以求得二次拋物線式的豎曲線一般方程:

從而，拋物線上的任一點(diǎn)的曲率半徑:

由式(3)可知，拋物線上任意一點(diǎn)曲率半徑均是變化的，但對(duì)于拋物線頂點(diǎn)i=0，則:

其中，R即豎曲線的半徑，將式(4)代入式(1)得:

式(5)即實(shí)際工程設(shè)計(jì)中二次拋物線豎曲線的基本方程。其有以下特性:

1)切線長(zhǎng)T1=T2=L/2;

2)曲率逐漸緩和變化，行車(chē)較為舒適。

1.2 圓曲線式的豎曲線計(jì)算

如圖2所示，建立xoy坐標(biāo)系。圖中各參數(shù)含義與拋物線中對(duì)應(yīng)參數(shù)的含義相同。

由圖2可得:

設(shè)圓曲線的圓心為o'(圖中未示)，則有:

可以求得圓曲線式豎曲線的一般方程:

由式(9)可得:

將式(7)和式(8)代入式(10):

式(7)～式(11)中，對(duì)于i1，i2的正、負(fù)關(guān)系進(jìn)行相應(yīng)組合的時(shí)候，相關(guān)參數(shù)的正、負(fù)號(hào)亦不相同，本文不做深入探討。

圖2 圓曲線式豎曲線計(jì)算示意圖

式(11)即實(shí)際工程設(shè)計(jì)中圓曲線式豎曲線的基本方程。其有以下特性:

1)一般情況下切線長(zhǎng)T1≠T2;

2)曲率一致，施工方便。

表1 各級(jí)公路選取設(shè)計(jì)速度及對(duì)應(yīng)最小半徑與豎曲線長(zhǎng)度

2 兩種形式豎曲線計(jì)算結(jié)果

2.1 計(jì)算參數(shù)選定及計(jì)算方法［3］

《新規(guī)范》中規(guī)定，各級(jí)公路對(duì)應(yīng)不同的設(shè)計(jì)速度、不同的豎曲線最小半徑與豎曲線長(zhǎng)度。而最小半徑對(duì)應(yīng)的條文說(shuō)明中指出，為了行車(chē)安全和舒適，豎曲線半徑應(yīng)采用表1中所列“一般值”的1.5倍～2.0倍或更大值［2］。本文將選取各等級(jí)公路取有代表性的設(shè)計(jì)速度進(jìn)行對(duì)比分析。豎曲線半徑R除選擇設(shè)計(jì)速度對(duì)應(yīng)的一般值 RN和極限值 RL外，增加選擇1.5RN，2RN和3RN;豎曲線長(zhǎng)度L則選擇設(shè)計(jì)速度對(duì)應(yīng)的一般值LN和極限值LL，詳見(jiàn)表 1。

為了便于對(duì)比分析，建立xoy坐標(biāo)系，其中x代表里程，y代表高程。建立如圖3，圖4所示路線縱斷面模型。

圖3 凹型豎曲線計(jì)算示意圖

圖4 凸型豎曲線計(jì)算示意圖

實(shí)際設(shè)計(jì)工作中一般為已知路線起點(diǎn)BP、路線變坡點(diǎn)B和路線終點(diǎn)C的坐標(biāo)以及豎曲線半徑R等參數(shù)，相當(dāng)于已知i1，i2，R和B點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定豎曲線的位置。

圖3，圖4縱斷面模型均為豎曲線的一般形式，需要首先反算出豎曲線起點(diǎn)A的x坐標(biāo)。

對(duì)于二次拋物線:

對(duì)于圓曲線:

由式(12)，式(13)和已知的 i1，yB，從而求出 yA。

經(jīng)計(jì)算可知，當(dāng)i1，i2，R和B點(diǎn)坐標(biāo)已知的時(shí)候，豎曲線長(zhǎng)度L拋＞L圓，即當(dāng)L圓滿(mǎn)足最小豎曲線長(zhǎng)度時(shí)，L拋必滿(mǎn)足，取L=L圓。根據(jù)圓曲線相關(guān)關(guān)系，有:

對(duì)比表1，式(14)，式(15)中除了表1中已知的R及L外，仍有兩個(gè)未知數(shù) α1，α2為不定方程。注意到 i1，i2和 α1，α2的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本文將給定i1，聯(lián)立式(14)，式(15)解得i2。

根據(jù)式(5)，式(11)，式(12)和式(13)，解得變坡點(diǎn)處路線D點(diǎn)設(shè)計(jì)高程，進(jìn)而確定圓曲線式豎曲線和拋物線式豎由線的高程差。

2.2 i1＞0的凹型豎曲線計(jì)算結(jié)果

設(shè)計(jì)參數(shù)取值:BP點(diǎn)里程K0+000，高程100 m;B點(diǎn)里程K1+000，縱坡i1=1%。

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 i1＞0的凹型豎曲線計(jì)算結(jié)果對(duì)比表

2.3 i1＜0的凸型豎曲線計(jì)算結(jié)果

凸型豎曲線建立如圖4所示路線縱斷面模型。設(shè)計(jì)參數(shù)如下:BP點(diǎn)里程K0+000，高程100 m;B點(diǎn)里程K1+000，縱坡i1=－1%。

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 i1＜0的凸型豎曲線計(jì)算結(jié)果對(duì)比表

2.4 縱坡其他組合方式的豎曲線計(jì)算結(jié)果

對(duì)于如圖5所示i1＜0的凹型豎曲線與i1＞0的凸型豎曲線，可以得出類(lèi)似的結(jié)果，本文不再贅述。

圖5 縱坡其他組合方式計(jì)算示意圖

3 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于兩種形式的豎曲線，分析計(jì)算過(guò)程及結(jié)果，可以得出以下結(jié)論:

1)豎曲線越短，計(jì)算高程越接近。但豎曲線過(guò)短，會(huì)給人突變的感覺(jué)，考慮到行車(chē)的舒適性和連續(xù)性，豎曲長(zhǎng)度不宜過(guò)短，除非在極限性情況下，盡量避免采用豎曲線長(zhǎng)度極限值。

2)豎曲線半徑越大，計(jì)算高程越接近。對(duì)于高等級(jí)公路，兩種形式豎曲線高程差已經(jīng)很小;但對(duì)于低等級(jí)公路，考慮到縱坡可能的實(shí)際取值，舍去最大差值0.5563 m，最大差值已經(jīng)達(dá)到0.0571 m，《新規(guī)范》中雖然規(guī)定豎曲線采用圓曲線，但部分路線計(jì)算軟件并沒(méi)有進(jìn)行更新(如較為常用的緯地軟件)，實(shí)際設(shè)計(jì)工作中需要引起足夠的注意。若半徑采用《新規(guī)范》規(guī)定的半徑一般值的1.5倍以上，兩者差值較小，最大值0.0161 m。若非極限情況，兩者差別還是較為微小的。

3)前后縱坡差在17%以?xún)?nèi)，計(jì)算高程差值最大值不到0.0110 m，兩者計(jì)算結(jié)果是較為接近的。

4)考慮到二次拋物的曲率是連續(xù)變化的，對(duì)于行車(chē)來(lái)說(shuō)，拋物線式豎曲線要比圓曲線式豎曲線更為平順。

5)對(duì)比兩者基本方程，二次拋物線式豎曲線計(jì)算公式更為簡(jiǎn)單，且T1=T2，概念較為清晰，在實(shí)際設(shè)計(jì)工作中，若非極限情況，筆者仍然推薦采用二次拋物線式豎曲線。

［1］JTJ 011-94，公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.

［2］JTG D20-2006，公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.

［3］潘 威.勘測(cè)設(shè)計(jì)階段公路平縱線形組合的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法［J］.山西交通科技，2006(3)：30-32.