一種基于頻差補償?shù)南辔蛔V時延估計方法

邱 天 爽， 尤 國 紅， 沙 嵐， 趙 小 平， 高 陽

（大連理工大學 電子信息與電氣工程學部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

時延估計是無源時差定位系統(tǒng)中的關(guān)鍵技術(shù)，時差定位因其隱蔽性高、定位速度快等優(yōu)點廣泛應用于軍事和民用領(lǐng)域中，如雷達、電子戰(zhàn)及基于位置的服務等.近幾十年來，時延估計的方法不斷得到發(fā)展和創(chuàng)新，從時域經(jīng)典的相關(guān)類方法[1、2]到頻域的相位譜法[3、4]，從LMS自適應法到ETDE及各種衍生的自適應類算法[5、6]，從傳統(tǒng)的二階累積量法到高階及分數(shù)低階累積量法等[7、8].

然而眾多的時延估計方法中，專門針對射頻窄帶信號的有效方法卻不多.影響射頻窄帶信號時延估計精度的主要因素包括：（1）兩臺獨立接收機的本振頻率無法保證一致，導致兩路接收信號之間的中頻偏差總是存在的，而目前的時延估計方法很少考慮中頻偏差對估計精度的影響；（2）一般來說，射頻窄帶信號具有采樣頻率較高、絕對帶寬較小的特點，因而相對帶寬（絕對帶寬與采樣頻率之比）就較小，如采用相位等頻域內(nèi)的方法估計時延，可利用的有效點數(shù)較少，信息量較小，時延估計的精度難以得到保證；（3）窄帶信號的相關(guān)函數(shù)所占頻帶較寬，受噪聲影響較大，從而產(chǎn)生較大的時延估計誤差.

本文針對影響射頻窄帶信號時延估計精度的3個主要因素，采用平方倍頻法估計出兩路信號的中頻，相減得到中頻偏差，然后采用頻差補償方法消除中頻偏差對后續(xù)時延估計精度的影響；利用線性調(diào)頻Z變換（CZT）代替離散傅里葉變換（DFT）求取兩路接收信號的互功率譜密度，在有限帶寬內(nèi)增加時延估計的有效點數(shù)；同時考慮到相位譜時延估計法的特點，即兩路信號的相位譜變化規(guī)律呈線性，建立簡單的Kalman濾波模型對相位譜進行線性擬合，改善信噪比，從而提高時延估計的精度.

1 方法介紹

1.1 問題描述

假設(shè)某一射頻窄帶源信號被兩個獨立的接收機接收，由于接收機之間存在一定的空間距離，接收到的兩路信號之間存在一定的時差，設(shè)兩路接收信號的雙基元離散模型為

式中：x（n）和y（n）為接收到的信號；s（n）為射頻窄帶源信號；v1（n）和v2（n）為與源信號互不相關(guān)的加性獨立高斯白噪聲；D為x（n）與y（n）間的時間延遲.令s（n）＝a（n）ej（ωcn＋φ（n）），其中a（n）為s（n）的包絡，ωc為載頻，φ（n）為s（n）的相位.重寫式（1）為

考慮到射頻信號中心頻率的分布特點，這里需要對信號進行中頻變換處理.令ω0為接收機的本振頻率，Δω為兩接收機的本振頻率差，則經(jīng)中頻變換后可得

觀察式（3）可得

其中ej（ω0－ωc）D為一常數(shù)，記作α.于是當頻差存在時兩接收信號模型可以簡化為

其中w1（n）和w2（n）仍為加性獨立高斯白噪聲，且與源信號互不相關(guān).

當頻差不存在即Δω＝0時，信號x（n）與y（n）的互相關(guān)函數(shù)為Rxy（m）＝Rss（m－D）.由離散傅里葉變換可得x（n）與y（n）的互功率譜密度函數(shù)為

其中Gss（ω）為源信號s（n）的自功率譜密度函數(shù)，為實數(shù).顯然，時間延遲D體現(xiàn)在Gxy（ω）的相位函數(shù)上：

通過求解xy（ω）的斜率，即可得到時延估計值.

相位譜時延估計法的優(yōu)點從式（7）可以看出，即兩路信號的相位譜變化規(guī)律呈線性，如果將相位值看作一個隨機過程的狀態(tài)，那么如果已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，就可以利用Kalman濾波器對信號的相位譜進行線性擬合，改善信噪比，提高時延估計的精度.

但是，當頻差Δω≠0時，觀察式（3）可知已無法從相位函數(shù)中提取原始信號之間的時延信息D，這正是相位譜時延估計法的局限性之一；對于射頻窄帶信號來說，采用相位譜時延估計法的另一個局限性在于利用頻域進行時延估計的有效點數(shù)受信號帶寬的制約.

針對以上兩點局限性，本文采用頻差補償?shù)姆椒▉斫鉀Q中頻偏差問題，采用CZT變換增加頻域內(nèi)進行時延估計的有效點數(shù).

1.2 頻差補償?shù)姆椒?/h3>

由式（5）可知，通過對兩路信號中頻偏差的準確估計可提高對單路信號的頻差補償：

問題的關(guān)鍵就是如何估計兩路信號的中頻偏差Δω.一種方法是通過Hilbert變換[9]提取信號的包絡進行時延估計，可以避免中頻偏差的影響.但信號經(jīng)過Hilbert變換后轉(zhuǎn)變?yōu)榛鶐盘?，此時信號帶寬減小為原來的1/2，則可利用的時延估計有效點數(shù)也隨之減半，這樣對時延估計精度的影響是很大的.本文采用一種更直接的方法，即利用平方倍頻法首先估計出兩路信號的中頻后相減，然后按照式（8）直接對單路信號進行頻差補償.

平方倍頻法原理如圖1所示，以其中一路接收信號x（n）為例，為了方便推導，將式（3）中的x（n）寫成實信號的形式，即

式中：x（n）為AM抑制載波信號，由于接收信號x（n）不含載波分量，a（n）中也沒有直流分量存在，這樣就不能將中頻ω0直接過濾掉.x（n）經(jīng)過平方器后輸出為

其中p（n）表示為平方器的輸出噪聲.盡管a（n）中不存在直流分量，但經(jīng)平方運算后a2（n）中卻包含了直流分量，且式（10）中等式右端含有2ω0頻率分量，可利用帶通濾波器直接將其濾出，再通過二分頻處理得到所需中頻ω0.將估計出的兩路信號中頻做差，就可以得到中頻偏差Δω.

圖1 平方倍頻法原理Fig.1 Principle of frequency doubling method

1.3 基于CZT的頻域細化法

采用相位譜法對射頻窄帶源信號進行時延估計時，由于頻域帶寬的限制，可用于時延估計的有效點數(shù)較少，所含信息量有限.為了增加有效點數(shù)，本文采用CZT代替式（6）中的DFT，即

由于CZT不受頻率分辨率的限制，能計算單位圓上任意一段曲線的Z變換，并且也可以依據(jù)特定需要確定均勻采樣的間隔，更適合對特定窄帶頻譜進行細化與分析，具體原理介紹如下.

設(shè)序列x（n）的長度為N，其CZT定義[10]如下：

本文所研究的射頻窄帶信號的帶寬一般在10kHz以下，以采樣頻率為50MHz、長度為106的射頻窄帶信號為例，該信號在頻域內(nèi)可用來計算時延估計的有效點數(shù)為

式中：B表示信號帶寬，fs表示采樣頻率，N表示信號長度.顯然僅利用這200個采樣點進行基本的最小二乘相位譜時延估計很難達到較高的精度.

考慮單位圓上的CZT，此時A0＝W0＝1，在[2π（fc－B/2），2π（fc＋B/2）]弧度范圍內(nèi)對頻譜進行2倍細化，即M＝2N，其中fc為載頻，則可用來計算時延估計的有效點數(shù)為

顯然NCZT＝2NDFT，即可用來計算時延估計的有效點數(shù)增加了1倍.

1.4 Kalman濾波器的設(shè)計

在使用相位譜法進行時延估計時，時延估計的精度受噪聲的影響是不容忽視的，因此減小噪聲的影響是非常必要的.Kalman濾波法是一種最優(yōu)自回歸數(shù)據(jù)處理方法，具有良好的抗噪聲性能以及快速收斂特性[11、12].同時，采用相位譜時延估計法易于建立簡單的Kalman模型來對信號的相位譜進行線性擬合，模型的狀態(tài)方程和觀測方程如下：

式中：xk為k時刻的狀態(tài)向量，定義如下：

其中φk表示相位，φ′k表示斜率，是對相位取導數(shù)，即想求得的時延.A和H分別表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測矩陣，定義如下：

zk為k時刻的觀測向量；wk－1和vk分別表示過程噪聲和觀測噪聲，兩者相互獨立且均為零均值高斯白噪聲，即

其中Q和R分別為過程噪聲和觀測噪聲的協(xié)方差.

1.5 本文方法步驟

（1）首先采用平方倍頻法分別估計出兩路接收信號的中頻ω01和ω02，相減得到兩路信號的中頻偏差Δω＝ω02－ω01.

（2）對單路信號按照式（8）進行頻差補償，消除中頻偏差對時延估計的影響.

（3）用線性調(diào)頻Z變換代替離散傅里葉變換，即利用式（11）求得信號的互功率譜密度，從而求得相位函數(shù)xy（ω）.

（4）利用本文設(shè)計的濾波器模型對相位函數(shù)xy（ω）進行線性擬合，求出xk中的斜率φ′k，即求得了所要的時延信息D.

方法步驟示意圖如圖2所示.

圖2 本文方法示意圖Fig.2 Schematic diagram of this paper′s method

2 仿真實驗與結(jié)果討論

總體仿真條件如下：設(shè)有用信號和噪聲均服從均值為0，方差為1的高斯分布，且信號與噪聲之間互不相關(guān).調(diào)制信號為載波頻率為10.7 MHz，采樣頻率為50MHz的AM抑制載波，選取數(shù)據(jù)長度為106，設(shè)時間延遲的真值為2μs.調(diào)制信號的帶寬由10kHz遞減到2kHz，信噪比由10dB遞減到5dB，中頻偏差由0.5kHz遞增到2.5kHz，每種條件獨立仿真100次，以100次時延估計的均方根誤差作為衡量算法精度的指標，定義均方根誤差如下式所示：

仿真實驗中為了加快算法的運行速度，在用CZT求取兩路信號的互功率譜過程中，選取輸入點數(shù)的2倍作為輸出點數(shù)，即M＝2N.為了加快算法迭代速度并得到更準確的迭代結(jié)果，在Kalman濾波的初值選取上，利用最小二乘法估計出相位和斜率的值作為狀態(tài)向量的迭代初值，取預先多次實驗仿真的均值作為觀測噪聲的協(xié)方差值.

本文對基于Hilbert變換取包絡的最小二乘相位譜時延估計法（HLSP），基于Hilbert變換取包絡及Kalman濾波的相位譜時延估計法（HKP），基 于 Hilbert變 換 取 包 絡、CZT 及Kalman濾波的相位譜時延估計法（HCKP），基于頻差補償?shù)淖钚《讼辔蛔V時延估計法（BLSP），基于頻差補償及Kalman濾波的相位譜時延估計法（BKP），本文提出的基于頻差補償、CZT及Kalman濾波的相位譜時延估計法（BCKP）分別進行了獨立仿真實驗.仿真實驗結(jié)果比較如表1～3所示.

仿真結(jié)果表明：本文方法（BCKP）的時延估計精度明顯優(yōu)于其他5種方法，具有顯著的優(yōu)勢.從表1可以看出：BCKP的精度高于HCKP，BKP的精度高于HKP，BLSP的精度高于HLSP，本文算法的均方根誤差最小且穩(wěn)定控制在30ns以內(nèi)，由此可以得出，在克服中頻偏差方面，直接進行頻差補償?shù)姆椒ㄒ糜诶肏ilbert取包絡的方法.從表2可以看出：HCKP的精度高于HKP，BCKP的精度高于BKP，即使在帶寬降到3kHz時，本文方法的均方根誤差仍小于100ns，由此可以得出，在有限帶寬內(nèi)，利用CZT能更好地抑制窄帶信號帶寬的影響，提高時延估計的精度.從表3可以看出：表中前4種方法的精度明顯高于后兩種，其中本文方法（BCKP）的精度最高，由此可以得出，Kalman濾波器在改善信噪比方面具有良好的抗噪聲性能.仿真分析表明，即使存在中頻偏差，本文所提出的時延估計新方法仍能夠得到較高精度.

表1 調(diào)制信號帶寬10kHz，信噪比10dB，6種方法在不同中頻偏差下的ermsTab.1 ermscorresponding to different intermediate frequency difference of six methods（bandwidth is 10kHz，SNR is 10dB）

表2 信噪比10dB，中頻偏差1kHz，6種方法在不同調(diào)制信號帶寬下的ermsTab.2 ermscorresponding to different bandwidth of six methods （SNR is 10dB，intermediate frequency difference is 1kHz）

表3 調(diào)制信號帶寬10kHz，中頻偏差1kHz，6種方法在不同信噪比下的ermsTab.3 ermscorresponding to different SNR of six methods （bandwidth is 10kHz，intermediate frequency difference is 1kHz）

3 結(jié) 論

本文研究了存在中頻偏差下射頻窄帶信號的時延估計問題，提出了一種基于頻差補償?shù)南辔蛔V時延估計新方法.該方法利用頻差補償?shù)脑硐擞捎趦膳_接收機本振頻率不一致而對后續(xù)時延估計產(chǎn)生的影響；針對窄帶信號帶寬較小的問題，利用CZT來增加相位法在有限帶寬內(nèi)可用于估計時延的有效點數(shù)；同時應用Kalman濾波器對相位譜進行線性擬合，改善信噪比.仿真實驗結(jié)果表明，在中頻偏差存在的條件下，本文方法能夠?qū)ι漕l窄帶信號進行較高精度的時延估計.

[1] KNAPP C H，CARTER G C.The generalized correlation method for estimation of time delay [J].IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Processing，1976，24（4）：320－327

[2] 王 江，楊景曙.頻差存在時廣義相關(guān)時延估計方法研究[J].信號處理，2008，24（1）：112－114

[3] PIERSOL A G.Time delay estimation using phase data[J].IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Processing，1981，29（3）：471－477

[4] VIOLA F，WALKER W F.A comparison between spline－based and phase－domain time－delay estimators[J].IEEE Transactions on Ultrasonics，F(xiàn)erroelectrics and Frequency Control，2006，53（3）：515－517

[5] ZHENG C，TJENG T T.A new time delay estimator based on ETDE [J].IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（7）：1859－1869

[6] 王宏禹，邱天爽.自適應噪聲抵消與時間延遲估計[M].大連：大連理工大學出版社，1999：170－285

[7] SHARMA K K，JOSHI S D.Time delay estimation using fractional Fourier transform [J]. Signal Processing，2007，87（5）：853－865

[8] 郭 瑩，邱天爽，張艷麗，等.脈沖噪聲環(huán)境下基于分數(shù)低階循環(huán)相關(guān)的自適應時延估計方法[J].通信學報，2007，28（3）：8－14

[9] CABOT R.A note on the application of the Hilbert transform to time delay estimation [J].IEEE Transactions on Acoustics， Speech， and Signal Processing，1981，29（3）：607－609

[10] 郭 瑩，邱天爽，張艷麗.基于共變譜的CZT多源時延估計新方法[J].大連理工大學學報，2007，47（5）：746－750（GUO Ying，QIU Tian－shuang，ZHANG Yan－li.A novel multi－source time delay estimation method based on CZT and covariation spectrum [J].Journal of Dalian University of Technology，2007，47（5）：746－750）

[11] KALMAN R E.A new approach to linear filtering and prediction problems [J].Transactions of the ASME — Journal of Basic Engineering，1960，82（Series D）：35－45

[12] SHAW S R，LAUGHMAN C R.A Kalman－filter spectral envelope preprocessor [J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2007，56（5）：2010－2017