基于Copula函數(shù)和王變換的巨災(zāi)死亡率債券定價研究

尚 勤， 秦 學(xué) 志， 張 悅 玫， 胡 友 群

（大連理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

巨災(zāi)死亡率債券是國際上新興的一種風(fēng)險證券化產(chǎn)品.這類特殊的債券交易可以提升壽險公司承保和抗風(fēng)險能力，增強(qiáng)保險業(yè)在救災(zāi)、搶險以及災(zāi)后重建中的作用，減緩國家的財政壓力.同時，還可以為資本市場的投資者提供新的投資工具，有利于實現(xiàn)保險業(yè)與資本市場的融合與共贏.2003年底瑞士再保險公司發(fā)行了世界上第一只死亡率債券，成為死亡率風(fēng)險證券化具有開創(chuàng)意義的嘗試.隨著世界范圍內(nèi)巨災(zāi)事件的增多，此類產(chǎn)品的研發(fā)已得到國際理論和實業(yè)界的強(qiáng)烈關(guān)注.但中國在此領(lǐng)域的研究還處于定性討論階段.目前，我國巨災(zāi)風(fēng)險不斷升級，保險業(yè)發(fā)展滯后，此類產(chǎn)品定量研究的必要性和緊迫性不斷凸顯.

巨災(zāi)死亡率債券定價有兩個關(guān)鍵點或難點：一個是對合同中指定地區(qū)的人口死亡率風(fēng)險的合理預(yù)測；另一個是定價的方法要適用于此類債券交易所處的不完全市場.有關(guān)人口死亡率的預(yù)測，最初采用的是靜態(tài)模型，并未考慮時間因素的影響，不能反映死亡率隨時間的動態(tài)變化.Lee等［1］考慮到死亡率變動與年齡、時間的相關(guān)性，提出了Lee－Carter模型，給死亡率預(yù)測研究帶來了突破性進(jìn)展.隨后，一些學(xué)者對Lee－Carter模型進(jìn)行了擴(kuò)展和修正［2、3］.近年來，一些學(xué)者利用隨機(jī)過程理論更加細(xì)致地刻畫出了死亡率的波動特征.如Milevsky等［4］通過It 死力過程來刻畫死亡率的隨機(jī)變動；Dahl［5］應(yīng)用正隨機(jī)利率模型刻畫死亡率等.死亡率預(yù)測研究已經(jīng)取得較為豐碩的成果，但應(yīng)用于巨災(zāi)死亡率債券觸發(fā)指數(shù)的設(shè)計還存在一些不足.現(xiàn)有研究側(cè)重于單個地區(qū)死亡率的預(yù)測，而巨災(zāi)死亡率債券要預(yù)測的是多個地區(qū)的聯(lián)合死亡率狀況.巨災(zāi)發(fā)生時，有些地區(qū)的死亡率可能會出現(xiàn)跳躍，并且不同地區(qū)死亡率之間不可避免地會具有一定的相關(guān)性.現(xiàn)有研究均缺乏對這些特征的有效描述，難免會造成對死亡率風(fēng)險的低估，影響巨災(zāi)死亡率債券定價的準(zhǔn)確性.另外，關(guān)于死亡率風(fēng)險證券化產(chǎn)品具體定價方法的研究，已有學(xué)者進(jìn)行了嘗試.Friedberg等［6］應(yīng)用資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）和以消費為基礎(chǔ)的資本資產(chǎn)定價模型（CCAPM）計算死亡率風(fēng)險的費用，研究得出利用以上基于完全市場假設(shè)的定價理論度量死亡率風(fēng)險會出現(xiàn)較大的誤差.Dahl等［7］將風(fēng)險中性定價方法應(yīng)用于死亡率風(fēng)險證券化產(chǎn)品定價，在理論上得出了較好的結(jié)果，但還未能進(jìn)行實證研究.Wang提出一類均衡定價方法［8、9］，利用概率分布扭曲的方法實現(xiàn)了在不完全市場中的風(fēng)險定價，并且具有簡明的表達(dá)式，在實證研究中具有較明顯的優(yōu)勢.Lin等［10］將Wang變換方法引入巨災(zāi)死亡率風(fēng)險定價研究，并進(jìn)行了相關(guān)數(shù)據(jù)分析，驗證了Wang變換方法在巨災(zāi)死亡率債券定價研究中的可行性和有效性.本文利用跳－擴(kuò)散過程刻畫死亡率的隨機(jī)波動及其跳躍特征，引入Copula函數(shù)對不同地區(qū)死亡率之間的相關(guān)性進(jìn)行描述，以增強(qiáng)多個地區(qū)聯(lián)合死亡率預(yù)測的合理性；并在新的理論框架下運用王變換，進(jìn)一步完善巨災(zāi)死亡率債券的定價模型.

1 死亡率指數(shù)構(gòu)建

為了更加合理地構(gòu)造死亡率指數(shù)，本文從加強(qiáng)死亡率的跳躍性和相關(guān)性這兩個重要特征的刻畫，對現(xiàn)有研究進(jìn)行完善.

1.1 死亡率服從的跳－擴(kuò)散過程

首先，利用含Poisson頻率的跳－擴(kuò)散過程描述某個地區(qū)人口死亡率的隨機(jī)變化特征.此隨機(jī)過程能夠描述出巨災(zāi)發(fā)生時死亡率出現(xiàn)跳躍的特征，相對于不帶跳的隨機(jī)過程，更加符合死亡率隨機(jī)波動的實際情況.

式中：αi為地區(qū)i死亡率指數(shù)瞬間變化的期望；σi為死亡率指數(shù)的瞬間方差為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動；為參數(shù)為的泊松過程為跳躍頻率為跳躍幅度，服從對數(shù)正態(tài)分布期望值為υi＋1，即

死亡率指數(shù)在（t，t＋Δt）內(nèi)發(fā)生跳躍的概率為

需要說明的是含有跳躍項的隨機(jī)過程還有很多，本文綜合考慮隨機(jī)過程的代表性和運算性質(zhì)選用了以上含Poisson頻率的跳－擴(kuò)散過程.當(dāng)然，根據(jù)實際需要利用其他帶跳的隨機(jī)過程對死亡率進(jìn)行刻畫時，本文的定價方法同樣適用.

1.2 基于Gumbel Copula函數(shù)的死亡率指數(shù)

由于地理或人文環(huán)境的相似性，不同地區(qū)的死亡率并不是相互獨立的，而是具有一定的相關(guān)性.缺乏死亡率之間相關(guān)性的刻畫是現(xiàn)有死亡率指數(shù)構(gòu)建存在的主要不足.事實上，巨災(zāi)爆發(fā)時相鄰災(zāi)區(qū)的死亡率協(xié)同變化明顯增強(qiáng)，甚至可能同時出現(xiàn)跳躍的極端情形.為了進(jìn)一步完善死亡率相關(guān)性特征的刻畫，本文引入Copula函數(shù).

Copula函數(shù)是探索隨機(jī)變量之間非線性相依結(jié)構(gòu)的有力工具.不同類型的Copula函數(shù)可以描述不同的相關(guān)性模式［11］.本文主要討論Archimedean Copula函數(shù)族.這類Copula函數(shù)處理尖峰厚尾特征的觀測樣本（人口死亡率普遍具有尖峰厚尾的分布特征）具有良好的性質(zhì)，其函數(shù)的具體表達(dá)式為

其中φ（·）稱為Archimedean Copula函數(shù)的生成元.按照生成元的不同，Archimedean Copula函數(shù)分為二十幾種.其中最具代表性的有3種，如表1所示.

表1 具代表性的Archimedean Copula函數(shù)Tab.1 Representative Archimedean Copula functions

圖1是3種Archimedean Copula函數(shù)分布密度圖.Clayton Copula函數(shù)分布密度上尾低，下尾高，對分布的下尾變化十分敏感，能快速捕捉到下尾相關(guān)的變化，可用于描述下尾相關(guān)性特征；Gumbel Copula函數(shù)密度分布上尾高，下尾低，對分布的上尾變化十分敏感，能快速捕捉到上尾相關(guān)的變化，可用于描述上尾相關(guān)性特征；而FrankCopula的分布密度具有對稱性，對上尾和下尾相關(guān)性描述都不敏感，難以捕捉到尾部相關(guān)性變化.

圖1 3種Copula函數(shù)分布密度Fig.1 Three kinds of Copula function distribution density

不同地區(qū)死亡率之間的相關(guān)性，主要表現(xiàn)在上尾相關(guān)性特征.即巨災(zāi)發(fā)生時一個地區(qū)死亡率上升，其他地區(qū)死亡率上升的概率增大的情形.例如印度洋海嘯事件，導(dǎo)致十多個國家的人口死亡率的協(xié)同上升.因此要利用能夠快速捕捉這種相關(guān)性特征的Gumbel Copula函數(shù)來刻畫不同地區(qū)死亡率的相關(guān)特征，以此完善死亡率指數(shù)的構(gòu)造.

現(xiàn)將二元Gumbel Copula函數(shù)擴(kuò)展到n元：

則由n個地區(qū)人口死亡率生成的n維隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布可寫成

其中

2 雙因子王變換下的巨災(zāi)死亡率債券定價模型

巨災(zāi)死亡率債券定價的基本原理與其他類型債券相似，都是計算債券預(yù)期未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值.由經(jīng)典的資產(chǎn)定價理論可知，在一個完全市場中，任何一種現(xiàn)金流均可由該市場中交易的某些證券組合加以復(fù)制［12］.而巨災(zāi)死亡率債券的現(xiàn)金流受地震、颶風(fēng)、洪水等自然災(zāi)害或其他保險風(fēng)險的影響，通常無法由股票、債券等傳統(tǒng)資產(chǎn)的組合來復(fù)制，只能在不完全市場的條件下對死亡率關(guān)聯(lián)債券進(jìn)行定價.為克服不完全市場定價這一難點，本文利用王變換方法.

2.1 王變換

王變換定義扭曲算子（distortion operator）：

其中Φ（·）是正態(tài)分布函數(shù)，λ為參數(shù)，0＜u＜1.

設(shè)隨機(jī)變量Z為保險市場中在區(qū)間［0，T］的負(fù)債，記F（z）為其分布函數(shù)，則扭曲分布

即為F（z）的單因子王變換（one－factor Wang transform）.

這里，λ為市場風(fēng)險價值，反映了保險市場中的系統(tǒng)風(fēng)險或公司特有的不可對沖的風(fēng)險水平.單因子王變換要求概率分布已知.然而，實際研究中概率分布經(jīng)常是根據(jù)有限的樣本數(shù)據(jù)估計得到的，即使選擇很好的樣本和參數(shù)估計方法也不可避免地會出現(xiàn)參數(shù)估計結(jié)果不準(zhǔn)確的情況.為了解決這一問題，Wang給出了雙因子王變換（two－factor Wang transform）：

其中Q是t分布函數(shù).

王變換的意義在于產(chǎn)生了一條經(jīng)過“風(fēng)險調(diào)整”后的“價格曲線”F＊（z）.用F＊（z）替代原累積函數(shù)F（z）求期望，再通過折現(xiàn)計算，就可以得到不完全市場中負(fù)債的公平價格.

2.2 巨災(zāi)死亡率債券的定價模型

本文利用Gumbel Copula函數(shù)構(gòu)造的死亡率指數(shù)，只能通過參數(shù)估計得到其分布情況.為了減少由于參數(shù)不確定性帶來的誤差，下面通過雙因子王變換為巨災(zāi)死亡率債券定價.

設(shè)單位本金在t時刻的損失為

其中1＜a＜2，1＜b＜2且a＜b.

則到期日債券的價值

設(shè)r為無風(fēng)險利率，則面值為F的巨災(zāi)死亡率債券的價值

其中死亡率指數(shù)聯(lián)合分布為

1) 從通航凈高尺度看，與橋梁凈高相關(guān)。根據(jù)《運河通航標(biāo)準(zhǔn)》[10]規(guī)定，長三角地區(qū)二～四航道等級的水上過河建筑物通航凈高尺度為7 m，對標(biāo)大運河全線7 m以上凈高橋梁，目前共計342座，占比85.3%(見表7)，相比2006年發(fā)布《辦法》前增長13個百分點，但仍有50座非標(biāo)橋梁存在，主要分布在浙江內(nèi)河四級航道，但按照浙江段三級航道整治工程計劃，橋梁改建后凈高均為7 m。對于其余河段非標(biāo)橋梁，或因沉降略微下降高度或可通過其他航道繞行，因此運河全線通航凈高以7 m為限。

E＊為聯(lián)合概率分布C雙因子王變換為C＊后的期望值，

3 實證分析

本文利用汶川地震受災(zāi)最為嚴(yán)重的兩個省份——四川省和甘肅省的人口死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的實證分析.

3.1 數(shù)據(jù)說明

人口數(shù)據(jù)來自中國人口信息網(wǎng)、《中國統(tǒng)計年鑒》和《新中國五十年統(tǒng)計資料匯編》.無風(fēng)險利率初值的選取為2007－12－29發(fā)布的1年期Shibor 5日均值4.569 7%，相關(guān)數(shù)據(jù)來自http：／／www.shibor.orgshibor／web／shiborDefDownIFrame.jsp.

由圖2可以看出，自建國以來兩省的人口死亡率均呈現(xiàn)下降趨勢，且具有相類似的波動形態(tài).在1959～1962年3年自然災(zāi)害時期，兩省同時出現(xiàn)死亡率的跳躍.

圖2 四川省和甘肅省人口的死亡率Fig.2 Total population death rate of Sichuan and Gansu provinces

表2描述的是兩組樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征，偏度均大于0，峰度均大于3.可以判斷兩組數(shù)據(jù)的分布均具有尖峰、厚尾和右偏的特征.進(jìn)一步檢驗兩個省人口死亡率的相關(guān)性，利用SPSS軟件計算得出，Kendall相關(guān)系數(shù)τb為0.614，說明兩組數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)相關(guān)性.

表2 統(tǒng)計特征描述Tab.2 Statistical characterization description

3.2 參數(shù)估計

巨災(zāi)死亡率債券定價模型復(fù)雜且存在死亡率數(shù)據(jù)不足的問題，為減少參數(shù)估計的誤差，本文整合現(xiàn)有參數(shù)估計方法的優(yōu)勢，分階段估計參數(shù).首先，采用Lee等［13］的跳辨識方法估計式（1）中的跳躍項參數(shù).把跳躍項參數(shù)估計結(jié)果代入式（1）再利用 MCMC算法［14］，估計剩余的參數(shù)αi和σi.進(jìn)一步，利用Lin等［10］的方法估計市場風(fēng)險價值λ，通過Kendall相關(guān)系數(shù)估計參數(shù)θ［15］.結(jié)果如表3所示.

表3 巨災(zāi)死亡率債券定價模型中的參數(shù)估計結(jié)果Tab.3 Results of parameter estimation for pricing model of catastrophe mortality bonds

3.3 定價實例

設(shè)計票面價值10億元人民幣的5年期本金有風(fēng)險的巨災(zāi)死亡率債券.該債券2007年底發(fā)行，2013－01－01到期.債券給付與四川省和甘肅省的聯(lián)合人口死亡率指數(shù)qt相關(guān)聯(lián).

四川省和甘肅省人口總數(shù)比近似為7∶3（中國人口信息網(wǎng)），設(shè)四川省人口死亡率在死亡率指數(shù)中的權(quán)重為70%，甘肅省人口死亡率的權(quán)重為30%.用表示2007年四川省人口死亡率乘以表示甘肅省人口死亡率乘以1 000.由2008年《中國統(tǒng)計年鑒》可知6.65.則2007年實際死亡率指數(shù)為如果死亡率指數(shù)累積惡化程度超過2007年實際死亡率指數(shù)的10%，壽險公司就可以按比例減少對投資者的本金支付，作為死亡率風(fēng)險補(bǔ)償.如果累積死亡率超過2007年死亡率指數(shù)的30%，就可以提取全部本金支付.單位本金損失的表達(dá)式為

利用Gumbel Copula函數(shù)描述兩省死亡率的相關(guān)性特征，進(jìn)一步通過雙因子王變換得出巨災(zāi)死亡率債券的定價公式：

式中：E＊是qt服從概率分布為C＊的期望值，其 中

由于V＊沒有顯式表達(dá)式，下面通過Monte Carlo模擬計算債券價格，步驟如下.

第1步 生成n個服從（0，1）獨立均勻分布的隨機(jī)向量（v1v2）T.

第2步 生成（u1u2）T：令u1＝v1；u2是如下方程的解：

這里，由于u2沒有封閉解，采用牛頓迭代法求解.

t＝1 時可得從而得到q1＝

t＝2 時可得從而得到q2＝

t＝5 時可得從而得到q5＝

第4步 重復(fù)第1～3步k次，就可以用算術(shù)平均來估計qt.

第5步 代入價值公式（7）計算V.

利用Matlab軟件編程計算，當(dāng)模擬次數(shù)達(dá)到10 000次時結(jié)果趨于穩(wěn)定，可得債券的價值為6.570 8×108.由于價格計算采用固定利率折現(xiàn)，計算結(jié)果的可靠度主要取決于通過Monte Carlo模擬得到的死亡率指數(shù).利用K－S檢驗對死亡率指數(shù)的擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗.在0.95的置信水平下，P值為0.726 3，遠(yuǎn)大于0.05，通過檢驗.說明Monte Carlo模擬10 000次預(yù)測的死亡率指數(shù)與真實值擬合優(yōu)度良好，進(jìn)而驗證了計算結(jié)果的有效性和一致性.

3.4 參數(shù)敏感度分析

下面分析定價模型中主要參數(shù)的敏感度.圖3（a）是參數(shù)a和b單個變動或同時變動對巨災(zāi)死亡率債券價格的影響，可以為債券設(shè)計中a和b的取值提供一定的參考.圖3（b）分析的是死亡率的跳躍參數(shù)的敏感度，可以看出死亡率跳躍參數(shù)對債券價格的影響是顯著的，從而也驗證了本文對死亡率跳躍特征的描述是必要的.

圖3 參數(shù)變動下V＊的趨勢圖Fig.3 Tendency graph of V＊ under the change of parameters

4 結(jié) 語

本文從我國巨災(zāi)嚴(yán)重、保險業(yè)發(fā)展滯后的客觀實際出發(fā)，設(shè)計了一類巨災(zāi)死亡率債券，意在大幅度提高保險公司對巨災(zāi)保險的承保能力，扭轉(zhuǎn)長期依賴國家財政的被動局面.在債券的設(shè)計和定價上，主要從死亡率指數(shù)的構(gòu)造和不完全市場定價方法兩個方面彌補(bǔ)了國際上現(xiàn)有研究存在的不足.利用含Poisson頻率的跳－擴(kuò)散過程和Copula函數(shù)構(gòu)造的死亡率指數(shù)，涵蓋了死亡率的跳躍性和相關(guān)性特征的描述，較已有研究對未來死亡率風(fēng)險的預(yù)測更為合理.在定價方法上，通過王變換實現(xiàn)了在不完全市場中給巨災(zāi)死亡率債券定價的方法，避免了基于完全市場假設(shè)的定價方法可能產(chǎn)生的偏差.在理論推進(jìn)的基礎(chǔ)上，本文針對我國災(zāi)害多發(fā)區(qū)四川省和甘肅省兩省的人口死亡率數(shù)據(jù)，給出巨災(zāi)死亡率債券的定價實例，并通過價格計算、參數(shù)敏感度分析等實證分析驗證了定價模型的可行性和有效性.巨災(zāi)死亡率債券不僅可以實現(xiàn)死亡率風(fēng)險的有效管理，還能為資本市場帶來巨大商機(jī)，在我國擁有無限的潛力和發(fā)展空間.隨著我國資本市場的成熟，不久的將來，巨災(zāi)風(fēng)險證券化可能會成為巨大災(zāi)害的風(fēng)險管理機(jī)制中的重要環(huán)節(jié).

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