超耦合Burgers方程族及其超Hamilton結(jié)構(gòu)

史 會(huì)， 陶司興

(1.商丘師范學(xué)院 物理與信息工程系 河南 商丘 476000； 2. 商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系 河南 商丘476000)

0 引言

利用李代數(shù)尋找新的Lax可積或Liouville可積系統(tǒng)及它們的可積耦合一直是孤立子理論研究中的一個(gè)有意義的重要課題[1-6]. 屠規(guī)彰提出跡恒等式來建立連續(xù)可積系統(tǒng)或離散可積系統(tǒng)的Hamilton結(jié)構(gòu)[1-2]. 接著不少學(xué)者陸續(xù)提出跡恒等式的推廣形式來建立可積系統(tǒng)的Hamilton結(jié)構(gòu). 文獻(xiàn)[3]發(fā)展了跡恒等式并稱其為屠格式. 通過利用屠格式及其推廣形式, 學(xué)者們得到了許多具有物理背景的可積系統(tǒng). 例如，李代數(shù)A1有一組基：

(1)

文獻(xiàn)[7]首次提出了利用超跡恒等式來建立超可積系統(tǒng)的超Hamilton結(jié)構(gòu)，但是沒有給出證明.文獻(xiàn)[8]給出了超跡恒等式系統(tǒng)的證明，并且給出了超跡恒等式中常數(shù)γ的求解公式， 同時(shí)，以超AKNS方程族和超Dirac方程族為例進(jìn)行了應(yīng)用.本文將考慮超耦合Burgers方程族及其超Hamilton 結(jié)構(gòu).

1 超耦合Burgers 程族

考慮李超代數(shù)B(0,1)下面的一組基：

[e1,e2]=2e3；[e1,e3]=2e2；[e2,e3]=-2e1；[e1,e4]=[e2,e5]=[e3,e5]=e4；

[e5,e1]=[e4,e3]=[e2,e4]=e5；[e4,e4]+=-(e2+e3)；

[e5,e5]+=e2-e3;[e4,e5]+=[e5,e4]+=e1,

(2)

在李超代數(shù)B(0,1)的基(2)下, 考慮超等譜問題

φx=Uφ,U=qe1(0)+re2(0)-e2(1)+e3(0)αe4(0)+βe5(0),λt=0.

記

通過求解定態(tài)零曲率方程Vx=[U,V],有

可以得出am+1,bm+1,δm+1和-ρm+1有遞推關(guān)系:

(3)

其中Pn+1滿足Pn+1=LPn.如果在方程族(3)中取α=β=0,它可以約化為耦合Burgers方程族(1), 因此稱方程族(3)為超耦合Burgers方程族.

2 超耦合Burgers 方程族的超Hamilton結(jié)構(gòu)

假設(shè)譜矩陣U定義為

U=U(u,λ)=e0(λ)+u1e1(λ)+…+uqeq(λ),ui∈A，1≤i≤q,

定理1(超跡恒等式)[8]設(shè)U=U(u,λ)∈G是齊秩的, 假定定態(tài)零曲率方程在相差非零常數(shù)倍的意義下有唯一的解V∈G. 那么, 存在一個(gè)常數(shù)γ使得

(4)

對于任意一個(gè)滿足定態(tài)零曲率方程且具有齊次秩的解，V∈G成立.

定理2[8] 設(shè)V是定態(tài)零曲率方程的一個(gè)解且str(adVadV)≠0, 那么超跡恒等式中的常數(shù)可由(5)式給出

(5)

str(P)=P11+P22+P33-P44-P55,

其中,c=(cij)3×3,P=(Pij)5×5,且ab是a和b的矩陣乘積, 則通過計(jì)算可得str(adaadb)=3str(ab).

容易計(jì)算得:

利用超跡恒等式(4)， 有

比較兩邊λ-n-1的次數(shù)可得

因?yàn)閟tr(adVadV)=6u2≠0，利用計(jì)算公式(5), 可以得到γ=0.因此，

因此, 超可積耦合Burgers方程族(3)具有超Hamilton結(jié)構(gòu),

特別的, 超可積耦合Burgers方程族(3)具有超雙Hamilton結(jié)構(gòu),

其中第2個(gè)超Hamilton算子M為

參考文獻(xiàn)：

[1] Tu Guizhang．The trace identity, a powerful tool for constructing the Hamiltonian structure of integrable systems[J]. Journal of Mathematical Physics, 1989, 30(2):330-338.

[2] Tu Guizhang. A trace identity and its applications to the theory of discrete systems[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1990, 23(17):3903-3922.

[3] 馬文秀. 一個(gè)新的Liouville 可積系的廣義Hamiltonian方程族及其約化[J]. 數(shù)學(xué)年刊:A輯, 1992, 13(1): 115-123.

[4] 斯仁道爾吉. 耦合Burgers族約束系統(tǒng)的動(dòng)力R-矩陣[J]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)漢文版， 1997, 26(1): 1-5.

[5] 李雪梅, 牛虧環(huán). 廣義TD 族及一些非線性演化方程的顯式解例[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2007, 39( 3) : 1-6.

[6] 穆?lián)P眉, 王寒梅. 一類孤子方程的Hamilton結(jié)構(gòu)及其Liouville可積性[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2009, 41(1):10-14.

[7] Hu Xingbiao. An approach to generate superextensions of integrable systems[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1997, 30(2): 619-633.

[8] Ma Wenxiu, He Jingsong,Qin Zhenyun. A supertrace identity and its applications to superintegrable systems[J]. Journal of Mathematical Physics, 2008, 49(3): 033511.

[9] 孫洪洲, 韓其智. 李代數(shù)李超代數(shù)及在物理中的應(yīng)用[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，1999：157-199.