介質(zhì)中的電磁能量密度及其損耗

韓光澤 朱小華

(華南理工大學(xué) 物理系 廣東 廣州 510640)

0 引言

頻率在300 MHz～300 GHz之間的微波段電磁波廣泛用于無線通信、材料處理、微波加熱、化工過程強(qiáng)化和醫(yī)療診斷等領(lǐng)域.電磁技術(shù)的進(jìn)一步廣泛應(yīng)用需要對電磁場與物質(zhì)相互規(guī)律的深入了解，尤其是物質(zhì)對電磁波的吸收與消耗.例如，用于通信的電磁波應(yīng)盡可能避免被介質(zhì)吸收，用于材料處理和加熱時應(yīng)使物質(zhì)盡可能多的吸收電磁波，而在強(qiáng)化質(zhì)量傳遞過程時需要使某一特定的組分盡可能多的吸收電磁波[1-3].由于電磁場與物質(zhì)相互作用的特殊性和復(fù)雜性，這種作用的某些物理機(jī)制仍然不是很清楚.在電磁場與物質(zhì)相互作用的基礎(chǔ)理論方面，電磁場能量被物質(zhì)的吸收與消耗顯得尤為重要.但是，目前關(guān)于物質(zhì)中的電磁能量形式以及物質(zhì)對電磁場能量的儲存與吸收消耗等方面物理機(jī)理的認(rèn)識不太明確，能量的數(shù)學(xué)表述形式也不太確切.本文將以電磁場理論為基礎(chǔ)，基于電磁介質(zhì)在電磁場中的極化和磁化特性，分析電磁介質(zhì)中的電磁能量特征，導(dǎo)出極化能量密度和磁化能量密度表達(dá)式；并進(jìn)一步研究電磁介質(zhì)對電磁能量消耗的機(jī)理，導(dǎo)出介質(zhì)吸收電磁能量的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

1 介質(zhì)中的電場能量密度和磁場能量密度

1.1 電磁能量密度

電磁場的能量特性通常采用能量密度w和能流密度S來描述.電磁場的能量平衡方程是[4]

-

(1)

設(shè)介質(zhì)中的電荷密度是ρe，電荷的運(yùn)動速度是v，單位體積介質(zhì)受到的電磁作用力(洛倫茲力)密度是fe=ρeE+ρev×B，其中E和B分別是電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度.電磁場對運(yùn)動電荷做的功率密度為

fe·v=ρev·E=Je·E,

(2)

其中Je=ρev是電流密度.

電場對電介質(zhì)的作用效果是產(chǎn)生極化電荷和極化電流，極化電荷密度是ρp=-·P，極化電流密度是Jp=?P/?t，P是極化強(qiáng)度，即單位體積介質(zhì)中的電偶極矩.磁場對磁介質(zhì)的磁化效果是產(chǎn)生磁化電流，磁化電流密度是Jm=×M，M是磁化強(qiáng)度，即單位體積介質(zhì)中的磁偶極矩.在定義了兩個輔助量，電位移D=ε0E+P和磁場強(qiáng)度H=B/μ0-M后，麥克斯韋方程中只出現(xiàn)自由電荷和自由電流.式(2)中的Je可視為自由電荷流密度Jf，利用介質(zhì)中的麥克斯韋方程組將Jf·E表示為場量，再與平衡方程(1)式比較，可分別定出能流密度S=E×H和能量密度的表達(dá)式[4]

(3)

1.2 極化能量密度和磁化能量密度

dwp=E·dP,

(4)

dwm=μ0H·dM.

(5)

在各向同性非鐵磁物質(zhì)中有M=(μr-1)H，可得dwm=μ0HdM，μ0和μr分別是真空中的磁導(dǎo)率和表示磁介質(zhì)性質(zhì)的相對磁導(dǎo)率.2種分解只相差一個全微分，因此這2種表達(dá)式在熱力學(xué)分析中是等價的[6].

1.3 極化能和磁化能的物理意義

在導(dǎo)出式(3)的過程中，將介質(zhì)與電磁場合并在一起作為研究的系統(tǒng)，而將自由電荷和自由電流作為外界，通過外界與系統(tǒng)之間的能量交換導(dǎo)出能量密度和能流密度.也可以從另一方面考慮，即將電磁場作為研究的系統(tǒng)，通過電磁場與介質(zhì)、自由電荷和自由電流之間相互作用引起的能量交換來導(dǎo)出能量密度.如果只選取電磁場作為研究的系統(tǒng)，在電磁場與外界的作用中，功率密度式(2)中的電流密度應(yīng)該包括自由電流密度、極化電流密度和磁化電流密度

Je·E=Jf·E+Jp·E+Jm·E,

(6)

由于電磁場與介質(zhì)之間的相互作用而儲存在介質(zhì)中的能量可以通過式(6)的右側(cè)分別導(dǎo)出.當(dāng)介質(zhì)中存在自由電荷時，Jf·E表示電磁場對自由電荷做功，通過做功電磁場的能量轉(zhuǎn)換為自由電荷的動能.由于介質(zhì)電阻的作用，由歐姆定律Jf=σE得

Jf·E=σE2,

(7)

這就是焦耳定律，即由于電阻的作用，電磁場對自由電荷做的功轉(zhuǎn)換為焦耳熱.式(7)就是這種發(fā)熱功率密度，其中的σ表示介質(zhì)的電導(dǎo)率.式(6)右側(cè)的第2項表示電場使介質(zhì)極化時所做的功率密度，通過這個功,電磁場的能量轉(zhuǎn)化為介質(zhì)中的極化能.利用極化電流密度表達(dá)式Jp=?P/?t，可得極化能量密度Jp·Edt=E·dP，這正是式(4).式(6)右側(cè)的第3項表示電磁場使介質(zhì)磁化時所做的功率密度，通過這個功,電磁場的能量轉(zhuǎn)化為介質(zhì)中的磁化能.利用磁化電流密度的表達(dá)式，也可得到磁化能量密度式(5).

儲存在介質(zhì)中的電磁能量密度來自電場做的極化功和磁場做的磁化功，因此也可以從微觀的角度，利用電磁場對電偶極子和磁偶極子做功導(dǎo)出式(4)和式(5).電場對電介質(zhì)的極化分為有極分子的取向極化和無極分子的位移極化.以位移極化為例，利用電偶極子的定義p=ql，電場極化單個分子做的功是F·dl=qE·dl=E·dp.將該式對單位體積介質(zhì)內(nèi)所有的電偶極子求和，并利用極化強(qiáng)度的定義P=∑pi，即得單位體積內(nèi)電場做的總極化功E·dP.磁場對非鐵磁介質(zhì)的磁化也分為2類，順磁質(zhì)分子固有磁矩沿外場方向的排列和抗磁質(zhì)分子產(chǎn)生感生磁矩.以順磁質(zhì)分子的磁化為例，設(shè)分子的固有磁矩是m，分子在磁場中受到的力矩是μ0Hmsinθ，則根據(jù)功能原理，磁化能量的增加等于磁場迫使磁偶極子轉(zhuǎn)動過程中磁力矩做的負(fù)功，-μ0Hmsinθdθ=μ0Hd(mcosθ)=μ0H·dm，式中的θ表示m與H之間的夾角.在單位體積內(nèi)對該式求和，并利用磁化強(qiáng)度的定義M=∑mi，即得磁化功μ0H·dM.

2 交變外場作用下的電磁能量損耗

在交變外場中，儲存在介質(zhì)中的極(磁)化能量可以還原為電(磁)場能量，也就是說，場能與介質(zhì)中的極(磁)化能可以發(fā)生相互轉(zhuǎn)換.依據(jù)介質(zhì)的性質(zhì)，這些轉(zhuǎn)換有些是可逆的，有些是不可逆的，即在某一些介質(zhì)中電磁能量被不可逆地轉(zhuǎn)化為介質(zhì)的熱能.電磁波的傳播損失、微波能的利用等都與電磁能量損耗相關(guān)，它同時也是電磁介質(zhì)非平衡態(tài)熱力學(xué)分析的基礎(chǔ).

2.1 各向同性單值介質(zhì)

在各向同性的介質(zhì)中，E、D和P具有相同的方向，B、H和M具有相同的方向(反磁質(zhì)相反，由μr的取值決定)，可以不考慮這些物理量的方向.如果在某種介質(zhì)中P與E、M與H之間有單值對應(yīng)關(guān)系，稱這種介質(zhì)為單值介質(zhì).線性介質(zhì)就是單值對應(yīng)關(guān)系的一個特例.

分別對式(4)和式(5)積分，可得介質(zhì)中的極化能量密度和磁化能量密度

(8)

(9)

這2個積分式表明，如果以外場E(或H)為自變量，P(或M)為函數(shù)畫一坐標(biāo)曲線P(E)(或M(H))，則介質(zhì)中的能量密度等于曲線與P軸(或M軸)所包圍的面積.

圖1 單值電介質(zhì)中極化強(qiáng)度隨交變電場的變化關(guān)系Fig.1 Relationship between polarization of single-value dielectric and electric field

設(shè)P與E之間有簡單的單值對應(yīng)關(guān)系，P=ε0(εr-1)E，如圖1所示.當(dāng)場強(qiáng)正向(E>0)增加時，沿曲線從O點(diǎn)到c點(diǎn)，介質(zhì)的極化強(qiáng)度隨之增加dP>0，EdP>0；表示電場對介質(zhì)做功，電場能量轉(zhuǎn)換為介質(zhì)中的極化能量，極化能量密度增加，增加的能量密度等于圖形OcsO包圍的面積.當(dāng)場強(qiáng)從正向(E>0)減小時，沿曲線從c點(diǎn)回到O點(diǎn)，極化強(qiáng)度也減小dP<0，EdP<0；表示介質(zhì)對電場做功，介質(zhì)中的極化能轉(zhuǎn)換為電場能，減少的能量密度也等于圖形OcsO的面積.場強(qiáng)在反方向(E<0)由增大到減小的變化中，能量的變化關(guān)系與正向類似.因此在電場的一個變化周期內(nèi)，電場對介質(zhì)做的功等于介質(zhì)對電場做的功，儲存在介質(zhì)中的極化能與電場能等量地相互轉(zhuǎn)換，介質(zhì)沒有消耗電場能量.在電場的一個變化周期內(nèi)，式(8)的積分等于零∮EdP=0.

設(shè)電場按簡諧規(guī)律變化E=E0cosωt，則在線性介質(zhì)中極化強(qiáng)度可寫為P=P0cosωt，E0和P0表示場強(qiáng)和極化強(qiáng)度的峰值，ω=2π/T表示角頻率，T是周期.場強(qiáng)和極化強(qiáng)度隨時間變化的曲線如圖2所示.在第1個1/4周期內(nèi)(Ⅰ區(qū))，E>0，dP<0，因此EdP<0，表示介質(zhì)對電場做功，極化能轉(zhuǎn)換為電場能，介質(zhì)中的極化能量密度減少.在第2個1/4周期內(nèi)(Ⅱ區(qū))，E<0，dP<0，EdP>0，表示電場對介質(zhì)做功，介質(zhì)中的極化能量密度增加.在Ⅲ區(qū)有EdP<0，Ⅳ區(qū)有EdP>0.即在Ⅰ區(qū)和Ⅲ區(qū)介質(zhì)對電場做功，介質(zhì)中的極化能轉(zhuǎn)化為電場能；在Ⅱ區(qū)和Ⅳ區(qū)電場對電介質(zhì)做功，電場能轉(zhuǎn)化為介質(zhì)中的極化能.由圖線的對稱性可知，在電場的一個變化周期內(nèi)，介質(zhì)對電場做的功等于電場對介質(zhì)做的功.雖然介質(zhì)和電場不斷交換能量，但介質(zhì)從電場中吸收的能量等于交還給電場的能量，介質(zhì)中沒有出現(xiàn)極化能量的損耗.

圖2 線性電介質(zhì)中簡諧電場和極化強(qiáng)度隨時間的變化關(guān)系Fig.2 Relationships of polarization oflinear dielectric and electric field with time

磁介質(zhì)通?？煞譃轫槾刨|(zhì)、抗磁質(zhì)和鐵磁質(zhì)3類.順磁質(zhì)和抗磁質(zhì)屬于各向同性的線性弱磁質(zhì).多數(shù)磁介質(zhì)是順磁質(zhì)，相對磁導(dǎo)率在10-4～10-5之間；少數(shù)磁介質(zhì)是抗磁質(zhì)，相對磁導(dǎo)率在負(fù)的10-5～10-6之間.在弱磁質(zhì)中有M=(μr-1)H，與電介質(zhì)相同的分析方法可以得出相同的結(jié)論，即在變化的外場中，單值磁介質(zhì)中不會出現(xiàn)磁化能量耗散.因此可以得出這樣的結(jié)論：單值(線性)介質(zhì)中不會出現(xiàn)極化和磁化能量損耗.

2.2 各向同性非單值介質(zhì)

在非單值電介質(zhì)中，當(dāng)外電場變化時，由于存在阻礙電偶極矩運(yùn)動的各種阻尼作用，極化強(qiáng)度的變化跟不上電場的變化，稱為弛豫現(xiàn)象.描寫介質(zhì)性質(zhì)的相對介電常數(shù)εr不僅隨電場變化，而且還與極化歷史有關(guān)，極化強(qiáng)度P與場強(qiáng)E之間沒有簡單的函數(shù)關(guān)系.在交變電場中P隨E的變化穩(wěn)態(tài)時如圖3所示，當(dāng)E沿正向增大時，P沿曲線abc隨之增大，但當(dāng)E減小時，P沿曲線cde減小.在E沿正向增大的過程中，E>0，dP>0，EdP>0，表示電場對電介質(zhì)做功，電場能轉(zhuǎn)換為介質(zhì)中的極化能，電場對單位體積介質(zhì)做的功等于閉合曲線abcsa包圍的面積.但在E減小的過程中，E>0，dP<0，EdP<0，表示電介質(zhì)對電場做功，只有數(shù)量等于閉合曲線csdc包圍的面積的極化能轉(zhuǎn)換為電場能.因此，在電場E從正向增大到減小的過程中，將有數(shù)量等于閉合曲線abcda包圍面積的能量被電介質(zhì)不可逆的消耗，這部分能量被轉(zhuǎn)換為電介質(zhì)的熱能.電場沿反向變化，能量轉(zhuǎn)化關(guān)系與正向變化相同.如果電場做周期性變化，一個變化周期內(nèi)被單位體積電介質(zhì)消耗的能量等于閉合曲線abcdefa包圍的面積，也就是積分值∮EdP.閉合曲線abcdefa可以稱為電滯曲線，該曲線包圍的面積決定了單位體積電介質(zhì)消耗電磁能量的多少.

如果外場為簡諧電場E=E0cosωt，在非線性介質(zhì)中極化強(qiáng)度P落后場強(qiáng)一個相位角φ，P=P0·cos(ωt-φ)；相應(yīng)電位移矢量D落后場強(qiáng)一個相位角δe，D=D0cos(ωt-δe).利用D=ε0E+P容易證明，如果φ是一個正數(shù)，δe也是一個正數(shù).場強(qiáng)和極化強(qiáng)度隨時間的變化如圖4所示.與線性介質(zhì)中的變化曲線圖2相比，非線性介質(zhì)中的變化曲線有兩個明顯的特點(diǎn)，一是增加了一個區(qū)域(最左側(cè)i區(qū))，在該區(qū)域EdP>0，表示電場對電介質(zhì)做功，電場能量轉(zhuǎn)換為介質(zhì)中的極化能；二是介質(zhì)對電場做功的區(qū)域(Ⅰ和Ⅲ)被壓縮，而電場對電介質(zhì)做功的區(qū)域(Ⅱ和Ⅳ)被擴(kuò)展，這意味著極化能轉(zhuǎn)化為電場能減少，而電場能量轉(zhuǎn)化為介質(zhì)中的極化能增加.因此在電場的一個變化周期內(nèi)，電場能轉(zhuǎn)換為介質(zhì)中極化能要多于極化能轉(zhuǎn)換為電場能，有一部分能量被介質(zhì)吸收消耗，轉(zhuǎn)化為介質(zhì)中的熱能.

(10)

圖3 非單值電介質(zhì)中極化強(qiáng)度隨交變電場的變化Fig.3 Relationship between polarization of non-single-value dielectric and electric field

圖4 非線性電介質(zhì)中簡諧電場和極化強(qiáng)度隨時間的變化關(guān)系Fig.4 Relationships of polarization of nonlinear dielectric and electric field with time

3 電磁能量損耗的瞬時值

式(3)右側(cè)第1項表示介質(zhì)空間中電場能量密度的變化率，將該項改寫為

(11)

就是電介質(zhì)中消耗的電場能量功率密度的瞬時值(轉(zhuǎn)變?yōu)闊?.將式(3)右側(cè)第2項作分解,

右側(cè)第1項和第2項分別表示磁場能量密度和存儲在介質(zhì)空間中的磁化能量密度的瞬時值，而后2項

(12)

就是磁介質(zhì)中消耗的磁場能量功率密度的瞬時值.式(11)和(12)清楚地表明，產(chǎn)生電磁能量損耗的原因是，極化強(qiáng)度P的變化跟不上外電場E的變化，磁化強(qiáng)度M的變化跟不上外磁場H的變化.導(dǎo)電損耗的瞬時功率密度由式(7)給出.

4 結(jié)論

介質(zhì)中的電磁能量被分為電(磁)場能量和極(磁)化能量.利用電場對運(yùn)動電荷做功導(dǎo)出了介質(zhì)中的能量密度，極化能量密度的微分(極化功)等于電場強(qiáng)度與極化強(qiáng)度微分的乘積，磁化能量密度的微分(磁化功)等于磁場強(qiáng)度與磁化強(qiáng)度微分的乘積.在交變電磁場作用下，線性介質(zhì)中的極(磁)化能與電(磁)場能量進(jìn)行可逆的相互轉(zhuǎn)換，沒有電磁能量損耗.在非線性(非單值)介質(zhì)中，由于各種阻尼作用，電(磁)偶極子的轉(zhuǎn)動跟不上外場的變化，出現(xiàn)弛豫損耗，部分電磁能量被不可逆地轉(zhuǎn)換為熱能.電磁能量損耗功率密度決定于介質(zhì)相對介電常數(shù)(相對磁導(dǎo)率)的虛部、電導(dǎo)率、外場頻率和外場強(qiáng)度.電磁場能量密度變化的瞬時值可以分解為電磁場能量密度、極(磁)化能量密度和電磁損耗功率密度3部分.

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