高等數(shù)學(xué)中一些重要概念間關(guān)系的辨析*

任 峰

(蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 江蘇 蘇州 215104)

高等數(shù)學(xué)是一門(mén)理論性、邏輯性較強(qiáng)的公共基礎(chǔ)課，故高數(shù)中的概念具有嚴(yán)密、精確、高度概括、抽象的特點(diǎn)，往往使學(xué)生難以掌握[1]。而且高數(shù)擁有一個(gè)完整的知識(shí)體系，知識(shí)點(diǎn)的安排由淺入深、層層深入，新概念是對(duì)已有概念的繼承、發(fā)展和完善。很多學(xué)生由于前繼知識(shí)掌握不牢固，后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)更是難上加難，概念學(xué)的越多思維就越紊亂。即使有的概念學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候掌握較好，但在學(xué)了相關(guān)聯(lián)的新概念后，會(huì)對(duì)已掌握的知識(shí)造成一種干擾，對(duì)知識(shí)的掌握形成負(fù)效應(yīng)，這種現(xiàn)象在教學(xué)中屢見(jiàn)不鮮。因此教師在教學(xué)中既要注重概念教學(xué)，更要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)如何辨析相關(guān)概念之間的關(guān)系，這樣不僅有助于學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)概念，而且能讓學(xué)生將高數(shù)作為一個(gè)知識(shí)體系前后聯(lián)系起來(lái)，提高學(xué)習(xí)效率。

1 連續(xù)與間斷

圖1 函數(shù)連續(xù)性

從以上兩個(gè)函數(shù)圖像可以看出f(x)圖像只不過(guò)在x0處發(fā)生了間斷，就像從一條連續(xù)曲線(xiàn)上挖掉了一個(gè)點(diǎn)，補(bǔ)上一點(diǎn)即是一條完整的連續(xù)曲線(xiàn)，故這兩種情形x0被稱(chēng)為可去間斷點(diǎn)。

以上分析過(guò)程環(huán)環(huán)相扣，在函數(shù)間斷點(diǎn)的概念教學(xué)時(shí)串聯(lián)了極限、連續(xù)的概念，在學(xué)習(xí)間斷概念的同時(shí)，更加深了對(duì)連續(xù)的理解。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法能讓學(xué)生對(duì)間斷點(diǎn)的分類(lèi)有直觀(guān)的印象，達(dá)到很好的教學(xué)效果。

2 連續(xù)與一致連續(xù)

一致連續(xù)是微積分教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生往往不理解其與連續(xù)之間的區(qū)別。

定義2 ?ε>0，?x0∈I,?δ>0,當(dāng)|x-x0|<δ，有|f(x)-f(x0)|<ε，則f(x)在I上連續(xù)。

定義3 ?ε>0,?δ>0,?x′,x″∈I,當(dāng)|x′-x″|<δ，有|f(x′)-f(x″)|<ε，則f(x)在I上一致連續(xù)。

從定義的字面描述可以看出，連續(xù)是針對(duì)區(qū)間I上某一個(gè)x0而言的，而一致連續(xù)是針對(duì)整個(gè)區(qū)間的。事實(shí)上連續(xù)定義中的δ與ε和x0都有關(guān)系，故可記成δ=δ(ε,x0)，只要x∈I，且|x-x0|<δ，就有|f(x)-f(x0)|<ε。那進(jìn)一步是否能做到δ只和ε有關(guān)而和x0無(wú)關(guān)，即存在I上所有點(diǎn)的公共的δ，若存在則f(x)在I上一致連續(xù)[3]。所以連續(xù)是局部性質(zhì)，一致連續(xù)是整體性質(zhì)。f(x)在I上一致連續(xù)可推出f(x)在I上連續(xù)，反之不一定成立。但如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)則一定一致連續(xù)。

例1 考察f(x)=x2在(0,+∞)上的連續(xù)性和一致連續(xù)性。

3 連續(xù)與可導(dǎo)

對(duì)于一元函數(shù)f(x)在x0可導(dǎo)，則在x0連續(xù)。因?yàn)閒(x)在x0可導(dǎo)，則在x0成立有限增量公式：Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)，令Δx→0，則Δy→0，即f(x)在x0連續(xù)。但可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件并非必要條件。

對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)連續(xù)與在該處偏導(dǎo)數(shù)存在與否無(wú)關(guān)。

4 可導(dǎo)與可微

對(duì)于二元函數(shù)可微的條件比可導(dǎo)強(qiáng)。即f(x,y)在(x0,y0)可微則該處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，反之不成立。加強(qiáng)條件，若fx與fy在(x0,y0)連續(xù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微。

證：易知：fx(0,0)=fy(0,0)=0，說(shuō)明函數(shù)在原點(diǎn)可導(dǎo)。

若f(x,y)在(0,0)可微，則

5 結(jié) 語(yǔ)

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)研究表明，學(xué)生的知識(shí)、概念如不經(jīng)整理、區(qū)分，雜亂地放在腦子里是很難被掌握的[4]。因此，在注重概念教學(xué)的同時(shí)更要注重相關(guān)聯(lián)概念間的辨析教學(xué)，這樣能讓知識(shí)點(diǎn)的前后串聯(lián)起來(lái)，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解更加深刻。在概念教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合和反例法是很好的教學(xué)手段，其能彌補(bǔ)高數(shù)概念過(guò)于抽象的不足，從而將抽象的數(shù)學(xué)概念教活，達(dá)到事半功倍之效。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊雨慧.談高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)[J].南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2003(04):79-80.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育教育出版社,1997:89-90.

[3] 姚玉平,馬仲海.數(shù)學(xué)分析中幾個(gè)“一致”的概念淺析[J].西北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1997(02):53-56.

[4] 王 靜.高職數(shù)學(xué)概念教學(xué)初探[J].福建高教研究,2010(03):86-88.