“人—船”模型的教學(xué)研究

何述平

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所,甘肅 蘭州 730070)

1 引言

模型方法是物理學(xué)的重要研究方法,也是物理問題的基本而有效的解決方法.如何運(yùn)用模型方法,“人—船”模型具有典型性,且對其已有不少討論［1－5］;但似乎有模糊之處、令人費(fèi)解之處.若從大學(xué)普通物理居高臨下地審視“人—船”模型問題,其物理實(shí)質(zhì)究竟怎樣？中學(xué)物理范圍內(nèi)怎樣合理地解決？有哪些可行的解法？各解法有何特點(diǎn)？本文對此作相應(yīng)探討,以期疑惑的解釋,提供合理運(yùn)用模型方法的理論依據(jù),并為“人—船”模型開放探究式的教學(xué)設(shè)計奠定基礎(chǔ).

圖1

2 探討

為明晰起見,先簡述“人—船”模型問題,再做兩個層次的細(xì)致探討.

2.1“人—船”模型

質(zhì)量為M、長為L的小船位于湖水上,質(zhì)量為m的人站在船頭,最初人和船都靜止,如圖1.當(dāng)人從船頭走到船尾時,小船移動了多少距離？(不計水對船的阻力)

將人、船視為系統(tǒng),水平方向所受合外力為零,則水平方向動量守恒;以水平向右為正向,sm、sM分別為人、船相對于湖岸的位移大小,如圖1,則有［1］

由(1)～(4)式得

sM即為小船相對湖岸移動的距離.

或在式(1)的基礎(chǔ)上引入平均速度［2］或“平均動量”［3－5］,從而用平均速度表達(dá)式(1)、(2)、(3),再結(jié)合式(4),得到與式(5)、(6)一致的結(jié)果.

2.2 實(shí)質(zhì)探討

式(2)、(3)或用平均速度表達(dá)式(1)、(2)、(3)(v、V是瞬時速度),合理否？或許從大學(xué)普通物理居高臨下地審視“人—船”模型問題,對明確其實(shí)質(zhì)會更有益.

大學(xué)普通物理中可見到的、與“人—船”模型實(shí)質(zhì)相同的有“人—車”模型［6］、“狗—船”模型［7］,且有動量守恒的式(1)和相對位移大小的式(4).由式(1)對時間0～t積分(t為人從船頭走到船尾的時間)得

再結(jié)合式(4),得同(5)、(6)的結(jié)果(還可運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動定理求解,得相同的結(jié)果).

因速度對時間的積分為位移,則無論人、船相對于湖岸做何種直線運(yùn)動(勻變速、非勻變速直線運(yùn)動),式(7)在大學(xué)普通物理上均成立,即具有一般性.由受力分析、牛頓定律知,人、船的相互作用力即摩擦力,既可是恒力,也可是變力.這樣,人、船相對于湖岸只可能做勻變速或非勻變速直線運(yùn)動,不可能做勻速直線運(yùn)動.因此,式(2)、(3)明顯是不合理的［因式(2)、(3)意味著人、船相對于湖岸做勻速直線運(yùn)動］.

用平均速度表達(dá)式(1)、(2)、(3),貌似合理,實(shí)則不然.從物理概念看,有平均速度的概念(平均速度是位移與對應(yīng)時間之比,對應(yīng)著時間,可理解為等效的勻速的速度),而似乎沒有“平均動量”的概念(動量是狀態(tài)量,對應(yīng)著時刻,動量的時間變化率等于力,動量的增量等于沖量,沖量與對應(yīng)時間的比為平均力,均有明確的物理意義.然而,動量對時間積分、再取時間平均,從數(shù)學(xué)形式看好像是“平均動量”,但從物理實(shí)質(zhì)看,動量對時間的積分沒有意義).因此,單獨(dú)審視用平均速度表達(dá)式(2)、(3),是合理的(位移等于平均速度與時間之積,對應(yīng)著時間),但若用平均速度表達(dá)式(1),則沒有物理意義.而且用平均速度表達(dá)式(2)、(3)及式(1)(進(jìn)而出現(xiàn)了沒有物理意義的“平均動量”)的目的是聯(lián)立計算位移,則用平均速度表達(dá)式(2)、(3)又顯得不合理.

運(yùn)用動量守恒定律的意圖是避開所研究問題的系統(tǒng)經(jīng)歷過程的細(xì)節(jié)和系統(tǒng)內(nèi)可能復(fù)雜的相互作用,直接考慮系統(tǒng)過程的始末態(tài)的動量,從而使問題解決更簡捷［8］.因此,“人—船”模型問題的解決首選運(yùn)用動量守恒定律.然而,從以上探討知,由動量守恒即式(1)求位移,不得不用積分(目前中學(xué)基礎(chǔ)物理不涉及).為了避免積分,想當(dāng)然地認(rèn)為有式(2)、(3)或用平均速度表達(dá)式(1)、(2)、(3),但這是不合理的.結(jié)果的式(5)、(6)卻是合理的.

從能量方面看,對“人—船”模型,人體的化學(xué)能通過摩擦力做功轉(zhuǎn)化為人和船的動能.

2.3 教學(xué)探討

中學(xué)物理中怎樣合理解決“人—船”模型問題呢？結(jié)合中學(xué)物理教學(xué)的特點(diǎn),探究、概括出以下4種可行的解法,并作必要的討論.

2.3.1 中學(xué)物理的解法

解法1:動量守恒定律＋勻變速直線運(yùn)動速度規(guī)律法.

人、船視為系統(tǒng),則水平方向動量守恒,有式(1)、(4).人、船間的摩擦力視作恒力,則人、船相對湖岸做勻變速直線運(yùn)動.依據(jù)勻變速直線運(yùn)動速度規(guī)律有(大小關(guān)系)

其中t為人從船頭走到船尾的時間,v、V分別是t時刻時人、船的瞬時速度.由式(1)、(4)和式(8)、(9)也得式(5)、(6)的結(jié)果.

人、船視為系統(tǒng),則水平方向動量守恒,有式(1)、(4).人、船間的摩擦力f和f′(水平方向)視作恒力.依據(jù)動能定理、牛頓第三定律有(大小關(guān)系)

由式(1)、(4)和式(10)～(12)也得式(5)、(6)的結(jié)果.

解法3:勻變速直線運(yùn)動位移規(guī)律＋牛頓第二、三定律法.

人、船分別為研究對象,人、船間的摩擦力f和f′(水平方向)視作恒力.人、船相對湖岸做勻變速直線運(yùn)動.依據(jù)勻變速直線運(yùn)動位移規(guī)律、牛頓第二、三定律有(大小關(guān)系)

和式(12)、式(4).由式(13)～(16)和式(12)、式(4)也得式(5)、(6)的結(jié)果.

解法4:動量守恒定律＋勻變速直線運(yùn)動速度－位移規(guī)律＋牛頓第二、三定律法.

人、船視為系統(tǒng),則水平方向動量守恒,有式(1)、(4).人、船間的摩擦力f和f′(水平方向)視作恒力,則人、船相對湖岸做勻變速直線運(yùn)動.依據(jù)勻變速直線運(yùn)動速度－位移規(guī)律、牛頓第二、三定律有(大小關(guān)系)

和式(15)、(16)、(12).由式(17)、(18)和式(15)、(16)、(12)及式(1)、(4)也得式(5)、(6)的結(jié)果.

第三步：在單路徑饋線恢復(fù)方案施行后，配電網(wǎng)的初始狀態(tài)發(fā)生變化，對第二階段主變負(fù)載率進(jìn)行修改，通過MOPSO算法求解數(shù)學(xué)模型，計算多路徑饋線的最小恢復(fù)供電時間以及最大恢復(fù)供電能力。

2.3.2 解法的討論

“人—船”模型問題的4種可行解法所運(yùn)用的物理基本規(guī)律如各解法所注,并以此稱謂各解法,構(gòu)成各解法的中學(xué)物理理論依據(jù),作為各解法的特點(diǎn)之一.從處理物理問題基本方法看,4種可行解法都運(yùn)用了理想化法(理想化對象——質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)組即系統(tǒng),理想化過程——勻變速直線運(yùn)動)［9］;從物理學(xué)方法論看,解法1、2、4運(yùn)用了綜合—分析法［9］(即系統(tǒng)—隔離法),解法3運(yùn)用了分析法(即隔離體法);作為各解法的特點(diǎn)之二.

比較“人—船”模型問題的4種可行解法,可知簡捷程度(由簡到繁)依次為解法1、解法2、解法3(此法雖相對較繁,但物理分析透徹、物理過程清晰)、解法4.

3 教學(xué)建議

依據(jù)2.2、2.3,先給出“人—船”基本模型問題的教學(xué)建議,再探討一個“人—船”變形模型問題的實(shí)質(zhì),并據(jù)此提出相應(yīng)教學(xué)建議.

3.1 基本模型的教學(xué)建議

對“人—船”基本模型問題,雖然可以根據(jù)中學(xué)物理的具體教學(xué)內(nèi)容、合理教學(xué)目標(biāo)和可行解法特點(diǎn),具體選擇開放探究式教學(xué)方法,但應(yīng)將重點(diǎn)放于一題多解,因?yàn)檫@樣才可體現(xiàn)開放與探究,才可多角度進(jìn)而有效地理解物理基本過程,鞏固、深化、活化物理基本規(guī)律,領(lǐng)悟物理基本方法,從而提升分析解決問題的能力,并為變形模型問題的解決奠定良好的基礎(chǔ).

3.2 變形模型的教學(xué)建議

3.2.1 問題探討

某人在靜止于湖水的船上練習(xí)射擊,人在船的一端,靶置于船的另一端,槍口到靶的距離為L,船、人、槍、靶的總質(zhì)量為M,槍內(nèi)另裝有質(zhì)量均為m的子彈n顆.發(fā)射后一子彈時,前一子彈已嵌入靶中.求全部子彈射入槍靶后,船移動的距離.(不計水對船的阻力)

將子彈與船、人、槍、靶視為系統(tǒng),每次發(fā)射時系統(tǒng)的總動量為零,認(rèn)為一次發(fā)射質(zhì)量為nm的全部子彈與依次發(fā)射質(zhì)量均為m的n顆子彈等效;然后與“人—船”模型對應(yīng)得

此解法合理否？憑直覺似乎合理,但具體推理則表明不合理.現(xiàn)詳細(xì)推證如下.

第1次發(fā)射,將第1顆子彈與n－1顆子彈、船、人、槍、靶視為系統(tǒng),水平方向不受外力,則系統(tǒng)動量守恒,有

然后,子彈m和n－1顆子彈、船、人、槍、靶［M＋(n－1)m］分別以v和V做勻速直線運(yùn)動(忽略重力對子彈的作用),則位移大小分別為

其中t為子彈從槍口到射入槍靶的時間.由相對位移大小關(guān)系,有

由式(19)～(22)得

對子彈射入槍靶,依據(jù)動量守恒有

表明子彈射入槍靶后,系統(tǒng)的總動量為零,相對湖岸的速度均為0.

第2次發(fā)射,過程同第1次發(fā)射,也有同(19)～(24)的表達(dá)式.不難想見,第i次發(fā)射,過程也同第1次發(fā)射,有(19)～(24)的表達(dá)式.因此,第n顆子彈射入槍靶后,船移動的距離為

從能量角度看,彈藥的化學(xué)能通過彈藥燃爆產(chǎn)生的力做功轉(zhuǎn)化為子彈m和n－1顆子彈、船、人、槍、靶［M＋(n－1)m］的動能,然后通過子彈與槍靶間的摩擦力做功轉(zhuǎn)化為它們的內(nèi)能.

3.2.2 教學(xué)建議

由3.2.1知,導(dǎo)致謬誤的根本原因是物理過程未清晰,盲目對應(yīng)、籠統(tǒng)“對號入座”.因此,對“人—船”變形模型問題,應(yīng)突出物理基本過程的分析,因?yàn)檫@樣才可確定能否與“人—船”基本模型對應(yīng);若物理基本過程不盡相同,則應(yīng)考慮變通,因?yàn)椴煌奈锢砘具^程一般遵循不同的物理基本規(guī)律.所以,對“人—船”變形模型問題,雖然也可根據(jù)中學(xué)物理的具體教學(xué)內(nèi)容、合理教學(xué)目標(biāo),具體選擇開放探究式教學(xué)方法;但應(yīng)既關(guān)注相同與對應(yīng),又關(guān)注不同與變通,即應(yīng)將重點(diǎn)放于“對應(yīng)—變通”.

4 結(jié)語

本文的“人—船”基本模型問題和變形模型問題的實(shí)質(zhì)探討,澄清了相應(yīng)的模糊之處、令人費(fèi)解之處,明確了物理實(shí)質(zhì).“人—船”基本模型問題的教學(xué)探討,給出了中學(xué)物理范圍內(nèi)合理、可行的4種解法,并討論了解法的特點(diǎn)和簡捷程度.“人—船”基本模型問題和變形模型問題的教學(xué)建議,均突出了物理基本過程,因?yàn)檫@是解決物理問題的前提和基礎(chǔ);并分別就同一物理基本過程運(yùn)用相同或不同物理基本規(guī)律和不同物理基本過程,運(yùn)用不同物理基本規(guī)律提出了一題多解和“對應(yīng)—變通”的教學(xué)建議;而運(yùn)用不同的物理基本規(guī)律一般意味著采用了不同的物理基本方法.因此,對“人—船”模型問題,運(yùn)用模型方法的程序應(yīng)是:物理基本過程→物理基本規(guī)律→物理基本方法.這應(yīng)是合理運(yùn)用模型方法的理論依據(jù)之一.

1 閻金鐸,田世昆.中學(xué)物理教學(xué)概論(第2版).北京:高等教育出版社,2003.151

2 劉炳升.走進(jìn)高中新課改:物理教師必讀.南京:南京師范大學(xué)出版社,2005.149—153

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4 陳剛.物理教學(xué)設(shè)計.上海:華東師范大學(xué)出版社,2009.144—146

5 陳剛,舒信隆.問題圖式在物理問題解決教學(xué)中的應(yīng)用.課程·教材·教法,2009,29(7):57—61

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7 惲瑛,朱君哲,舒素珍.哈里德物理學(xué)習(xí)題解答(第1卷).北京:科學(xué)出版社,1985.196—197

8 漆安慎,杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ).北京:高等教育出版社,1982.173

9 張憲魁,李曉林,陰瑞華.物理學(xué)方法論.杭州:浙江教育出版社,2007.106,78