一道天體競賽題的解法

鄭 金

(凌源市職教中心,遼寧 朝陽 122500)

圖1

例題.假設(shè)地球是一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體,在地球的東半球北緯30°的a處開一條穿過地軸的隧道直通西半球北緯30°的b處,如圖1所示.在出口a、b處分別將質(zhì)量為M和m的兩個(gè)物體同時(shí)由靜止釋放,已知M＝1.5m,取地球半徑R＝6400km,隧道是光滑的,兩物體間的碰撞是彈性的,忽略空氣阻力和地球轉(zhuǎn)動(dòng)的影響,問物體m從b處出來后飛離地面的最大高度和射程各為多少？以無窮遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為0,距地面高度為H處物體的引力勢(shì)能為在地球內(nèi)部距地心為r處的引力勢(shì)能公式為式中G為萬有引力恒量,M0為地球質(zhì)量,R為地球半徑.

解析:首先應(yīng)用機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律求m從b處飛出時(shí)的速度.物體在地球內(nèi)部的直線運(yùn)動(dòng)過程和在地球外部的曲線運(yùn)動(dòng)過程,都遵循機(jī)械能守恒定律,但物體在地球內(nèi)外的引力勢(shì)能公式不同.設(shè)隧道中點(diǎn)c到地心O的距離為h,物體在此點(diǎn)時(shí)的速度為u0,則當(dāng)物體在由洞口a運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)c的過程中,由機(jī)械能守恒定律有

由此得

物體在地面處的重力為

由(2)、(3)式得

由(4)式知,物體到達(dá)隧道中點(diǎn)c時(shí)的速度與其質(zhì)量無關(guān).

當(dāng)兩個(gè)物體M和m分別在洞口a、b處由靜止同時(shí)釋放時(shí),由于它們的運(yùn)動(dòng)情況完全相同,將同時(shí)到達(dá)隧道中點(diǎn)c處,并發(fā)生彈性碰撞.碰撞前,二者的速度都為u0,方向相反,剛碰撞后,兩物體M和m的速度分別為v1和v2,取從a→b的方向?yàn)檎较?由動(dòng)量守恒定律有

由機(jī)械能守恒定律有

由(5)、(6)式解得

設(shè)物體m運(yùn)動(dòng)到洞口時(shí)的速度大小為v2′,由機(jī)械能守恒定律有

聯(lián)立(3)、(7)、(8)式解得

而

這就是物體從洞口飛出時(shí)的初速度.

下面求最大高度.

圖2

方法1:應(yīng)用機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量守恒定律.

物體m以v0＝v2′的速度從b處飛出后,在地心引力的作用下沿著橢圓軌道運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示.設(shè)最高點(diǎn)到地面的垂直距離為H,在最高點(diǎn)即遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速度為v3,由機(jī)械能守恒定律有

把GM0＝R2g＝Rv2代入得

由角動(dòng)量守恒有

由(13)、(14)式消去v3得

再由(11)式可得

方法2:應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、角動(dòng)量守恒定律和橢圓知識(shí).

圖3

如圖3所示,導(dǎo)彈沿著橢圓軌道運(yùn)動(dòng),地心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,在出射點(diǎn)A的速度為v0,利用繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)物體的機(jī)械能總量公式由機(jī)械能守恒定律有.

設(shè)導(dǎo)彈在最高點(diǎn)B的速度為v3,由萬有引力提供向心力得

下面求最大射程.

對(duì)A點(diǎn)有得則

由sm＝R·2β算出最大射程為sm＝4650.24km.若取