數(shù)列中的“鵲橋”

龍影

數(shù)列{a}的通項(xiàng)a與前n項(xiàng)和S的綜合問(wèn)題，是數(shù)列中的一類熱點(diǎn)問(wèn)題.解答此類問(wèn)題，須在a與S之間架起一座“鵲橋”，使二者能互相轉(zhuǎn)化，能擔(dān)此重任者是關(guān)系式a=S，n=1S-S，n＞1，大凡a與S的綜合問(wèn)題，都要用這個(gè)“鵲橋”公式解答，下面舉例說(shuō)明.

一、已知S求a

例1：已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S=2+n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

分析：運(yùn)用關(guān)系式a=S，n=1S-S，n＞1求解，不要忘記檢驗(yàn)a.

解：因?yàn)镾=2+n，所以當(dāng)n＞1時(shí)，a=S-S=2+n-（2+n-1）=2+1.

又因?yàn)閍=S=2+1=3，而2+1=2≠a，所以a不適合a=2+1.

所以a=3，n=12+n，n＞1.

評(píng)注：已知S，可用a與S的關(guān)系式a=S，n=1S-S，n＞1求a.求解時(shí)，一個(gè)常見(jiàn)錯(cuò)誤就是忽視檢驗(yàn)a是否適合求出的通項(xiàng)公式.要避免此類錯(cuò)誤，同學(xué)們要牢記：a的“真值”是S，因?yàn)檫@個(gè)值是已知條件賦予的.若a的值不適合求出的通項(xiàng)公式，則需把通項(xiàng)公式分段表示.

二、已知a與S的關(guān)系式求S

例2：已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，a=2，S=（n+1）a（n∈N），求S.

分析：用a=S-S代換其中的a，從而消去a，進(jìn)而可求S.

解：把a(bǔ)=S-S代入S=（n+1）a，得S=（n+1）（S-S），整理得=.

所以··…·=··…·=，所以=.

又因?yàn)镾=a=2，所以S=n+1.

評(píng)注：已知a與S的關(guān)系式求S，只需用a=S-S代換其中的a，從而消去a，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于S的遞推式，即可求數(shù)列{S}的通項(xiàng)公式，這個(gè)通項(xiàng)公式即為S的表達(dá)式.

三、已知a與S的關(guān)系式求a

例3：已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，且滿足S=2a-2（n∈N），則a=.

分析：欲求a，需消去S，可根據(jù)S=2a-2再寫(xiě)出一個(gè)式子S=2a-2，然后兩式作差，即可消去S，進(jìn)而可求a.

解：因?yàn)镾=2a-2①，所以S=2a-2（n＞1）②，①-②得a=2a-2a，即a=2a（n＞1），所以數(shù)列{a}是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，由S=a=2a-2，解得a=2.

所以a=2.

評(píng)注：已知a與S的關(guān)系式求a，只需寫(xiě)出當(dāng)n=n-1時(shí)的關(guān)系式，然后用條件式減此式，再運(yùn)用關(guān)系式a=S，n=1S-S，n＞1消去S，進(jìn)而求a.在此類問(wèn)題中，雖然也有n＞1這一要求，但無(wú)需檢驗(yàn)a.這是因?yàn)?，由求解過(guò)程可知，a已經(jīng)是這個(gè)等比數(shù)列的一項(xiàng)了，它一定適合這個(gè)通項(xiàng)公式.若上述求法不能奏效，則可先用例2的方法求S，再代入a與S的關(guān)系式求a.

四、轉(zhuǎn)化條件式

例4：設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為q，前n項(xiàng)和為S，若S，S，S成等差數(shù)列，則q的值為.

分析：S，S，S成等差數(shù)列，即S-S=S-S，把此式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系式，即可求公比.

解：因?yàn)镾，S，S成等差數(shù)列，所以S-S=S-S，所以-a=a+a，所以-2a=a，所以q==-2.

評(píng)注：本題若用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答，不但十分繁瑣，還要就q=1和q≠1進(jìn)行討論，而用a和S關(guān)系式解答，避免了小題大做，十分簡(jiǎn)捷.