基于CVaR約束的金融市場指數(shù)追蹤優(yōu)化模型及實(shí)證分析

摘要：本文基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化思想，考慮到投資者不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好以及單個(gè)資產(chǎn)的集中度、資金規(guī)模、交易成本等影響因子，建立了基于CVaR約束的新型金融市場指數(shù)追蹤優(yōu)化模型，并利用深圳成份指數(shù)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。實(shí)證結(jié)果表明本文提出的新方法能夠提高樣本外追蹤效果，從而具有較高的理論和實(shí)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：CVaR市場指數(shù)；追蹤指數(shù)；投資組合

中圖分類號(hào)：F830.59文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Ａ文章編號(hào):１００３－９０３１(２０12)04－００36－０3DOI:10.3969/j.issn.1003-9031.2012.04.09

一、引言

指數(shù)化投資組合被大多數(shù)投資者和機(jī)構(gòu)所采用。但是，面對市場上包含幾十上百種資產(chǎn)的金融市場指數(shù)，以有限的資金按照金融市場指數(shù)的構(gòu)成比例購買所有的資產(chǎn)，完全復(fù)制所追蹤的金融市場指數(shù)是比較困難的。因此，采用優(yōu)化復(fù)制方法，即通過權(quán)重的優(yōu)化再配置尋找一個(gè)含有“部分”成份資產(chǎn)的投資組合來追蹤某個(gè)特定的金融市場指數(shù)，以使其長期收益水平接近或優(yōu)于整個(gè)市場或指定版塊的收益就具有積極的現(xiàn)實(shí)意義。

從上世紀(jì)九十年代以來，一些學(xué)者在此領(lǐng)域進(jìn)行了一些有意義的探索，如Haugen和Baket（1990）采用均值—方差模型對指數(shù)追蹤問題進(jìn)行了研究[1]。Worzel和Zeniou（1994）提出通過使用效用函數(shù)懲罰追蹤誤差并最大化期望效用函數(shù)來追蹤指數(shù)[2]。Konno（1991）等在對組合優(yōu)化進(jìn)行研究時(shí)，提出了一種基于平均絕對偏差的模型，并代替?zhèn)鹘y(tǒng)的均值—方差模型[3]。陳春鋒、陳偉忠（2004）以上證180指數(shù)為標(biāo)的研究了如何構(gòu)建指數(shù)復(fù)制的數(shù)學(xué)模型，并對目前存在的幾種不同的復(fù)制方法進(jìn)行了實(shí)證分析[4]。徐凌（2009）探討了分層抽樣中行業(yè)篩選的問題[5]。對指數(shù)追蹤的研究盡管豐富，但研究角度都是基于追蹤偏差（即經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)）最小，沒有考慮在實(shí)際運(yùn)作中，對于投資者來說，收益率高于所追蹤的金融市場指數(shù)收益并不算是風(fēng)險(xiǎn)，僅僅當(dāng)收益率低于所追蹤的金融市場指數(shù)收益時(shí)才有風(fēng)險(xiǎn)，可能會(huì)造成損失。Rockafellar和Uryasev（2000）提出了條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR[6]，回答了投資者關(guān)心的在進(jìn)行投資組合決策時(shí)，怎樣在現(xiàn)有的資產(chǎn)因子中配置資源使得投資組合與其追蹤的金融市場指數(shù)偏差大于某個(gè)給定偏差時(shí)的平均偏差最小的問題。本文構(gòu)建基于CVaR約束并考慮單個(gè)資產(chǎn)集中度、資金規(guī)模、交易成本等影響因子的金融市場指數(shù)追蹤優(yōu)化模型。最后，利用深圳成份指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)對提出的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明該模型具有良好的泛化能力，很大程度上降低了樣本外追蹤偏差，同時(shí)提高了模型的魯棒性。

二、問題描述

金融市場指數(shù)追蹤優(yōu)化問題是指從P種資產(chǎn)（一般是標(biāo)的金融市場指數(shù)的成份資產(chǎn)）中選出n種資產(chǎn)構(gòu)建一個(gè)投資組合，并使得該組合相對標(biāo)的金融市場指數(shù)的一些考核標(biāo)準(zhǔn)更優(yōu)。為了評價(jià)追蹤組合的優(yōu)劣，選取目標(biāo)金融市場指數(shù)和備選資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)，又稱測試數(shù)據(jù)集，并將其分為樣本內(nèi)和樣本外，即t=1，……，T的數(shù)據(jù)為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，t=T+1，……，T+L的數(shù)據(jù)為樣本外數(shù)據(jù)。通過樣本內(nèi)的數(shù)據(jù)，依據(jù)模型確定最優(yōu)追蹤組合，利用樣本外數(shù)據(jù)評價(jià)追蹤組合的追蹤效果。

假定投資者的投資組合p由si（i=1，……，n）種資產(chǎn)構(gòu)成，I為要追蹤的標(biāo)的金融市場指數(shù)。t=1，……，T的數(shù)據(jù)是基于歷史時(shí)期的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，來考察投資組合與標(biāo)的金融市場指數(shù)的價(jià)值變化，t=T+1代表一個(gè)決策時(shí)點(diǎn)，在該時(shí)點(diǎn)把當(dāng)前投資組合調(diào)整為一個(gè)新的追蹤組合。x0=（x01，……，x0n）是初始時(shí)n種資產(chǎn)持有量，x=（x1，……xn）為決策變量（即待求變量），代表T+1時(shí)點(diǎn)資產(chǎn)s=（s1，……，sn）的持有數(shù)量；Pit代表t（t=1，……，T）時(shí)刻資產(chǎn)si（i=1，……，n）的價(jià)格，則資產(chǎn)si在t時(shí)刻的對數(shù)收益率為rit=ln（pit/pi，t-1）；則投資組合p的對數(shù)收益率為rt=∑ni=1（ritpiTxi/∑ni=1iTxi），It為指數(shù)I在時(shí)刻t的點(diǎn)位，則指數(shù)在時(shí)刻t的對數(shù)收益率Rt=ln[It/It-1]。定義zt=Rt-tt為投資組合p與金融市場指數(shù)兩者之間的偏差變量。為合理度量投資組合p追蹤金融市場指數(shù)i的風(fēng)險(xiǎn)，采用在一定的置信水平下，偏差zt=Rt-rt超過某個(gè)給定偏差的平均值CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)的度量。

CVaR可以用下面的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示：

CVaR?茁=VaR?茁+E[f（x，p）-VaR?茁]|[f（x，p）>VaR?茁]

其中：x=（x1，……，xn）T表示n種資產(chǎn)的持有量向量；p=（p1，……，pn）T表示引起投資組合與追蹤指數(shù)發(fā)生偏差的市場因子，如資產(chǎn)價(jià)格；f（x，p）表示投資組合的平均偏差函數(shù)；?茁表示置信水平。通過構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)解決計(jì)算問題，對任意的?綴R，輔助函數(shù)近似表示為：

F?茁（x，）=+∑Tt=1[f（x，pt）-]+

將其線性化，則F?茁（x，）可表示為：

+∑Tt=1zt

zt≥f（x，p）-，zt≥0 t=1，……T

需要考慮的其它約束條件有：

（一）組合內(nèi)單個(gè)資產(chǎn)的集中度。即組合內(nèi)單個(gè)資產(chǎn)的持有數(shù)量不得超過一定的比例，也不能小于一定的比例。即k∑ni=1piTxi≤piTxi≤bk∑ni=1piTxi，k=1，……，n。其中，k為投資組合中資產(chǎn)sk的最小持有比例；bk為投資組合中資產(chǎn)sk的最大持有比例，則有0≤k≤bk≤1，bk限制了投資組合中資產(chǎn)sk的風(fēng)險(xiǎn)敞口。

（二）資金規(guī)模。即持有的投資組合市值加上交易成本等于初始資金規(guī)模?！苙i=1piTxi+∑ni=1cpiT|x0i-xi|=v。其中，x0i為投資組合調(diào)整之前資產(chǎn)si的持有量；c為交易中涉及到的傭金、印花稅等費(fèi)率的綜合比例；∑ni=1cpiT|x0i-xi|為倉位調(diào)整所帶來的交易成本；v為初始資金規(guī)模，其值等于每次調(diào)整前一日收盤后的投資組合市值與因倉位調(diào)整而被調(diào)出的資產(chǎn)賣出而帶來的交易成本的差額。

（三）交易成本。即倉位調(diào)整所帶來的交易成本不能超過初始資金規(guī)模的一定比例。即0≤∑ni=1cpiT|x0i-xi|≤qv，其中q為倉位調(diào)整所帶來的交易成本最多不超過投資組合總市值的比例。

三、金融市場指數(shù)追蹤優(yōu)化模型

投資組合能夠容忍的下方追蹤偏差是由投資組合的規(guī)模和目標(biāo)及其接近于零風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的難度和成本決定的。理想狀態(tài)下，指數(shù)化投資者會(huì)在把目標(biāo)瞄向零向下追蹤偏差，期望獲得最大收益率。則均值-CVaR金融市場指數(shù)追蹤優(yōu)化模型為：

min-∑ni=1E[ri]xi

s.t.+∑Tt=1zt≤wt=1，……，T

zt≥Rt-rt-，zt≥0t=1，……，T

k∑ni=1piTxi≤piTxi≤bk∑ni=1piTxi，k=1，……，n

0≤∑ni=1piTxi+∑ni=1cpiT|x0i-xi|=v

0≤∑ni=1cpiT|x0i-xi|≤qv （1）

其中，w表示風(fēng)險(xiǎn)承受水平，通過對投資組合的置信水平?茁和風(fēng)險(xiǎn)承受水平?棕取不同的值求解上面模型，可得到指數(shù)追蹤的最優(yōu)投資組合中資產(chǎn)持有量X*。均值-CVaR金融市場指數(shù)追蹤優(yōu)化模型（1）反映了結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化的思想，在最小化經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)，最大化預(yù)測能力，最終獲得兩者間的平衡。因此，它不僅能夠較好地追蹤歷史數(shù)據(jù)，而且能夠較好地預(yù)測未來，即減小樣本外追蹤組合與目標(biāo)指數(shù)收益間的線性回歸誤差。

四、實(shí)證分析

本文根據(jù)深圳成份指數(shù)和成份股的歷史成交數(shù)據(jù)并同時(shí)考慮個(gè)股集中度、資金規(guī)模、交易成本等約束條件來構(gòu)建追蹤組合，然后進(jìn)行資產(chǎn)配置和組合模擬。

（一）樣本選取及參數(shù)設(shè)定

測試數(shù)據(jù)集采集深圳成份指數(shù)與深發(fā)展A、招商地產(chǎn)、深圳能源、云南白藥、五糧液、宏源證券、中興通訊、美的電器、中金嶺南、冀中能源10個(gè)成份股從2005年5月到2009年12月周收盤歷史數(shù)據(jù)，指數(shù)和成份股的收盤價(jià)均為229個(gè)數(shù)據(jù)。將前179個(gè)數(shù)據(jù)作為本文提出的指數(shù)追蹤模型的訓(xùn)練集，也稱為樣本內(nèi)，其余50個(gè)數(shù)據(jù)作為測試集，也稱樣本外，對本文提出的均值-CVaR金融市場指數(shù)追蹤優(yōu)化模型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)，以表明該模型的優(yōu)越性。模型中的一些參數(shù)設(shè)定如下：（1）優(yōu)化前總的投資資產(chǎn)規(guī)模為v=2000000；（2）分散化約束系數(shù)：ai，bi=0.2，i=1，……，n；（3）標(biāo)的股票的交易成本系數(shù)：c=0.003；（4）倉位調(diào)整產(chǎn)生的交易成本比例系數(shù)：q=0.0005；（5）置信水平?茁=95%和?茁=99%。

（二）實(shí)證結(jié)果

對于不同的?茁（置信水平）和w（風(fēng)險(xiǎn)承受水平），運(yùn)用序貫二次規(guī)劃法（SQP）與Matlab7.0.1求解模型（1），所得樣本內(nèi)與樣本外投資組合與指數(shù)的周平均追蹤偏差見表1：

從表1可以看出，本文建立基于CVaR約束的金融市場指數(shù)追蹤模型在樣本內(nèi)外表現(xiàn)出很好的一致性，反映了該模型良好的魯棒性。為更直觀衡量不同置信水平和風(fēng)險(xiǎn)承受水平下模型的跟蹤效果，筆者分別繪制了在?茁=95%和?茁=99%置信水平下樣本內(nèi)的指數(shù)追蹤圖（圖1、圖3）和樣本外的指數(shù)追蹤圖（圖2、圖4），為考察不同風(fēng)險(xiǎn)承受水平對追蹤效果的影響，筆者在每幅圖中都繪制了w分別為0.01和0.04情形下所對應(yīng)的追蹤曲線。

圖1、3給出的是在置信水平分別為?茁=95%和?茁=99%，風(fēng)險(xiǎn)承受水平w=0.01和w=0.04下，利用2005.05-2008.12月周收益率數(shù)據(jù)所確定的最優(yōu)投資組合在2008年1月到2008年12月的追蹤效果。總的來看，各風(fēng)險(xiǎn)承受水平所對應(yīng)追蹤曲線較好地反映了深圳成份指數(shù)的走勢，這說明模型具有很好的實(shí)用價(jià)值。具體到不同的風(fēng)險(xiǎn)承受水平對應(yīng)的追蹤曲線，所得期望收益率存在明顯差異。盡管除2008年5月的最后一周和10月的最后一周外圖中所繪制的2條追蹤曲線在各個(gè)周的收益率均高于指數(shù)收益率，但隨著風(fēng)險(xiǎn)承受水平逐步減小，收益率呈單調(diào)下降趨勢，特別是5月份以后，該趨勢表現(xiàn)尤為明顯。

圖2、4描繪的是在置信水平分別為?茁=95%和?茁=99%，風(fēng)險(xiǎn)承受水平為w=0.01和w=0.04下，基于過去三年半內(nèi)的周收益數(shù)據(jù)在2009年逐周滾動(dòng)追蹤效果，即利用過去178周股票的周收益率數(shù)據(jù)來確定最優(yōu)投資組合，然后考察在未來一周的追蹤效果。由圖2、4可知，各風(fēng)險(xiǎn)承受水平下的追蹤曲線與指數(shù)的走勢吻合，這說明模型具有相當(dāng)好的穩(wěn)健性，其在樣本外仍可較好地追蹤指數(shù)走勢。

五、結(jié) 論

與現(xiàn)有關(guān)于指數(shù)追蹤策略研究的文獻(xiàn)不同，本文從描述投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和股票市場數(shù)據(jù)的實(shí)際特征出發(fā)，構(gòu)建了一種新型金融市場指數(shù)追蹤優(yōu)化模型，采用追蹤偏差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量來刻畫投資者對追蹤風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)與偏好，同時(shí)解決了由于隨機(jī)收益分布模糊性對優(yōu)化問題求解造成的困難。實(shí)證表明，該模型計(jì)算產(chǎn)生的追蹤曲線均能較好地吻合實(shí)際指數(shù)曲線。無論是樣本內(nèi)還是樣本外，投資者風(fēng)險(xiǎn)承受水平和置信水平對追蹤效果有顯著的影響。風(fēng)險(xiǎn)承受水平越大，追蹤偏差越小；置信水平越高，追蹤偏差越大。特別是，該模型具有兩個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)，一是能夠提高樣本外的追蹤效果，二是能夠提高追蹤組合在樣本內(nèi)外表現(xiàn)的一致性，即模型具有良好的魯棒性。實(shí)證研究顯示本文給出的指數(shù)追蹤優(yōu)化模型新技術(shù)具有較高的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

（特約編輯：羅洋）

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