新視角下中國國債利率期限結(jié)構(gòu)實(shí)證比較

摘 要：對國債利率期限結(jié)構(gòu)的研究一直是金融學(xué)的重要課題之一。本文結(jié)合中國國債市場的特點(diǎn)，從新的視角提出了Nelson-Siegel擴(kuò)展模型，即通過增加多項(xiàng)式的階數(shù)來擴(kuò)展Nelson-Siegel模型。通過對上海證券交易所國債數(shù)據(jù)的實(shí)證分析，證明了當(dāng)擴(kuò)展階數(shù)為4時，該新擴(kuò)展模型對國債利率期限結(jié)構(gòu)的擬合效果優(yōu)于常用的Nelson-Siegel模型和Svensson模型。

關(guān)鍵詞：國債利率；利率期限結(jié)構(gòu)；利率曲線擬合

中圖分類號：F224 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9031（2012）11-0029-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2012.11.06

一、引言

在國民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中，利率是重要的貨幣政策工具之一；在金融市場中，利率是金融資產(chǎn)定價、金融套利、套期保值、金融風(fēng)險管理、金融衍生產(chǎn)品設(shè)計等的重要決定變量之一。因此，研究利率的走勢和變化趨勢具有重要的意義和作用。在所有的金融產(chǎn)品中，國債以國家的信譽(yù)為保障，具有發(fā)行量大、流動性好、安全邊際高等特點(diǎn)，國債利率在發(fā)達(dá)國家一直是確定市場利率的重要基準(zhǔn)利率，也是各國中央銀行用來調(diào)控宏觀經(jīng)濟(jì)的重要工具之一。

二、文獻(xiàn)和理論綜述

利率期限結(jié)構(gòu)模型是人們?yōu)榱搜芯课磥砝实内厔菟岢龅念A(yù)測利率的理論。利率期限結(jié)構(gòu)是指債券的到期收益率與到期期限之間的關(guān)系，其中債券的到期收益率一般用零息票債券的連續(xù)復(fù)利即期利率來表示[1]。傳統(tǒng)的利率期限結(jié)構(gòu)理論主要側(cè)重定性分析，主要有預(yù)期理論和市場分割理論[2]。由于傳統(tǒng)的利率期限結(jié)構(gòu)理論的弊端，即無法精確預(yù)測和擬合利率未來的走勢，后來人們更多地結(jié)合數(shù)學(xué)知識來研究利率期限結(jié)構(gòu)，提出了樣條函數(shù)模型、Nelson-Siegel參數(shù)擬合模型、CIR模型和仿射模型等[3]。

樣條函數(shù)法首先由Culloch（1971，1975）提出，他用多項(xiàng)式樣條函數(shù)作為貼現(xiàn)函數(shù)來構(gòu)建利率期限結(jié)構(gòu)模型。Nelson-Siegel（尼爾森-辛格爾）模型，又稱簡約模型，是由Nelsen和Siegel（1987）提出，后Svensson（1994）進(jìn)行了擴(kuò)展，該模型是通過參數(shù)化遠(yuǎn)期利率函數(shù)的方法進(jìn)行利率期限結(jié)構(gòu)擬合的。CIR模型和仿射模型屬于動態(tài)模型，其采用隨機(jī)微分方程來刻畫利率的變化，然后利用參數(shù)或非參數(shù)估計得到利率的動態(tài)變化過程。本文研究的新擴(kuò)展模型是在簡約模型的基礎(chǔ)上擴(kuò)展的。

三、模型構(gòu)建

（一）Nelson-Siegel模型

Nelson-Siegel模型是Nelsen和Siegel提出的一個用參數(shù)表示的瞬時遠(yuǎn)期利率函數(shù)，然后用即期利率與遠(yuǎn)期利率間的關(guān)系推導(dǎo)出即期利率，實(shí)現(xiàn)對利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造。具體來說，Nelson-Siegel模型假定遠(yuǎn)期利率關(guān)于時間的函數(shù)形式為

其中，t為到期期限。

根據(jù)遠(yuǎn)期利率與貼現(xiàn)因子之間的關(guān)系，即

可將貼現(xiàn)因子表示出來，這樣國債的理論價格就可以表示為

P'K=PK+？滓K

其中CtK表示t時刻國債的現(xiàn)金流，P'K表示債券交易價格。

通過適當(dāng)?shù)膬?yōu)化算法求解以下最小化問題，即可求出該模型的參數(shù)值。

再根據(jù)即期利率與遠(yuǎn)期利率之間的關(guān)系

由（1）和（5）式可以推導(dǎo)出即期利率表達(dá)式為

（二） Nelson-Siegel模型的擴(kuò)展Svensson模型

Nelsen和Siegel提出的模型估計的參數(shù)較少，模型計算的結(jié)果比較穩(wěn)健，能夠擬合出正常、逆轉(zhuǎn)、駝峰等利率曲線的形態(tài)，因此該模型得到了廣泛的應(yīng)用。但該模型仍存在不足之處，即其不能反映利率曲線的多峰形態(tài)，隨著金融市場的發(fā)展和國債發(fā)行數(shù)量的逐漸增加，該問題越來越突出[4]。后來人們改進(jìn)了Nelson-Siegel模型，提出了新的更為復(fù)雜的模型-Svensson模型，即在Nelson-Siegel模型的基礎(chǔ)上增加了兩個參數(shù)，將遠(yuǎn)期利率表示為

該模型表達(dá)式添加了兩個參數(shù)，使模型在利率期限結(jié)構(gòu)曲線擬合效果上有了較大的提高，能夠擬合出曲線的多峰形態(tài)，曲線的靈活性、復(fù)雜性增加，擬合的精度也有了較明顯的提高。因此，該擴(kuò)展模型已被多國中央銀行列為本國利率期限結(jié)構(gòu)估計的官方選用方法[5]。

（三）新視角下的Nelson-Siegel擴(kuò)展模型

Svensson模型是在自然指數(shù)的指數(shù)部分增加參數(shù)，進(jìn)而擴(kuò)展了Nelson-Siegel模型。本文將在另一個角度對Nelson-Siegel模型進(jìn)行擴(kuò)展，即將遠(yuǎn)期利率的表達(dá)式擴(kuò)展為

四、實(shí)證分析

（一）樣本選取

1981年恢復(fù)國債發(fā)行以來，我國國債發(fā)行和交易規(guī)模逐步擴(kuò)大，國債的發(fā)行和交易機(jī)制逐步與國際接軌，國債發(fā)行和交易的市場化程度逐步提高，為形成中國市場利率提供了重要基準(zhǔn)參考，為深入研究中國的利率期限結(jié)構(gòu)提供了良好的基礎(chǔ)。目前，我國市場化程度較高的國債交易場所主要有上海深圳證券交易所和銀行間債券市場。其中，銀行間債券市場的交易商為銀行，單筆交易規(guī)模過大，交易間隔較長，流動性較差，而交易所國債市場則交易主體多元化，交易活躍，流動性強(qiáng)，國債交易價格具有連續(xù)性。因此，在本文中，我們從交易量較大、國債交易品種較為齊全的上海證券交易所選取國債樣本。筆者選取上海證券交易所2012年3月12日至2012年4月13日，存在交易的附息固定票面利率國債的周收盤數(shù)據(jù)（即每周五的收盤數(shù)據(jù)）作為樣本來進(jìn)行實(shí)證分析。

（二）新視角下Nelson-Siegel擴(kuò)展模型的中國國債樣本實(shí)證分析

為了驗(yàn)證理論分析結(jié)果，本文通過逐漸增加高階多項(xiàng)式的階數(shù)和模型參數(shù)的個數(shù)，利用上交所國債樣本數(shù)據(jù)實(shí)證比較新擴(kuò)展模型的擬合能力和精度。式（8）中，隨著多項(xiàng)式階數(shù)（即n）的增加，新擴(kuò)展模型在擬合利率期限結(jié)構(gòu)時計算量會逐漸增大。為了減小計算量，本文選取具有代表性的三種情況，即n=2，n=3和n=4，分析在這三種情況下，新擴(kuò)展模型的擬合性質(zhì)。

將5個樣本日的國債樣本的數(shù)據(jù)代入以上三個新擴(kuò)展模型的參數(shù)表達(dá)式，表達(dá)出帶參數(shù)的各國債的理論價格，之后就可以將求解模型中參數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為：使理論價格和實(shí)際交易價格最接近的最優(yōu)化問題。本文通過SAS軟件編程，利用搜索算法，估計出了各模型中參數(shù)的具體數(shù)值，進(jìn)而估計出了各模型的即期利率曲線表達(dá)式。利用Matlab軟件繪制的每個模型的即期利率曲線為圖1-圖3。

擬合出利率期限結(jié)構(gòu)曲線后，將各模型的擬合價格求出，對擬合誤差進(jìn)行統(tǒng)計，來比較各模型的擬合精度。本文利用了均方根誤差（RMSE）、均方根百分比誤差（RMSPE）和判定系數(shù)（R2）三個衡量精度的指標(biāo)來比較各模型的擬合精度。

1.均方根誤差

均方根誤差指標(biāo)為對擬合誤差絕對量的衡量，其數(shù)字越小代表模型的擬合誤差越小，擬合能力越強(qiáng)。

2.均方根百分比誤差

均方根百分比誤差是與均方根誤差相對應(yīng)的，其為相對量衡量指標(biāo)。數(shù)字越小代表模型的擬合能力越強(qiáng)。

3.判定系數(shù)

在回歸分析中，判定系數(shù)用來比較相關(guān)曲線的擬合優(yōu)度，在本文中，我們用判定系數(shù)的概念來說明擬合預(yù)測價格對實(shí)際交易價格的擬合優(yōu)度。其數(shù)值越大代表模型的擬合預(yù)測能力越強(qiáng)。

統(tǒng)計比較結(jié)果為表1。

通過表1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：本文提出的新視角下Nelson-Siegel擴(kuò)展模型（n=2，n=3和n=4），隨著遠(yuǎn)期利率表達(dá)式中模型參數(shù)的增加和高階多項(xiàng)式階數(shù)的增加，新擴(kuò)展模型的國債價格擬合精度指標(biāo)RMSE、RMSPE依次逐漸降低，R2指標(biāo)的數(shù)值依次逐漸增大，這說明通過增加模型中參數(shù)的個數(shù)和多項(xiàng)式的階數(shù)可以提高擬合精度，通過提高模型曲線的形態(tài)復(fù)雜度可以更加近似地擬合真實(shí)利率曲線。其中，當(dāng)n=4時，在新擴(kuò)展模型的五個樣本交易日國債價格擬合精度指標(biāo)中，RMSE指標(biāo)分別為0.53991、0.43197、0.68613、0.51550、0.41994，RMSPE指標(biāo)分別為0.00536、0.00417、0.00668、0.00504、0.00415，判定系數(shù)分別為0.95562、0.97140、0.94700、0.96774、0.97817，除2012年3月30日外其他樣本交易日均為所有模型中擬合精度最高的，擬合精確度高于Svensson模型，這說明在對真實(shí)國債利率期限結(jié)構(gòu)曲線擬合上，本文提出的新視角下Nelson-Siegel擴(kuò)展模型（當(dāng)n=4時）具有一定的優(yōu)勢，其能較好的降低利率期限結(jié)構(gòu)的擬合預(yù)測誤差。由于對利率期限結(jié)構(gòu)的擬合預(yù)測廣泛應(yīng)用于政府貨幣政策的決策和金融產(chǎn)品如國債的定價、交易，利率擬合的準(zhǔn)確度直接決定了定價的合理性和交易的可行性，因此本文提出的新視角下Nelson-Siegel擴(kuò)展模型（當(dāng)n=4時）具有較大的應(yīng)用價值。

（特約編輯：羅洋）

參考文獻(xiàn)：

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