認(rèn)識(shí)二次函數(shù)

高中數(shù)學(xué)里的函數(shù)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)系統(tǒng)中占有重要的地位，進(jìn)入高三復(fù)習(xí)以來，學(xué)生可以深刻感受到這一點(diǎn)，高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)中，數(shù)列、立體幾何、解析幾何的很多題目都需要利用函數(shù)的觀點(diǎn)來解決。二次函數(shù)是函數(shù)中的一種基本形式，我們來了解它在高中階段的應(yīng)用。

在初中階段，學(xué)生已經(jīng)接觸了二次函數(shù)，也作了較詳細(xì)的學(xué)習(xí)、研究，由于初中學(xué)生理解能力較弱，知識(shí)系統(tǒng)的不完善，關(guān)于二次函數(shù)的內(nèi)容的學(xué)習(xí)比較機(jī)械的，僅僅掌握了二次函數(shù)的圖像及二次函數(shù)幾種形式，但沒有從本質(zhì)去理解它。進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念。學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，然后用映射觀點(diǎn)來理解函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生對(duì)函數(shù)就有了本質(zhì)的把握。特別是二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素 與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為 ）這里 表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)。

二、二次函數(shù)的單調(diào)性與圖象。在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù) 在區(qū)間 及 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。如：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。如： 等，這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象?；蛘呃米寣W(xué)生利用圖像的對(duì)稱變化、平移變化來畫出其圖像，對(duì)于圖像問題要強(qiáng)調(diào)，江西省自2005年高考數(shù)學(xué)自主命題以來，每年都會(huì)考查至少一道圖像題目。

三、二次函數(shù)的值域。對(duì)于二次函數(shù)值域的練習(xí)要分為不含參數(shù)、含參數(shù)兩種，而不含參數(shù)的二次函數(shù)值域練習(xí)又要分為全定義域和限制型定義域兩種。如： 在R上、在區(qū)間 、 、 、 上的值域。尤其要注意分析第三、五兩種，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到單調(diào)性對(duì)解決函數(shù)值域的重要性，為利用導(dǎo)數(shù)方法解決函數(shù)值域問題打下伏筆。 在區(qū)間 上的值域，在教學(xué)實(shí)際中還可以將參數(shù)的位置進(jìn)行調(diào)換，比如 ，對(duì)學(xué)生展開充分的訓(xùn)練，加強(qiáng)他們的運(yùn)算能力及對(duì)二次函數(shù)值域求法的理解。

四、二次函數(shù)與一元二次不等式、一元二次方程的關(guān)系。通過利用圖像的講解讓學(xué)生掌握三者之間的關(guān)系，尤其是一元二次不等式的解法，通過利用二次函數(shù)圖象能讓學(xué)生形象直觀的得到結(jié)論。關(guān)于這部分知識(shí)的題目難度就比較高，要求學(xué)生有很好的分析能力。如：已知函數(shù) ， 為方程 的兩根，且 ，給出下列不等式，其中成立的是（ ）

① ② ③ ④

A.①④ B.③④ C.①② D.②④

五、二次函數(shù)在其他函數(shù)類型中的應(yīng)用。掌握好了二次函數(shù)，對(duì)于其他函數(shù)求值域、單調(diào)性都有很好的幫助。比如：求三角函數(shù) 、 的值域，需要利用換元法將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域。（注意換元時(shí)范圍的變化）

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí)，使我們對(duì)它的研究更深入。