淺談在幾何證明中正確運(yùn)用輔助線

[摘 要]：在中學(xué)幾何教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生靈活添作輔助線，解決不同的或同一的問(wèn)題，可培養(yǎng)或發(fā)展學(xué)生的思維能力。

[關(guān)鍵詞]：中學(xué)幾何教學(xué) 輔助線 創(chuàng)新思維

平面幾何證明過(guò)程中經(jīng)常要作輔助線，什么叫輔助線？為了證明的需要，在原來(lái)圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線常用虛線表示。輔助線添作正確與否，有時(shí)是解題的關(guān)鍵。每一道題添作的輔助線都不同，有時(shí)不止一條，但卻有一定的規(guī)律，這也是解題的一個(gè)難點(diǎn)。教師在教學(xué)中應(yīng)多作啟發(fā)，用同一的或不同的輔助線添加解決不同的或同一的問(wèn)題，以開闊學(xué)生的視野，加強(qiáng)學(xué)生的解題能力。

平面幾何中，最常見的輔助線添作方式有如下幾種：

一、連結(jié)兩點(diǎn)：

這是最常用、最簡(jiǎn)單、最基本也是最廣泛的輔助線添作，無(wú)論在三角形、四邊形、多邊形、圓都經(jīng)常運(yùn)用。連結(jié)對(duì)角線，可將四邊形、多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，再利用三角形的性質(zhì)求解，這是多邊形最常見的輔助線添作，例如：圖（1），已知AB = AE，BC = ED，∠B =∠E，求證∠C =∠D（連結(jié)AC、AD，運(yùn)用三角形全等判定定理及\"等邊對(duì)等角\"求證）。在與圓有關(guān)的三角形全等或相似的判定也常用。如圖（2），已知：AB是⊙ O的直徑，AC與⊙O相切于點(diǎn)A，CE∥AB交⊙ O于 D、 E，求證：EB×EB = CD×AB。解題中連結(jié)AD、AE，BE利用弦切角定理，平行弦性質(zhì)，直線性質(zhì)，三角形相似判定定理求解。

二、作平行線

過(guò)一點(diǎn)作某線段或直線的平行線多用于將多邊形（如梯形）轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形求解；在與求角的度數(shù)或與求角有關(guān)的時(shí)候也多見，因?yàn)槠叫芯€的性質(zhì)與角有關(guān)。最典型的是\"三角形內(nèi)角和定理\"的證明。添作不同的輔助線有不同的證法。如圖（3），過(guò) A作DE∥BA，圖（4），在BC上取一點(diǎn) D，過(guò) D點(diǎn)作DE∥BA，DF∥CA，分別交AB、AC于點(diǎn) E、 F；圖（5），過(guò) C點(diǎn)作CE∥AB，并延長(zhǎng)BC到 D。

三、作垂線或垂線段

過(guò)一點(diǎn)作某線段的垂線或垂線段，最終目的是運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)及勾股定理去解決問(wèn)題。直角三角形在幾何中無(wú)論求角或求邊（線段）是最基礎(chǔ)的解決之道。在圓中，可應(yīng)用垂經(jīng)定理，切線性質(zhì)，可將梯形或多邊形轉(zhuǎn)化為矩形與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題，更可將一般的三角形或等腰三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形求解。例如，如圖（6），\"等邊對(duì)等角的證明\"，如圖（7），若給出圓心 O與弦AB，都是作垂線段轉(zhuǎn)化為直角三角形求解。

四、延長(zhǎng)某一線段

這種類型多為補(bǔ)充形式，延長(zhǎng)后可運(yùn)用某一定理，或用于構(gòu)造三角形（包括全等三角形和相似三角形）。有時(shí)單一出現(xiàn)，通常與其他類型輔助線一同添作。如 \"梯形中位線定理\"的證明，如圖（8），連結(jié)AN并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，構(gòu)造兩個(gè)全等三角形；如圖（9）看到圖形即可聯(lián)想到切割線定理而將AD延長(zhǎng)交⊙ O于 C，將圖形補(bǔ)充完整。

五、作中線（或線段中點(diǎn)），角平分線中線的添作常在三角形中出現(xiàn)，用于線段相等或證明三角形全等。而角平分線跟點(diǎn)到直線的距離有關(guān)，常與垂線段一同出現(xiàn)，目的是應(yīng)用角平分線性質(zhì)。

輔助線的形式有許多，以上所列只是常見類型。每一道題有不同的輔助線，也可添作不同類型的輔助線，如圖（8）的證明，既可以作BC邊上的高AD，也可作BC邊上的中線AD，也可作頂角∠ A的平分線AD，不同的輔助線添作，有不同的證法。而每一圖形中的輔助線添作更是多姿多彩，有時(shí)單一出現(xiàn)，有時(shí)多種類型相結(jié)合，而不會(huì)規(guī)限于某一類型。每一道題都應(yīng)結(jié)合所給出的已知條件和圖形，作出合適的輔助線尋找解決之道。

總之，靈活地添作輔助線有助于解決問(wèn)題，適當(dāng)?shù)貑l(fā)學(xué)生利用同一的或不同的輔助線添加解決不同的或同一的問(wèn)題，以開闊學(xué)生的思路，開啟其智力，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。