如何體會(huì)高考題的立意

[摘 要]：一年一度高考，舉國(guó)大事，情系千萬(wàn)學(xué)子十二載艱辛努力，成名成才在此，獨(dú)木橋上站數(shù)萬(wàn)學(xué)子在……

[關(guān)鍵詞]：高考題，欣賞，數(shù)學(xué)思想陶冶。

高考的基本功能是為高校選拔人才，同時(shí)也是對(duì)中學(xué)教育教學(xué)的全面檢測(cè)，許多高考題的確出得非常的好，它對(duì)考生進(jìn)行了多方面的考察，作為教育工作者研究高考題，它至少有以下幾方面的作用：

一、首先是提高教師自身的專(zhuān)業(yè)素質(zhì)，為今后教學(xué)提供有用信息；

二、對(duì)新一輪教材教學(xué)提供重、難點(diǎn)考察信息，在教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)的思想、方法的學(xué)習(xí)。平時(shí)復(fù)習(xí)、高考復(fù)習(xí)提供適當(dāng)方法、難度題目把握。

下面就以2012年全國(guó)卷II（文科）試題第12小題、2012年全國(guó)卷II（理科）試題第12小題為例，談?wù)劥祟}出題的意境、本題的數(shù)學(xué)思想、方法，解法如此的巧妙？

[2012年全國(guó)卷II（文科）試題第12小題]

正方形ABCD的邊為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AE = BF = ，動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)，沿直線(xiàn)向F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P 第一次碰到E時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為：（ ）

A 、 8； B、 6； C、 4； D、 3。

[2012年全國(guó)卷II（理科）試題第12小題]

正方形ABCD的邊為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AE = BF = ，動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)，沿直線(xiàn)向F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P 第一次碰到E時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為：（ ）

A 、 16； B、 14； C、 12； D、 10。

細(xì)看此兩題，實(shí)屬同類(lèi)，只是難易略有不同。它們都是考察學(xué)生對(duì)光的反射原理、平面圖形的對(duì)稱(chēng)性、三角形的相似等基本知識(shí)的考察，只要?jiǎng)庸P畫(huà)一畫(huà)，稍加推理就可得答案了。

解：（方法1）利用光的反射原理和三角形相似可以畫(huà)出如上圖形，即得答案，當(dāng)然上圖理科12中的反射點(diǎn)，要通過(guò)三角形相似計(jì)算估計(jì)反射點(diǎn)的落點(diǎn)位置，畫(huà)法如下（每一反射點(diǎn)的位置通過(guò)三角形相似計(jì)算而得）：

回頭再看所畫(huà)的圖形，圖形對(duì)稱(chēng)且美麗，讓人美不勝收。此題若將條件更改為：將正方形的邊9等分，讓AE = BF = 、11等分，讓AE = BF = 、……，當(dāng)點(diǎn)P 第一次碰到E時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P與正方形的邊碰撞的次數(shù)。用上述方法同樣可畫(huà)出圖形得到答案，這里略。

方法2：將正方形的邊7等分，利用光的反射原理和三角形相似算出每一次光線(xiàn)入射點(diǎn) 的值（同時(shí)也是下一次的反射點(diǎn)位置）（ ）（ 的值為入射點(diǎn)到正方形左、右角或上、下角的距離），當(dāng) >1時(shí)，取 -1作為對(duì)應(yīng)三角形的邊算出入射點(diǎn) 的值，

算法如下：（為了計(jì)算方便，將正方形7等分，每等份仍看成1實(shí)際上是1/7）

第1入射點(diǎn)為點(diǎn)F： = 3；

第2入射點(diǎn)為點(diǎn)： = ，（它利用入射線(xiàn)和反射線(xiàn)與正方形的邊圍成的三角形相似，直角邊成比例求得，下面求法相同）；

第3入射點(diǎn)為點(diǎn)： = 5/4；

第4入射點(diǎn)為點(diǎn)： = 1/2（ = 23/3 >7個(gè)單位，即大于正方形邊長(zhǎng)1，此時(shí)用23/3-7作為對(duì)應(yīng)三角形的邊算出入射點(diǎn)，即 = 1/2）；

第5入射點(diǎn)為點(diǎn)： = 2/3；

第6入射點(diǎn)為點(diǎn)： = 19/4；

第7入射點(diǎn)為點(diǎn)： = 3；

第8入射點(diǎn)為點(diǎn)： = = = 3；

從第8入射點(diǎn)開(kāi)始重復(fù)出現(xiàn)，即有： = ， ， ， ， ，

由對(duì)稱(chēng)性推知，再經(jīng)7次反射第一次到E 點(diǎn)，如圖所示：

方法3：從函數(shù)的角度出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)周期函數(shù)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則為方法2的算法，取 ， ， 為當(dāng)前反射點(diǎn)正方形頂點(diǎn)的距離，且 （ ），定義函數(shù)

經(jīng)驗(yàn)證，所構(gòu)造的函數(shù)符合條件，但函數(shù)值從 開(kāi)始出現(xiàn)重復(fù)，由于是對(duì)稱(chēng)的，所以周期是14，即第一次到點(diǎn)E，反彈14次，從而得到答案。

從以上方法，細(xì)想此題的三種解法，第一種解法：根據(jù)三角形相似和圖形的對(duì)稱(chēng)性可得；第二解法：根據(jù)光的反射原理，畫(huà)出光路圖立即可得；第二解法：根據(jù)第一、二兩種解法和入射點(diǎn)及反射點(diǎn)位置建立函數(shù)，用函數(shù)的方法也可求得，只稍微復(fù)雜一點(diǎn)罷了！立意絕妙，不僅可以讓考生從不同層面對(duì)考題加以思考，同時(shí)還是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思想、方法的陶冶和數(shù)學(xué)美的享受，美妙絕了！象這樣的素材平時(shí)多收集、多講解，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣是難得的題材。