運(yùn)用特征根轉(zhuǎn)化法求數(shù)列通項(xiàng)公式

摘 要：利用高等數(shù)學(xué)和常微分方程中關(guān)于差分方程、特征根的理論給出求數(shù)列通項(xiàng)公式的特征根轉(zhuǎn)化法，解決了數(shù)列中三種形式的遞推公式求通項(xiàng)公式的問題，利用該方法給出了斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法。

關(guān)鍵詞：一階線性遞推公式；特征根；斐波那契數(shù)列

一、引入

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中的地位不言而喻，但教材對(duì)數(shù)列的教學(xué)安排和高考的要求有一定的差距，特別是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法亟須補(bǔ)充與提高，從近幾年各省的高考試卷來看，高考對(duì)數(shù)列的要求明顯比教材要高。特征根法是解常系數(shù)線性微分方程的一種通用方法，數(shù)列中一階線性遞推公式即差分方程也可用特征根法求通項(xiàng)公式，本文利用高等數(shù)學(xué)和常微分方程的知識(shí)背景給出根據(jù)幾種特殊遞推公式求通項(xiàng)公式的方法，即特征根轉(zhuǎn)化法。

二、預(yù)備知識(shí)

數(shù)列an的遞推公式形如an+1=pan+q時(shí)，稱為一階線性遞推公式，其簡(jiǎn)單情形一般課外輔導(dǎo)書均有詳細(xì)講解，這里只給出一般方法。

當(dāng)p=0時(shí)，數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列；q=0，且p為非零常數(shù)時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列；當(dāng)q=0，且p為n的函數(shù)時(shí)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式采用累乘法；p=1，q為非零常數(shù)時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列；p=1，q為n的函數(shù)時(shí)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式采用累加法。下面我們研究pq（1-p）≠0時(shí)的情形。

三、主要結(jié)論