二階雙共振離散邊值問題解的多重性

摘 要：本文利用非線性泛函分析中的變分方法，結(jié)合臨界點(diǎn)理論、Morse理論以及臨界群的計算研究了二階雙共振離散邊值問題(1.1)解的多重性。其中，，，是向前差分算子，在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)滿足雙共振條件。

（1.1）

關(guān)鍵詞：雙共振、變分方法、臨界點(diǎn)理論、Morse理論、臨界群

[中圖分類號]：O177.91 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]：A

[文章編號]：1002-2139(2012)-03-0078-01

1、引言

本文在一定假設(shè)條件下證明了問題（1.1）至少存在三個非平凡解。與問題（1.1）對應(yīng)的線性特征值問題的特征值，且。而對應(yīng)的特征向量，其中。記，，，。記 。在Hilbert空間中，，范數(shù)。全文假設(shè)：

()對一致成立，并且存在，使得。

() 如果當(dāng)時，，那么存在常數(shù)使得

，，。

() 如果當(dāng)時，，那么存在常數(shù)，使得

，，。

在上定義泛函，

問題（1.1）的解等價于泛函J的臨界點(diǎn)。

引理1.1[1-2] 如果f滿足條件()—()，那么。

引理1.2[1-2] 假設(shè)函數(shù)。如果當(dāng)時，，并且。那么泛函滿足P.S條件，其中

2、主要結(jié)果及證明

定理2.1.如果條件()—()成立，并且，那么問題（1.1）至少存在三個非平凡解，其中一個正解，一個負(fù)解。

證明：由于，，所以存在，當(dāng)時，有。

而當(dāng)時有，。 因此至少存在一個，使得，，所以是J的一個局部極小值點(diǎn)。于是。根據(jù)引理1.1有。如果僅有一個臨界點(diǎn)，則Morse型數(shù)，Betti數(shù)，則由及得到矛盾，所以至少還有一個臨界點(diǎn)，且。令

，，。則的臨界點(diǎn)是兩點(diǎn)邊值問題

（2.1）

的解，其中，并且。由引理1.2知滿足P.S條件。由知當(dāng)時，。于是當(dāng)時， 從而當(dāng)時，。另一方面，由知存在，當(dāng)時，，并且，再由的連續(xù)性知存在常數(shù)，使得對一切成立。從而存在常數(shù)，使得，。所以對于有，， 所以，。從而根據(jù)山路引理[3]，有一個臨界點(diǎn)。所以是問題（2.1）的解， 所以是的一個正解，所以也是的一個正解。于是。同理可得有一個非平凡臨界點(diǎn)，并且滿足條件。而，，所以，。因此至少有三個非平凡臨界點(diǎn)。

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