在“次品”中找真金

美國心理學家布魯納指出：“掌握基本的數(shù)學思想方法能使數(shù)學更易于理解和更易于記憶，領(lǐng)會基本數(shù)學思想方法是通向遷移大道的‘光明之路’，使學生終生受益?！薄稊?shù)學課程標準》中也指出：“學生通過學習，能夠獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法?！笨梢?，除了數(shù)學知識外，數(shù)學思想也是重要的教學內(nèi)容。

義務教育課程標準五年級下冊教材 “數(shù)學廣角”中安排“找次品”這個教學內(nèi)容，以此為平臺讓學生經(jīng)歷一次數(shù)學探究之旅，讓學生獲得從外表看若干個完全相同的零件，借助天平用最少的次數(shù)找較輕或較重次品的方法。在解決問題的過程中還隱含了許多的數(shù)學思想，如通過天平可能平衡、可能不平衡這樣的隨機事件，理解掌握基本的邏輯推理；清晰地表達數(shù)學思維的過程；利用比較——猜想——驗證的策略發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的數(shù)學思想；培養(yǎng)將具體問題推廣到一般問題的演繹推理的數(shù)學思想；通過逐一分析法讓學生理解解決問題的多樣化，并對比分析進行優(yōu)化的數(shù)學思想；引導學生解決數(shù)學問題時把復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題的數(shù)學思想等等。這些蘊含在解決問題過程中的數(shù)學思想或許正是教師在教學中最容易忽略和遺漏的，而這些數(shù)學思想的培養(yǎng)直接影響學生數(shù)學綜合素養(yǎng)的形成，不僅體現(xiàn)在小學階段，而且直接對學生以后的學習和工作起到至關(guān)重要的影響。因此，我們應當在小學數(shù)學教學中不失時機地進行數(shù)學思想方法的滲透。

下面以“找次品”教學為例，談談對學生數(shù)學思想培養(yǎng)的探究。

一、利用化歸思想，尋找解題模式

數(shù)學教學一方面是由淺入深、由易到難循序漸進的過程，另一方面又是化生為熟、化難為易、以退求進的過程，這兩個相輔相成、雙向互動的過程是學生學好數(shù)學的基本數(shù)學思想之一——化歸思想。

如教學“找次品”時，課始，教師創(chuàng)設情境：將一瓶較輕的口香糖混在243瓶中，質(zhì)疑如何從這么多數(shù)量中找到這一瓶次品。通過介紹數(shù)學家華羅庚的方法“復雜的問題要善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅”，引導學生退回來想，從最基本的2瓶開始思考問題的解決方法，并逐瓶依次遞增，體現(xiàn)了數(shù)學解決問題的實質(zhì)化難為易。通過操作3瓶時依次將口香糖放置在天平的左、右、下，充分利用天平的3個區(qū)域，得出只要稱一次就能找出次品的最佳方案。然后增加到9瓶時分成3份，每份3瓶稱一次，學生自然地運用化歸的思想。這樣讓學生一開始就接觸規(guī)律，建立在分析尋找規(guī)律的情景下，既讓學生經(jīng)歷了邏輯推理的過程，又引導了學生的思維方法，力爭從最少的次數(shù)去思考，培養(yǎng)學生有序思考的習慣。同時使學生意識到將大數(shù)分解成小數(shù)，有效地體現(xiàn)化歸的思想，使學生能運用已知的結(jié)論來推導較復雜的數(shù)據(jù)，養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣。在此基礎上擴展到更多的瓶數(shù)，如27瓶等，通過表格的出示讓學生體會到次數(shù)與次品數(shù)量之間的變化規(guī)律，并使其得到延伸和拓展。如2~3瓶只需稱1次，4~9瓶需要2次……并且利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來嘗試猜測6次、7次能從多少瓶中找出次品，這樣真正體現(xiàn)了化歸思想學以致用的目的。

二、經(jīng)歷“比較——猜想——驗證”的過程，尋找解題策略

“比較——猜想——驗證”既是學生主動探求知識的有效方式，也是一種重要的數(shù)學思想方法。正如數(shù)學教育家弗賴登塔爾所說：“真正的數(shù)學家常常憑借數(shù)學的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實?！币虼耍谛W數(shù)學教學中，教師要重視“比較——猜想——驗證”思想方法的滲透，以增強學生主動探索和獲取數(shù)學知識的能力，促進學生創(chuàng)新能力的發(fā)展。在猜想的驅(qū)動下，學生才能真正自覺地投入到驗證的過程中，通過不同方案的比較真正經(jīng)歷了知識生成的過程，從而更主動地去發(fā)現(xiàn)、去探索。

如教學“找次品”時，我是這樣安排教學環(huán)節(jié)的：在明確應該應用最不利原則，必須確保找出次品的前提下，安排學生自己用小圓片來嘗試尋找解決問題的最佳方法，通過反饋比較發(fā)現(xiàn)的不同方案，找到最優(yōu)化的方案，猜測解決的方法，并通過驗證來明確解題策略。（以8瓶中找次品為例題進行教學）

第一層次：學生方法的反饋。

生1：分成2份，稱3次。

生2：分成3份，稱2次。

第二層次：比較方法，找到本質(zhì)。

問題1：分成2份3次才能找出次品，分成3份只需稱2次，為什么這種分法次數(shù)就少呢？

得到結(jié)論：應將待分物品分成3份。

問題2：那是不是分的份數(shù)越多越好呢？（利用了天平的3個區(qū)域）

得到結(jié)論：每份相差的數(shù)盡量小。

第三層次：通過以上教學環(huán)節(jié)綜合兩個結(jié)論，使學生猜測將待分物品分成3份，每份的數(shù)量盡可能一樣多，這就是解決問題的方法。

第四層次：從具體情況推廣的一般問題，使猜想——驗證策略得以落實

引導學生明白僅憑一個例子來說明猜想正確不符合數(shù)學的嚴謹性，需要通過更多的事例來驗證。9瓶，27瓶，243瓶……你打算怎樣分？邊驗證邊通過練習使學生能真正領(lǐng)會方法的實質(zhì)。

三、借助優(yōu)化思想，暴露解題過程

所謂“優(yōu)化思想”就是在有限或無限種可行方案（決策）中挑選最優(yōu)方案（決策）的思想。

多樣化是優(yōu)化的基礎，沒有多樣化也就無所謂優(yōu)化。那么，如何才能使學生生成多種問題解決的方法和策略呢？在教學時，教師提出只找2次，能從更多的瓶數(shù)中找出次品嗎？要求學生小組合作嘗試分小圓片，并把方案記錄下來。學生從4瓶開始依次嘗試，由于限制次數(shù)是2次，學生想出各種方案。

數(shù)學學習是自主構(gòu)建的過程，是師生之間、生生之間交往互動與共同發(fā)展的過程，這個過程需要對話與交流。有效的數(shù)學交流可以促進學生間眾多信息的相互碰撞，使學生的思維由表層走向深入，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。針對滲透優(yōu)化思想的有效交流，凸顯優(yōu)化，教師在課堂上通過8瓶的例子來引領(lǐng)和促進師生、生生之間展開有效的交流。

1．集中展示學生方法的反饋。

師：你是怎么想的呢？（結(jié)合學生的回答演示課件）

2．借助問題尋找方法的優(yōu)缺點。

師：分成2份3次才能找出次品，分成3份只需稱2次，這種方法好在哪里呢？為什么這種分法次數(shù)就少呢？

師（追問）：那是不是分的份數(shù)越多越好呢？（揭示問題的本質(zhì)）分成3份正好利用了天平的哪兒?。?/p>

（在明確了將待分物品分成3份是最好的分法后，進一步分析每份該怎么分）

師：分成3份的方法好像不止這樣一種吧？（1，1，6）（2，2，4）至少要稱幾次呢？（制造矛盾沖突，進一步對比探究）

師：都是分成3份（3，3，2），好在那里？為什么只要稱2次就能找到次品呢？

得到結(jié)論：考慮最不利的情況，要使最多的一份盡量少，所以我們在分成3份時，每份的差要盡量小。（結(jié)合學生思維分析的過程將兩個結(jié)論綜合起來，得到了解決該類數(shù)學問題的最優(yōu)化方法）

在此教學環(huán)節(jié)中學生經(jīng)歷了自主探索與合作交流的過程，初步體驗了優(yōu)化思想在解決問題中的作用

問題是數(shù)學的心臟，方法是數(shù)學的行為，思想是數(shù)學的靈魂。不管是數(shù)學概念的建立、數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學問題的解決，乃至整個“數(shù)學大廈”的構(gòu)建，核心問題在于數(shù)學思想方法的滲透和建立。數(shù)學教學不僅僅要使學生獲得數(shù)學知識、數(shù)學結(jié)論，更重要的是讓學生通過數(shù)學探究的學習過程，經(jīng)歷數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展過程，使學生在數(shù)學思想、數(shù)學思考等方面得到發(fā)展，讓學生的數(shù)學思維能力得到切實、有效的培訓，真正提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

（責編 杜 華）