以怎樣的可能去發(fā)生“數(shù)學(xué)教育”?

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，作為人生初始的一段經(jīng)歷，應(yīng)當(dāng)充滿收獲知識(shí)的成功體驗(yàn)、合作探索的經(jīng)驗(yàn)累積以及主體精神的個(gè)性張揚(yáng)。我們?cè)撘栽鯓拥目赡苋グl(fā)生“數(shù)學(xué)教育”呢？下面，結(jié)合“乘法分配律”的教學(xué)談一些想法，不足之處，敬請(qǐng)指正。

扒開“知識(shí)”這層土

數(shù)學(xué)知識(shí)往往具有兩重性，既表現(xiàn)為一種過程的操作，又表現(xiàn)為一種結(jié)構(gòu)。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往由過程開始，然后轉(zhuǎn)化為對(duì)象的認(rèn)知過程。“乘法分配律”是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn)之一，困擾著廣大教師和學(xué)生，少數(shù)學(xué)生甚至于畢業(yè)前夕仍不能準(zhǔn)確地加以理解和運(yùn)用。究其原因，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂中普遍存在初次教授時(shí)過程刻畫不足、對(duì)象轉(zhuǎn)化不夠的缺陷，并且日后教學(xué)中對(duì)該知識(shí)運(yùn)用也缺少發(fā)展性的補(bǔ)充理解和訓(xùn)練。

1.把學(xué)生經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)材料進(jìn)行比較，建立聯(lián)系。

課堂教學(xué)要符合學(xué)生的心理規(guī)律，將學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)材料進(jìn)行比較研究，找到二者之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，為教學(xué)的有效設(shè)計(jì)與實(shí)施把好“脈”、導(dǎo)好“航”。（見下表）

通過比較，我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)乘法分配律的結(jié)構(gòu)把握，起源于生活問題中隱含的事理認(rèn)識(shí)和豐富抽取。同時(shí)，學(xué)生對(duì)它的反向理解和識(shí)別將會(huì)是一種新的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)。

2.把學(xué)習(xí)對(duì)象還原為教學(xué)直觀或現(xiàn)實(shí)問題。

由于數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象特點(diǎn)和學(xué)生的思維特征之間存有明顯差異，所以我們要把抽象的數(shù)學(xué)還原為學(xué)生可感受的教學(xué)直觀或可參與的現(xiàn)實(shí)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu)。

如蘇教版國標(biāo)本教材四年級(jí)下冊(cè)第56頁以主題圖的形式呈現(xiàn)買賣信息及問題“短袖衫32元，褲子45元，夾克衫65元，買5件夾克衫和5條褲子，一共要付多少元”，然后在兩種方法的解決基礎(chǔ)上抽取出等式“（65+45）×5=65×5+45×5”。而事實(shí)上，問題首先就出于此處，即“還原”不夠。從兒童的生活世界來看，乘法分配律之所以比乘法交換（結(jié)合）律的“病發(fā)率”高，不只在于他們有學(xué)習(xí)加法交換（結(jié)合）律的類似經(jīng)驗(yàn)，主要還在于乘法分配律的生活原型相對(duì)較少的緣故，并且學(xué)生對(duì)乘法分配律的結(jié)構(gòu)把握需要投入的學(xué)習(xí)注意力也明顯高于乘法交換（結(jié)合）律。這樣，就需要在上述生活問題（知識(shí)原型）的前面再補(bǔ)充兩個(gè)問題，讓學(xué)生自主建構(gòu)的生活基礎(chǔ)更加厚實(shí)，即“某地是長12米、寬4米的長方形，求它的周長”和“桌子每張56元，椅子每把24元，買10套桌椅需多少元”。

3.以兒童的立場(chǎng)對(duì)知識(shí)的組織方式進(jìn)行合理選擇。

小學(xué)生還不具備成人“很簡單就得到”的復(fù)雜思維，對(duì)世界的認(rèn)識(shí)和探索仍以不完全歸納與舉例論證的方式為主。因此，教師對(duì)知識(shí)的組織宜采用放手讓學(xué)生探索，關(guān)鍵的地方“扶”一把的方式。如抽取出三個(gè)等式“（65+45）×5=65×5+45×5、 （12+4）×2=12×2+4×2、（56+24）×10=56×10+24×10”并觀察其特點(diǎn)后，教師可提問：“這是規(guī)律，還是巧合呢？”然后組織學(xué)生每人舉例加以驗(yàn)證和交流，找尋共同特征得出乘法分配律并加以表達(dá)，接著進(jìn)行反向理解。但是，不少教師初授乘法分配律時(shí)，易忽略對(duì)它結(jié)構(gòu)的反向探究、理解和識(shí)別，只是讓學(xué)生對(duì)先前的一組等式從右往左觀察便宣告結(jié)束。這樣教學(xué)，學(xué)生得到的認(rèn)識(shí)雖然是完整的，但程度上遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠深刻。那么，怎樣“教”得到位，“扶”學(xué)生一把呢？其實(shí)，先前的等式和例子可以用兩塊小黑板呈現(xiàn)，“=”寫在小黑板之間的大黑板上，然后只需左右調(diào)換小黑板即可，既簡單、方便又實(shí)用。這樣，學(xué)生對(duì)“分”和“配”的體驗(yàn)都建立在直觀順向的觀察基礎(chǔ)之上，得到的認(rèn)識(shí)必然深刻和完整。

4.引領(lǐng)學(xué)生多角度理解知識(shí)，分層次地推進(jìn)教學(xué)。

這主要體現(xiàn)在得出乘法分配律后，組織學(xué)生口算14×2、筆算15×23和計(jì)算長方形的周長，回顧舊知，體會(huì)乘法分配律在原有知識(shí)中的運(yùn)用。同時(shí)，在練習(xí)環(huán)節(jié)借助填空、判斷、連線、計(jì)算說理（如右圖）等題目的練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)乘法分配律的解釋能力和應(yīng)用意識(shí)。

數(shù)學(xué)知識(shí)的教育，就是要讓學(xué)生充分地感受到知識(shí)的來龍去脈，實(shí)實(shí)在在地體會(huì)到已有經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)材料之間的關(guān)聯(lián)以及富有挑戰(zhàn)的新認(rèn)識(shí)。

掬起“智慧”這捧水

知識(shí)在本質(zhì)上是一種經(jīng)驗(yàn)或思考的結(jié)果，而智慧表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)和思考的過程中，具體表現(xiàn)于對(duì)問題的處理和對(duì)實(shí)質(zhì)的思考以及技巧的整體把握等諸多方面，它并不完全依賴知識(shí)的多少，而依賴知識(shí)的運(yùn)用和經(jīng)驗(yàn)。

1.運(yùn)用知識(shí)。

首次探討乘法分配律對(duì)減法的運(yùn)用（第58頁第3題“先計(jì)算每組的兩道算式，再比較它們的結(jié)果，并填空”）時(shí)，教師不要直接告知學(xué)生“這是乘法分配律對(duì)減法的運(yùn)用，減號(hào)相當(dāng)于加號(hào)”，如此不夠準(zhǔn)確的“聰明”做法只會(huì)產(chǎn)生更多的“笨”學(xué)生，因?yàn)閺囊婚_始就把學(xué)習(xí)定格在了結(jié)論的記憶上，而不是對(duì)知識(shí)“（a+b）×c=a×c+b×c”的運(yùn)用。此處運(yùn)用的是已有的探究經(jīng)驗(yàn)和熟悉的問題結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)共性的實(shí)質(zhì)把握和技巧的獨(dú)立運(yùn)用，極有利于學(xué)生主體探究精神的培養(yǎng)。

2.積累經(jīng)驗(yàn)。

積累必要的經(jīng)驗(yàn)是提高問題處理能力之所需。通過對(duì)問題多層次的變式構(gòu)造，使學(xué)生對(duì)問題解決及問題本身的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。這是學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高問題解決能力的一條有效途徑。常用的方法如下：（1）一個(gè)問題多種變化，其中既包括解題過程中的各種鋪墊（如拆分、變形等），也包括對(duì)原問題的各種引申（如改變問題等）；（2）一個(gè)問題多種解決方法，即將同一個(gè)問題的不同解決過程作為變式，去聯(lián)結(jié)各種不同的解決方法；（3）同一方法解決多種問題，即將某種特定的方法用于解決一類相似的問題。

3.生成新知。

生成恰當(dāng)?shù)男轮兄诩由顚?duì)問題本身的理解，并能夠抓住問題的本質(zhì)，啟發(fā)新的思考。學(xué)生在完成基本練習(xí)后，已具備能力和條件參與初步拓展，解決實(shí)際問題（如“每本筆記本5元，甲買2本，乙買3本，丙買4本，三人共花多少元”），將乘法分配律拓展到三個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘。筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，參與拓展生成上述新知的班級(jí)的學(xué)生，面對(duì)25×（40+4+2）基本能正確地拆開進(jìn)行簡便計(jì)算，而沒有如此學(xué)習(xí)經(jīng)歷的同年級(jí)學(xué)生只敢轉(zhuǎn)化為25×46或25×（40+6）來計(jì)算。

4.催生思想。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)到許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論，更要領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法。由乘法分配律拓展到三個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘的知識(shí)基礎(chǔ)，催生“更多個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘”這一思想也就成為可能。實(shí)踐證明，上課結(jié)束后就有部分學(xué)生談到這樣的想法，并且認(rèn)為無非就是把實(shí)際問題的人數(shù)繼續(xù)增多。這真是驗(yàn)證了一句話：“思想有多遠(yuǎn)，路就有多遠(yuǎn)。”

我們不止于收獲知識(shí)這樣的結(jié)果，更要在豐富的經(jīng)歷和過程中收獲智慧。智慧被“掬起”的同時(shí)，也是知識(shí)被“扒開”的延續(xù)，從而使學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)的保持和能力的生成成為可能，數(shù)學(xué)思維也真正得到落實(shí)。

迎來“生命”這股流

基于數(shù)學(xué)的學(xué)科因子，可否以涓涓細(xì)流來潤澤生命？又何以潤澤？這特別需要我們立足教和學(xué)的層面，實(shí)現(xiàn)雙主體的投入，成功喚醒每一位學(xué)生的自我成長意識(shí)和主體發(fā)展意識(shí)。

1.充滿期待——“我學(xué)習(xí)我主張”。

數(shù)學(xué)課堂上，可以嘗試著讓學(xué)生自己定標(biāo)準(zhǔn)和給結(jié)論。比如，在小組交流規(guī)律發(fā)現(xiàn)后，讓學(xué)生思考“有沒有更簡單的式子表達(dá)這種規(guī)律”，學(xué)生生發(fā)出如（a+b）×c=a×c+a×c、（紅+藍(lán)）×黃=紅×黃+藍(lán)×黃、（△+○）×□=△×□+○×□等多種表示方法，盡管其中有的不一定正確，但它們至少表示出了乘法分配律的結(jié)構(gòu)外形。長此以往，學(xué)生就能充滿自信，相信自己會(huì)變強(qiáng)。

2.不言放棄——“我學(xué)習(xí)我收獲”。

對(duì)乘法分配律的教學(xué)不能局限于初學(xué)后就是練習(xí)加訂正，要有長期理解其內(nèi)涵進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)的意識(shí)，增強(qiáng)體驗(yàn)，豐富認(rèn)識(shí)。如可讓學(xué)生對(duì)照右圖涂色面積的計(jì)算理解乘法分配律，實(shí)現(xiàn)操作運(yùn)算和符號(hào)運(yùn)算之間的表象過渡，原先以“先記憶再理解”或“先理解再記憶”接納乘法分配律的學(xué)生，此時(shí)會(huì)有常學(xué)常新的收獲。學(xué)生的收獲也將不止于知識(shí)背后的意義支撐，會(huì)越來越熱愛學(xué)習(xí)，不斷增強(qiáng)自我學(xué)習(xí)的能力。

3.敞開心扉——“我學(xué)習(xí)我歡愉”。

我們?cè)诒г箤W(xué)生越來越不主動(dòng)地去學(xué)習(xí)的同時(shí)，也應(yīng)該注意到，很多學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)在情感上沒有了愉悅感，他們只是在應(yīng)付了事。如果學(xué)了再多的知識(shí)，但是失去了求知的快樂和熱情，我們的教學(xué)就本末倒置了。通過“乘法分配律”的學(xué)習(xí)和探索，我們可以明顯地看到，學(xué)生感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其實(shí)并不難，對(duì)一些數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用學(xué)生很感興趣，且在解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題時(shí)，他們的熱情比較高漲。

4.點(diǎn)化生命——“我學(xué)習(xí)我成長”。

筆者自小學(xué)畢業(yè)已有多年，當(dāng)年所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)早已形成了一種無形的能力，而跟學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的一些經(jīng)歷和事件卻成了生命的烙印?？磥?，圍繞學(xué)數(shù)學(xué)的活動(dòng)范圍是很廣泛的，其具體過程仍然首先是人與人之間的交流。涉及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教育事件使學(xué)生能試著發(fā)現(xiàn)他自己，發(fā)現(xiàn)自己喜歡什么，需要什么；善于做什么，不善于做什么。也就是說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了具有獲得知識(shí)和技能的社會(huì)價(jià)值，更賦有對(duì)促進(jìn)人的自我實(shí)現(xiàn)的生命價(jià)值。

“扒開知識(shí)”“掬起智慧”“迎來生命”，這三件事情是相互貫通的，既逐層遞進(jìn)，又相互制約。“知識(shí)”處在教育的邊緣和表層，它的內(nèi)在根據(jù)可尋索到“智慧”，而“智慧”的運(yùn)作又必定能追溯到生命的本真。

（責(zé)編 杜 華）