再談一類盈虧問題的解法

《小學(xué)教學(xué)參考》（數(shù)學(xué)版）2006年第4期刊登了文昌才、李繼紅兩位老師所寫的《一類盈虧問題的解法》一文（以下簡稱文獻(xiàn)[1]），之后，同年的第12期刊登了何升根老師所寫的《也談“一類盈虧問題的解法”》一文（以下簡稱文獻(xiàn)[2]）。文獻(xiàn)[1]主要講述了用比較法來解決典型的和復(fù)雜的盈虧類問題，但其例3用了小數(shù)，不夠直觀。文獻(xiàn)[2]則主要講述了用矩形面積法來解決盈虧類問題，這也是一種很好的方法，但文獻(xiàn)[2]將盈虧數(shù)畫在每份數(shù)的右邊，顯得不夠簡潔。本文將盈虧數(shù)畫在每份數(shù)的上面，簡明直觀，一目了然，并強(qiáng)調(diào)比較或畫圖的基準(zhǔn)。

例1：把一些蘋果平均分成幾堆，兩次分法的堆數(shù)相同。如果每堆分5個(gè)蘋果，則還余4個(gè)蘋果；如果每堆分7個(gè)蘋果，則還缺28個(gè)蘋果，這些蘋果有多少個(gè)？

解析：文獻(xiàn)[1]原題沒有明確“兩次分法的堆數(shù)相同”，故文獻(xiàn)[2]作者嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刂赋鲈}答案的非唯一性?，F(xiàn)對文獻(xiàn)[2]中矩形面積法的畫圖方法改進(jìn)，如圖1所示。

題目條件的圖形如下表示（以下各解法類同，不再贅述）：總數(shù)（蘋果數(shù)）=面積ABFE（實(shí)線），份數(shù)（堆數(shù)）=AB。第一次分配：每份數(shù)1=AC=5，盈數(shù)=面積CDFE（斜線陰影）=4；第二次分配：每份數(shù)2=BH=7，虧數(shù)=面積EFHG（反斜線陰影）=28。

顯然，盈數(shù)+虧數(shù)=面積CDHG（陰影）=4+28=32，每份數(shù)差=CG=7-5=2，份數(shù)=AB=CD=面積CDHG÷CG=32÷2=16，蘋果數(shù)=16×5+4=84，或蘋果數(shù)=16×7-28=84。

例1是典型的盈虧問題，為一盈一虧，另外還包括兩盈、兩虧、一盈一平和一虧一平共五種情況，均可用矩形面積法來類似地解決，這里不再舉例。

例2：把一些蘋果和梨平均分成幾堆，如果5個(gè)蘋果和3個(gè)梨分成一堆，梨分完后蘋果還剩4個(gè)；如果7個(gè)蘋果和3個(gè)梨分成一堆，蘋果分完后梨還剩下12個(gè)，問有多少個(gè)蘋果，多少個(gè)梨？

解析：例2是較為復(fù)雜的盈虧類問題，需要將兩次分配的比較基準(zhǔn)——份數(shù)統(tǒng)一，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為典型的盈虧問題。

根據(jù)題意，例2兩次分配中每堆均是3個(gè)梨，故堆數(shù)（份數(shù)）以分配完梨為基準(zhǔn)，這樣第一次分配完梨后盈4個(gè)蘋果，第二次分配完蘋果剩下12個(gè)梨，可以組成12÷3=4（堆），還虧4×7=28（個(gè)）蘋果與之配對。矩形面積法的解法如圖2所示。

與例1類似可得，份數(shù)=AB=(4+28)÷(7-5)=16，蘋果數(shù)=面積ABFE=16×5+4=84，或蘋果數(shù)=16×7-28=84，梨數(shù)=面積KLBA=16×3=48。

例3：把一些蘋果和梨平均分成幾堆，如果3個(gè)蘋果和6個(gè)梨分成一堆，梨分完后蘋果還剩5個(gè)；如果5個(gè)蘋果和4個(gè)梨分成一堆，蘋果分完后梨還剩下140個(gè)，問有多少個(gè)蘋果，多少個(gè)梨？

解析：例3也是較為復(fù)雜的盈虧類問題，文獻(xiàn)[1]將兩種分配方法的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)化為每堆1個(gè)梨，但與之配對的蘋果出現(xiàn)小數(shù)，不利學(xué)生理解。實(shí)際上，仍然可以梨為基準(zhǔn)（當(dāng)然也可以蘋果為基準(zhǔn)），每堆梨的個(gè)數(shù)為兩次分配中梨的個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，這樣與之配對的蘋果數(shù)就是整數(shù)。矩形面積法的解法如圖3所示。

第1次分配：蘋果︰梨=3︰6=1︰2=2︰4，蘋果盈數(shù)=5；第2次分配：蘋果︰梨=5︰4，類似于例2，蘋果虧數(shù)=（140÷4）×5=35×5=175。

與例2類似可得，份數(shù)=AB=（5+175）÷（5-2）=60，蘋果數(shù)=60×2+5=125，或蘋果數(shù)=60×5-175=125，梨數(shù)=60×4=240。

（責(zé)編 杜 華）