關于“算法多樣化”幾個問題的探討

提倡“算法多樣化”是《全日制義務教育數學課程標準》關于計算教學的基本理念之一。它為沉寂的計算教學帶來了新的方法，注入了新的活力。隨著課程改革的不斷深入，人們在運用此理念的過程中產生了很多的問題，對這些問題進行探討和剖析，會有助于我們更加科學、理性地理解算法多樣化的理念。

問題1：新課程中，我們?yōu)槭裁磸娬{“算法多樣化”

課程標準認為“由于學生生活背景和思考的角度不同，所使用的方法必然是多樣化的，教師應尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”以24×16為例，學生自己發(fā)現的解法有以下幾種：

（1）24+24+…+24=384 （16個24相加）；

（2）16+16+…+16=384（24個16相加）；

（3）24+24+…+24=192（8個24相加）， 192×2=384；

（4）16+16+…+16=192（12個16相加）， 192×2=384；

（5）24×2×8=384；

（6）24×4×4=384；

（7）16×4×6=384；

（8）16×3×8=384；

（9）16÷2=8，24×8=192，192×2=384；

（10）24×10+24×6 =384；

（11）16×20+16×4=384；

（13）24×20-24×4=384；

（14）16×30-16×6=384；

（15）16×10+16×10+16×4=384。

由于學生有著不同的生活經驗和認知水平，他們的思考角度，必然存在差異。對于這一道題，學生想出的15種方法，有些并不完美，但卻是學生思考的結果。從這些方法中，我們看到學生不僅發(fā)現了各種各樣的解題思路，而且總結、歸納出了這些解題思路的共同特點：把一個“新”的問題轉化成為一個“老”的問題來解決。即把一個兩位數乘兩位數的題目轉化為加法或兩位數乘整十數、兩位數乘一位數來解決。這種化歸思想比兩位數的乘法運算本身更為重要。善于使用化歸正是數學思維的一個重要的特點，數學家們在求解問題時，特別善于使用化歸的方法來解決問題，即不是對問題進行直接“攻擊”，而是對此進行變形，使之轉化，直到最終把它化歸成了某個（或某些）已經解決或較容易解決的問題。

如果有學生用“24×13=24+2×24+4×24=312”來計算24×13，教師也不要感到奇怪。

圖1是早在古埃及紙草書（大約在三千年之前）上記載的一種乘法——倍乘法，所謂倍乘法就是逐次擴大2 倍的方法。我們以現代的符號和術語為例來說明（見圖1）。例如“24×13=416”，大家發(fā)現上面算法的規(guī)律了嗎？ 原來，乘數13可以分解成1+4+8，并在左列1，4，8 的左側作上標記，把右側的對應的積相加，即可算得24×13 的結果了。到了1564 年，我們仍然可以從德國數學家施蒂費爾的著作中看到這種算法的痕跡。

問題2：為什么不能忽視數學推理與證明在算法多樣化中的作用

在計算24×16的過程中，有這樣一個教學片段：

學生：“我是這樣算的，首先把16除以2等于8，24乘以8等于192，再用2乘以192，得到384?！?/p>

老師問全班學生：“你們都聽明白了嗎？”

“不明白?！睂W生幾乎是齊聲地回答。

“我也不明白?！崩蠋熌樕下冻鲆桓崩Щ蟮臉幼樱盀槭裁匆?6除以2，我們這里明明是做乘法運算，怎么會出現除法。你能再說得清楚一點嗎？”

這位學生猶豫了一下，說：“我是這樣想的，16里面有兩個8，所以我先從16中拿出一個8，用它去乘以24，得到192，然后再用2乘以192，得到384?！?/p>

老師又問全班學生：“你們聽懂了嗎？”

大多數學生仍在搖頭。

老師說：“我有點明白了，他是這樣來考慮的?！保ㄔ诤诎迳蠈懴拢?6÷2 = 8，24×8 = 192，192×2 = 384。）

老師繼續(xù)說：“大家看，他的想法是把兩位數乘以兩位數，轉化為兩位數乘以一位數，因為兩位數乘以一位數我們已經學過了。那么，怎么轉化呢？他先將16除以2，得到8，然后用8去乘24，這是兩位數乘以一位數，我們都能算，得到的結果是192。但是，剛才我們除了一個2，所以現在還應該把這個2補回去，因此用2乘以192，得到384?，F在都明白了嗎？”仍有幾個學生在搖著頭……

從這個同學的回答中，我們看到他把算式中的一個因數寫成兩個一位數的乘積，先算式中的另一個因數乘其中的一個，把得到的結果再乘另一個一位數。這里學生已經用了乘法的結合率來計算此題，為什么老師解釋后，仍有幾個學生在搖著頭?此時老師應該轉到有關聯系和性質的推理上去，應該向學生提出這樣的問題：如果我再給20道這樣的問題，這個方法都適合嗎？你怎樣知道呢？通過比較答案和互相質疑，他們能夠開始學習如何敘述存在于許多例子中的數學關系，學習去發(fā)展和論證為什么這些關系能概括出來以及什么情況下使用。在小學階段，學生應該在他們的數學推理方面進行重要的思維轉變，遇到一個結論好像成立時或不能說出反例時，學生應該能形成猜想并在自身經驗的基礎上對猜想做出評估。

問題3：如何引導學生在交流與歸納的過程中，使算法更優(yōu)

交流是數學和數學教育中很關鍵的一部分，是分享觀念和澄清理解的一種方式。在數學交流中，教師還應引導學生學會歸納和演繹，因為最基本、最主要的數學活動是以邏輯為特征的演繹論證活動和以經驗為特征的歸納發(fā)現活動，其他的數學活動都是圍繞這兩種活動而展開的，或者是一種拓展，或者是一種延伸，或者是一種組合．《全日制義務教育數學課程標準》（實驗稿）中也強調了觀察、試驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。

我們還是以24×16為例，教師引導學生在交流中尋找各種方法的特點，比較方法的優(yōu)劣，通過師生共同觀察、分析、比較、歸納得出：方法（1）～（4）主要用的是加法，比較基本，但計算比較麻煩，所用的時間長，而且容易出錯；（5）～（15）這些方法各有優(yōu)缺點，可能不同的人會喜歡不同的方法。從（5）～（15）這些方法的思路來說，（5）～（9）這五種方法的思路，都是把一個兩位數分成兩個一個數的積，這一思路具有特殊性，不是對于所有兩位數乘兩位數都適用，如19×23，這種舉反例的能力也是學生所要具備的。余下的幾種方法的思路具有一般性，（10）、（11）和（15）是一種思路，（13）和（14）是另一種思路，方法（12）是豎式計算。

問題4：豎式有時顯得不夠簡便，但為什么必須先掌握好

還以24×16為例，把15種方法中的（10）（11）（13）（14）的橫式計算與豎式計算的（12）做一個比較。我們發(fā)現豎式計算并不簡單，相反有些橫式還比較簡單，但我們?yōu)槭裁匆獜娬{豎式計算，并且必須要求學生先掌握好呢？

原因1：算法(algorithm) 一詞源于算術(algorism) . 粗略地說，算術方法是一個由已知推求未知的運算過程. 后來， 人們把它推廣到一般， 把進行某一工作的方法和步驟稱為算法.廣義地說，菜譜是做菜肴的算法，空調說明書是空調使用的算法，歌譜是一首歌曲的算法.算法作為一個名詞， 在小學教材沒有出現過，但是我們卻熟悉許多問題的算法，比如我們知道解一元二次方程的算法， 求解一元一次方程、 一元二次方程、一元二次不等式的算法等等。算法是數學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎。隨著現代信息技術的飛速發(fā)展，算法在科學技術、社會發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養(yǎng)。

原因2：數學在教育中的特殊作用在于數學的普遍應用，數學的定理和理論，既重要，又有用，數學還提供了有特色的思考方式，包括建立模型、運用符號等。豎式計算是普遍適用并且是強有力的思考方式。豎式把數的運算進行抽象化，建立一個模型，把這種模型用數學符號表示出來，豎式的運算方法不但對于兩位數乘兩位數適用，對于三位數乘兩位數、三位數乘三位數也適用，甚至可以把它推廣到代數式的運算。

問題5：為什么要強調表征在算法多樣化教學過程中的作用

表征是指可反復指代某一外部的或想象的事物的任何符號或符號集。在不同的數學表征之間建立聯系以及在自己的想法與表征這種想法的方法建立聯系的過程，有助于加深學生對數學的理解。

例如，用兩種不同的方法表達計算“18+24”的同一種方法。

可以看到用橫式和豎式表達的是同一計算方法，更重要的讓學生明白不管是橫式還是豎式，它們都是同一方法的不同表征。

又如，在計算24×16時，方法（10）和（12）的比較。

我們要引導學生思考這樣一個問題：兩種方法解的是同一道題，你能看到它們有任何相似的地方嗎？在方法（10）中24×10=240，而在方法（12）中不是240，而是24，我們是不是也可以在24后面添一個0，這能幫助你看到其他相似的地方嗎？學生開始時不一定能看到這些關系，通過老師的引導，幫助學生把注意力集中到這兩種方法的共性上來，即幫助學生澄清計算過程中的數所代表的數值是多少，還有方法（12）中144與240之間存在一個未寫的加號，以及為什么在豎式中要把240的0省略。我們應該鼓勵多做這樣的解釋和課堂討論，這樣可以幫助學生理解數學表征，解釋和明確他們的計算策略。

數學教學的改革之路任重道遠，需要我們數學教育者不斷反思，在反思中不斷前行，從而更加科學、理性地理解新課程的理念。

（責編 金 鈴）