函數(shù)概念教學(xué)談

[摘要]函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它與生活和學(xué)習(xí)聯(lián)系緊密。教師在組織高中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容時(shí)，一要幫助學(xué)生梳理函數(shù)概念，二要進(jìn)行目標(biāo)解析，三要幫學(xué)生診斷學(xué)習(xí)中遇到的問題。

[關(guān)鍵詞]

初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)概念，但到了高中，函數(shù)概念發(fā)生了變化。此時(shí)，數(shù)學(xué)教師要幫學(xué)生理清概念，解析問題。

一、對(duì)“函數(shù)”概念的理解

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)概念，建立的函數(shù)概念是：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么，我們就說y是x的函數(shù)。其中x稱為自變量。這個(gè)定義從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，把函數(shù)看成是變量之間的依賴關(guān)系。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式。進(jìn)入高中，學(xué)生需要建立的函數(shù)概念是：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f（x），x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f（x）|x∈A叫做函數(shù)的值域。這個(gè)概念與初中概念相比更具有一般性。其實(shí)，高中的函數(shù)概念與初中的函數(shù)概念本質(zhì)上是一致的。不同點(diǎn)是表述方式不同──高中明確了集合、對(duì)應(yīng)的方法；初中雖然沒有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在的，也已經(jīng)滲透了集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)。且高中引入了抽象的符號(hào)f（x），f（x）指集合B中與x對(duì)應(yīng)的那個(gè)數(shù)，當(dāng)x確定時(shí)，f（x）也唯一確定。另外，初中并沒有明確函數(shù)值域這個(gè)概念。

函數(shù)概念的核心是“對(duì)應(yīng)”，理解函數(shù)概念要注意：1.兩個(gè)數(shù)集間有一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，即對(duì)于數(shù)集A中每一個(gè)x，數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng)。2.涉及兩個(gè)數(shù)集A、B，而且這兩個(gè)數(shù)集都非空；這里的關(guān)鍵詞是“每一個(gè)”“唯一確定”。也就是，對(duì)于集合A中的數(shù)，不能有的在集合B中有數(shù)與之對(duì)應(yīng)，有的沒有。而且，在集合B中只能有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，不存在兩個(gè)或者兩個(gè)。3.函數(shù)概念中涉及的集合A、B，對(duì)應(yīng)關(guān)系f是一個(gè)整體，是集合A與集合B之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該從整體的角度來認(rèn)識(shí)函數(shù)。

二、目標(biāo)解析

1.通過豐富實(shí)例，建立函數(shù)概念的背景，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。能用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來刻畫函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素。2.會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域。3.通過從實(shí)例中抽象概括函數(shù)概念的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

教學(xué)的重點(diǎn)是，在研究已有函數(shù)實(shí)例（學(xué)生舉出的例子）的過程中，感受在兩個(gè)數(shù)集A、B之間所存在的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，進(jìn)而用集合、對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫這一關(guān)系，獲得函數(shù)概念。然后再進(jìn)一步理解它。

三、教學(xué)問題診斷分析

1.學(xué)生對(duì)函數(shù)概念中的“每一個(gè)”“唯一確定”等關(guān)鍵詞關(guān)注不夠，領(lǐng)會(huì)不深。教學(xué)中，可以通過反例讓學(xué)生加以認(rèn)識(shí)。如有學(xué)生的考試情況是這樣的：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{90，93，98，92}，f：每次考試成績(jī)。這里就不能表示一個(gè)函數(shù)。因?yàn)閷?duì)于集合A中的元素“4”，在集合B中就沒有元素與它對(duì)應(yīng)。

2.忽視“數(shù)集”二字，把一般的映射關(guān)系理解為函數(shù)。如：高一（2）班的同學(xué)組成集合A，教室里的座椅組成集合B，每個(gè)學(xué)生都有唯一的一個(gè)座椅，班上還有空椅子。這能否算作一個(gè)函數(shù)的例子，為什么？

3.對(duì)為什么集合B不是函數(shù)的值域不理解．讓學(xué)生感受到，有時(shí)，為了研究方便或者確定一個(gè)函數(shù)的值域暫時(shí)有困難，使得B＝{f（x）|x∈A} 更加合理。

4.當(dāng)函數(shù)關(guān)系具有解析式表示時(shí)，f（x）當(dāng)然可以用x的解析式表示出來。學(xué)生會(huì)因此而誤以為對(duì)應(yīng)關(guān)系f都可以用解析式表示?？梢酝ㄟ^所舉實(shí)例的類型，引導(dǎo)學(xué)生，明確表示對(duì)應(yīng)關(guān)系f并非解析表達(dá)式不可。但這不是本節(jié)課的重點(diǎn)，應(yīng)該放在下一節(jié)課“函數(shù)的表示”中解決。只要注意所列舉的例子不光是有解析式的即可。

5.本課的難點(diǎn)是：對(duì)抽象符號(hào)y＝ f（x）的理解?？梢酝ㄟ^具體函數(shù)讓學(xué)生理解抽象的f（x）。比如函數(shù)f（x）＝x2，A＝x|－2≤x＜2 ．f(－1)＝1，f(1.5)＝2.25，f(－2)＝4，

f（2）無定義。f（x）＝x2，x∈A。

最終，讓學(xué)生明白，f（x）是集合B中的一個(gè)數(shù)，是與集合A中的x對(duì)應(yīng)的那個(gè)數(shù)．當(dāng)x取具體數(shù)字時(shí)，f（x）也是一個(gè)具體的數(shù)。

責(zé)任編輯：一覺