一種撲克牌游戲中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

徐寶 姜玉秋 姜澤

【基金項(xiàng)目】吉林省高等教育教學(xué)研究課題.吉林師范大學(xué)高等教育教學(xué)研究課題.オ

1.問(wèn)題的提出

撲克牌游戲是一種大眾性的游戲，其中蘊(yùn)含著很多的數(shù)學(xué)知識(shí)，是一種啟迪思維，培養(yǎng)探究能力和創(chuàng)新能力的有效載體，可以增加數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀性、趣味性和娛樂(lè)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

有一種消磨時(shí)間的單人撲克牌游戲，俗稱“撿9”，規(guī)則如下：將一副去掉了大小王和獼，Q，K的撲克牌剩余的40張牌洗好后疊成一摞放在手中，從手中撲克牌的一側(cè)取出4張牌放在桌面上排成一行，記為1列、2列、3列、4列，然后依次取牌放在1，2，3，4列上并露出上一張牌的數(shù)字，當(dāng)每列牌滿3張時(shí)，計(jì)算這3張牌上數(shù)字的和，如果該和數(shù)的尾數(shù)是9(即3張牌上數(shù)字之和為9，19，29)時(shí)，將這3張牌按它們?cè)谧烂嫔蠌纳系较碌捻樞驌炱鸱旁谑种袚淇伺频牧硪粋?cè)后再依次發(fā)牌，在發(fā)牌的過(guò)程中還要注意每一列牌的頂部和尾部以頂1尾2或頂2尾1的方式組合的3張牌上數(shù)字之和，如果該和數(shù)的尾數(shù)是9，也按它們?cè)谧烂嫔蠌纳系较碌捻樞驌炱鸱旁谑种袚淇伺频牧硪粋?cè).當(dāng)某一列僅剩3張牌且被撿起時(shí)，視為這一列消失，按現(xiàn)有列數(shù)發(fā)牌.游戲順利進(jìn)行的結(jié)果是手中的牌都會(huì)在桌面上旅行一遍或多遍，桌面上的4列牌會(huì)依次減少，到最后出現(xiàn)兩種情況：(1)桌面上只剩下一張牌(尾牌)，而且手中的牌依次取出的3張數(shù)字之和的尾數(shù)都是9；(2)桌面沒(méi)有牌，而手中的撲克牌發(fā)牌側(cè)除第一張(頭牌)外，其余的牌依次取出的3張數(shù)字之和的尾數(shù)都是9.當(dāng)游戲順利結(jié)束時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)情形(1)中尾牌和情形(2)中的頭牌上的數(shù)字都是3.這種游戲不是總能順利進(jìn)行，當(dāng)發(fā)牌的過(guò)程中如果出現(xiàn)桌面上的4列牌都被撿起而導(dǎo)致手中的牌在桌面上無(wú)處可放，或者手中的牌都排在桌面上而無(wú)牌可撿起這樣的情況，表明游戲沒(méi)完成，只能重新洗牌再玩或放棄該游戲.

這個(gè)游戲的實(shí)質(zhì)就是將標(biāo)有數(shù)字1，2，…，10的40張撲克牌按每3張數(shù)字加和尾數(shù)是9的規(guī)則分成13組，剩余一張標(biāo)有3的牌.由此我們可以提出兩個(gè)問(wèn)題：

①尾牌(或頭牌)上的數(shù)字為什么是3？要想出現(xiàn)別的數(shù)字，游戲規(guī)則該是怎樣的？

②13組牌數(shù)字之和分別為9，19，29的組數(shù)都可以是多少？

2.問(wèn)題的解決與延伸

（1）問(wèn)題①的解決方案

我們知道上述游戲所使用的40張撲克牌上數(shù)字之和為(1+2+3+…+10)×4=220，而那13組牌上數(shù)字之和的尾數(shù)都是9，所以這39張牌上數(shù)字之和的尾數(shù)為7，因此最后一張牌上數(shù)字一定是3，于是，最后一張牌上的數(shù)字為其他的游戲規(guī)則應(yīng)該為：撿“n”，尾牌(或頭牌)上的數(shù)字為“m”，其中n=1,2,…,8,10，m=1,2,4,…,9,10，其中n與m按如下方式確定：13n+m的尾數(shù)為0.n與m對(duì)應(yīng)的值由表1給出：

表1 撿“n”游戲最后一張牌上的數(shù)字為“m”

(n,m)[](1,7)[](2,4)[](3,1)[](4,8)[](5,5)[](6,2)[](7,9)[](8,6)[](10,10)

（2）問(wèn)題②的解決方案

由于只有13組牌，所以數(shù)字之和為9，19，29的組牌數(shù)都在0和13之間，那它們可能各有多少組呢？這大可不必用撲克牌游戲來(lái)驗(yàn)證，下面我們給出這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)解法：

假設(shè)數(shù)字之和是9的組牌有s9組，和是19的有s19組，和是29的有s29組，于是有方程組：

這是一個(gè)含3個(gè)未知數(shù)的方程組，無(wú)法直接解出.我們注意到s9,s19,s29這3個(gè)量都是介于0和13之間的整數(shù)，作為數(shù)學(xué)問(wèn)題我們不必逐個(gè)數(shù)去試，如果將其中一個(gè)未知數(shù)定為自由未知數(shù)，對(duì)它的每一個(gè)給定值，由方程組*都可以得到一個(gè)二元一次方程組，容易解出另外兩個(gè)未知數(shù).為了減少計(jì)算量，自由未知數(shù)的取值個(gè)數(shù)一定要最少，由于只有4張標(biāo)有數(shù)字10的牌，所以這13組牌中和數(shù)是29的最多有2組，于是s29只能在0，1，2中取值，而其他兩個(gè)數(shù)的可能取值個(gè)數(shù)都大于3，因此我們選擇s29作為自由未知數(shù).分別取s29=0,1,2，解對(duì)應(yīng)的三個(gè)二元一次方程組，即可得到s9,s19,s29的幾種可能值,見(jiàn)表2：

表2 撿“9”游戲中和數(shù)為“9”“19”“29”的組牌數(shù)

(s9,s19,s29)[](3,10,0)[](4,8,1)[](5,6,2)

(3)問(wèn)題的延伸

按照問(wèn)題②的解決方案，我們可以得到撿“0”到撿“8”各游戲中各組牌數(shù)的可能情況，見(jiàn)表3，感興趣的讀者自己可以去驗(yàn)證.

3.結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)是一門(mén)科學(xué)、一種語(yǔ)言、一門(mén)藝術(shù)、一種思考方式.無(wú)論有多抽象，數(shù)學(xué)中沒(méi)有哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)是不能運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)世界中的事物的，只要我們仔細(xì)觀察、認(rèn)真思考，總會(huì)在現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后用所學(xué)知識(shí)去解決它，著實(shí)是一種樂(lè)趣！