線性代數(shù)應(yīng)用重要性前提下的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用

賀江華 張玉忠

【摘要】掌握線性代數(shù)應(yīng)用重要性前提下的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的精髓和要點(diǎn)，可以激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析以及推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生整體素質(zhì)的提高，為國家培養(yǎng)出更多的實(shí)用型人才.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；數(shù)學(xué)建模；邏輯；素質(zhì)オ

線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中極為重要的基礎(chǔ)課之一，如何更好地指導(dǎo)學(xué)生順利入門，掌握線性代數(shù)應(yīng)用重要性前提下的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的精髓和要點(diǎn)，并善于將數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，使學(xué)生可以通過學(xué)習(xí)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，已成為目前教學(xué)改革的主要方向.

一、數(shù)學(xué)建模引入數(shù)學(xué)線性代數(shù)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義

數(shù)學(xué)知識(shí)已直接應(yīng)用于工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)文化、醫(yī)藥衛(wèi)生、環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域，幾乎滲透到各個(gè)領(lǐng)域和學(xué)科之中.數(shù)學(xué)建模是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言把實(shí)際問題表述為數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的第一步，并貫穿于解決問題的全過程之中.它將抽象的實(shí)際問題進(jìn)行簡化，然后假設(shè)明確變量與參數(shù)，多問題作出數(shù)值的解，進(jìn)而形成明確的數(shù)學(xué)框架，為學(xué)生深入分析實(shí)際問題奠定了基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)建模的實(shí)例具有深層次的背景.將數(shù)學(xué)建模引入線性代數(shù)教學(xué)是解決目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)存在問題的有效途徑.在線性代數(shù)應(yīng)用重要性前提下進(jìn)行的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問題的主觀能動(dòng)性，使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)線性代數(shù)的實(shí)用價(jià)值.同時(shí)，在線性代數(shù)應(yīng)用重要性前提下進(jìn)行的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用也更新了教師的教學(xué)觀念，使教師逐漸形成以學(xué)生為主體、以解決問題為線索的新的教學(xué)模式，達(dá)到了傳統(tǒng)教學(xué)無法達(dá)到的效果.

二、數(shù)學(xué)建模在線性代數(shù)中應(yīng)用實(shí)例

（一）動(dòng)物數(shù)量的按年齡段預(yù)測問題

某一養(yǎng)殖場養(yǎng)殖的某種動(dòng)物所能存活的最大年齡為30歲，我們把這種動(dòng)物的生長周期分成三個(gè)年齡組：0～10歲為第一組；11～20歲為第二組；21～30歲為第三組.

這種動(dòng)物從第二年齡組起開始繁育后代，經(jīng)過長時(shí)間的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，第二組和第三組的繁殖率分別為4和3，第一組和第二組能順利進(jìn)入下一個(gè)年齡組的存活率分別為1[]4與1[]2.假設(shè)該養(yǎng)殖場現(xiàn)有三個(gè)年齡段的動(dòng)物各100只，問：20年后，該養(yǎng)殖場三個(gè)年齡段的動(dòng)物各有多少頭？因?yàn)槟骋粫r(shí)間周期第二和第三年齡組是由上一時(shí)間周期上一年齡組存活下來的動(dòng)物，所以有：

因此有：

由此得出：20年后，該養(yǎng)殖場的動(dòng)物總數(shù)為16625只，其中第一年齡組的動(dòng)物有14375只；第二年齡組的動(dòng)物有1375只；第三年齡組的動(dòng)物有875只.20年間，動(dòng)物總增長13625（16625-3000=13625）只.

（二）企業(yè)投入產(chǎn)出分析模型

某一城市有一個(gè)發(fā)電站、一個(gè)煤礦以及一條鐵路.開采價(jià)值為1元的煤，廠方要支付0.24元的電費(fèi)及0.24元的運(yùn)輸費(fèi).生產(chǎn)價(jià)值1元的電力，廠家要支付0.75元的煤費(fèi)，0.1元的電費(fèi)及0.1元的運(yùn)輸費(fèi).創(chuàng)收1元的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路要支付0.55元的煤費(fèi)及0.10元的電費(fèi).在某一周內(nèi)，煤礦接到金額為5萬元的訂單，發(fā)電廠接到金額為2.5萬元的訂單，外界對(duì)地方鐵路沒有需求.請(qǐng)問:這三個(gè)企業(yè)在7天之內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身發(fā)展需要?

建立模型：設(shè)X1為煤礦7天的總產(chǎn)值，X2為電廠7天的總產(chǎn)值，X3為鐵路7天的總產(chǎn)值，則：

矩陣A稱為直接消耗矩陣，X稱為產(chǎn)出向量，Y稱為需求向量，則方程組可化為X-AX=Y，即：（E-A）X=Y.計(jì)算求解，按上式解方程組可得產(chǎn)出向量X.

三、結(jié)論與反思

線性代數(shù)應(yīng)用重要性前提下的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用，可以激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析以及推理能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的分析與解決問題的習(xí)慣，為日后的工作奠定基礎(chǔ).因此，在教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)合理地滲入建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生整體素質(zhì)的提高，為國家培養(yǎng)出更多的實(shí)用型人才.

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